《方程近似解》PPT课件.ppt

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1、三、一般迭代法 (补充 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八节 的实根求方程 0)( xf 可求精确根 无法求精确根 求近似根 两种情形 (有时计算很繁 ) 本节内容 : 一、根的隔离与二分法 二、牛顿切线法及其变形 方程的近似解 第 三 章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、根的隔离与二分法 ，内只有一个根在若方程 ,0)( baxf 内严格单调）（在且 baxf ,)( 为则称 , ba .其隔根区间 ,0)()(,)( bfafbaCxf 为隔根区间, ba (1) 作图法 1. 求隔根区间的一般方法 ;)( 估计隔根区间的草图由 xfy 转化为等价方程将 0)( xf x

2、o y )(xfy xo y .)(,)( 的草图估计隔根区间由 xyxy a b )()( xx a b )(xy )(xy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 逐步收索法 01, 3 xx方程例如 13 xx 由图可见只有一个实根 ,)5.1,1( 可转化为 .)5.1,1( 即为其隔根区间 , 的左端点出发从区间 ba以定步长 h 一步步向右 搜索 , 若 0)1()( hjafjhaf )1(;,1,0( bhjaj .)1( 内必有根，则区间 hjajha 搜索过程也可从 b 开始 , 取步长 h 0 . xo y 21 3xy 1 xy 1a 1b 2. 二分法 ，设 ,)

3、( baCxf ，0)()( bfaf 只有且方程 0)( xf ，一个根 ),( ba取中点 ，21 ba 1，若 0)( 1 f .1 即为所求根则 ，若 0)()( 1 faf ,),( 1 a则根 ;, 111 baa令 ,),( 1 b 否则 对新的隔根区间 , 11 ba 重复以上步骤 , 反复进行 , 得 , 11 bba 令 , 11 nn bababa 的中点若取 , nn ba 则误差满足 )(211 nnn ab )(12 1 abn a b )(211 nnn ba ,的近似根作为 0 n 1a 1b 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 1. 用二分法求方程 04.

4、19.01.1 23 xxx 的近似 实根时 , 要使误差不超过 ,10 3 至少应对分区间多少次 ? 解 : 设 ,4.19.01.1)( 23 xxxxf ),()( Cxf则 9.02.23)( 2 xxxf )067.5( 0 ,),()( 单调递增在 xf 又 ,04.1)0( f 06.1)( f 故该方程只有一个实根 , ,1,0 为其一个隔根区间 欲使 )01(12 11 nn 310 必需 ,1 0 0 02 1 n 即 11 0 0 0lo g 2 n 96.8 可见只要对分区间 9次 , 即可得满足要求的实根近似值 10 (计算结果见“高等数学” (上册 ) P177 1

5、78) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、牛顿切线法及其变形 :)( 满足xf 0)()(,)1 bfafba 上连续在 不变号及上在 )()(,)2 xfxfba .),(0)( 内有唯一的实根在方程 baxf 有如下四种情况 : xb a y o xba y o xba y o x b a y o 0 0 f f 0 0 f f 0 0 f f 0 0 f f 机动 目录 上页 下页 返回 结束 牛顿切线法的基本思想 : 程的近似根 . 记纵坐标与 )(xf 同号的端点为 ,)(,( 00 xfx 用切线近似代替曲线弧求方 y xb a o 1x 0 x在此点作切线 , 其方程为 )

6、()( 000 xxxfxfy 令 y = 0 得它与 x 轴的交点 ,)0,( 1x )( )( 0 0 01 xf xfxx 其中 再在点 )(,( 11 xfx 作切线 , 可得近似根 .2x 如此继续下去 , 可得求近似根的迭代公式 : )( )( 1 1 1 n n nn xf xfxx ),2,1( n 2x 称为 牛顿迭代公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 牛顿法的误差估计 : )( )( 1 1 1 n n nn xf xfxx 由微分中值定理得 )()()( nn xffxf y xb a o 1x 0 x2x ,0)( f )( )( f xfx nn ,0 则得 m

7、xfx nn )( 说明 : 用牛顿法时 , 若过纵坐标与 )(xf 异号的端点作 切线 , 则切线与 x 轴焦点的横坐标未必在 ., 内ba 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(m in , xfm ba 记 牛顿法的变形 : (1) 简化牛顿法 若用一常数代替 y xb a o ,)( 1 nxf 即用平行 ,)()( 10 nxfxf 代替例如用 则得简化牛顿迭代公式 . 线代替切线 , 得 )( )( 0 1 1 xf xfxx n nn ),2,1( n 优点 : ，避免每次计算 )( 1 nxf因而节省计算量 . 缺点 : 逼近根的速度慢一些 . 机动 目录 上页 下页 返回

8、结束 y xo 0 x 1x (2) 割线法 为避免求导运算 , ,)( 1 nxf 用割线代替切线 , 21 21 )()( nn nn xx xfxf例如用差商 代替 从而得迭代公式 : )()()( )( 21 21 1 1 nn nn n nn xxxfxf xfxx 2x 3x (双点割线法 ) ),3,2( n 特点 : 逼近根的速度快于简化牛顿法 , 但慢于牛顿法 . 说明 : 若将上式中 ,02 xx n 换为 则为单点割线法 , 逼近 根的速度与简化牛顿法相当 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 2. 用切线法求方程 0742 23 xxx 的近似解 , 使 误差不超

9、过 0.01 . 解 : .742)( 23 xxxxf设 y xo 3 4由草图可见方程有唯一的正实根 , 且 9)4(,10)3( ff .43 为一隔根区间，因此 上，由于在 43 443)( 2 xxxf )2)(23( xx 0 46)( xxf )23(2 x 0 )(m in 4,3 xfm 11)3( f 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y xo 3 4 ,40 x故取 得 )4( )4(4 1 f fx 28 94 68.3 而 mxfx )( 11 1103.1 09.0 ，精度不够故 1x 再求 )68.3( )68.3(68.3 2 f fx 9.21 03.168

10、.3 63.3 m xfx )( 2 2 11 0 42.0 01.0004.0 因此得满足精度要求的近似解 63.3 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三 . 一般迭代法 (补充 ) ,)(0)( xxxf 转化为等价方程将方程 在隔根区 ,0 x间内任取一点 按递推公式 ),2,1()( 1 nxx nn ,nx生成数列 ,l i m nn x若 则 即为原方程的根 . 称为迭代格式 , ,)( 称为迭代函数x 称为迭代0 x ,lim 存在称迭代收敛若 nn x 初值 . 否则称为发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 3. 用迭代法求方程 .2,1013 内的实根在 xx

11、解法 1 将方程变形为 ,13 xx 迭代格式为 ,13 1 nn xx 5.10 x取 1 2 3 n nx 0 5.1 375.2 396.12 779.1903 发散 ! 解法 2 将方程变形为 ,13 xx 迭代格式为 ,13 1 nn xx 5.10 x取 1 2 n nx 0 5.1 35721.1 33086.1 7 8 32472.1 32472.1 迭代收敛 , 1.32472 为计算精度范围内的所求根 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 . :,)( 上满足在区间方程 baxx bxaxx )()(1 且，连续） 1)()(2 Lxx 且，存在） ，上有唯一解在方程） ,)(1 baxx n nn xx bax )( ,2 1 0） (证明略 ) 迭代法的敛散性与迭代函数的特性有关 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可以证明 下述定理 : 内容小结 1. 隔根方法 作图法 二分法 2. 求近似根的方法 二分法 牛顿切线法 简化牛顿法 割线法 一般迭代法 思考与练习 比较求方程近似根的方法之间的关系及优缺点 . 作业 (习题 3-8) P180 1 ; 3 习题课 目录 上页 下页 返回 结束