《数字信号最佳接收》PPT课件.ppt

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1、8.1 匹配滤波器 8.2 8.3 确知信号的最佳接收机 8.4 随相信号的最佳接收机 8.5 最佳接收机性能比较 8.6 最佳基带传输系统 第 8 章 返回主目录 第 8章 在数字通信系统中，信道的传输特性和传输过程 中噪声的存在是影响通信性能的两个主要因素。人们 总是希望在一定的传输条件下，达到最好的传输性能， 最佳接收就是在噪声干扰中如何有效地检测出信号。 所谓最佳是在某种标准下系统性能达到最佳，最 佳接收是个相对的概念，在某种准则下的最佳系统， 在另外一种准则下就不一定是最佳的。在某些特定条 件下，几种最佳准则也可能是等价的。 在数字通信中，最常采用的是输出信噪比最大准 则和差错概率最

2、小准则。 8.1 匹配滤波器 （ Matched Filter） 在数字信号接收中，滤波器的作用有两个方面， 第一是使滤波器输出有用信号成分尽可能强；第二是 抑制信号带外噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小， 减小噪声对信号判决的影响。 通常对最佳线性滤波器的设计有两种准则：一种 是使滤波器输出的信号波形与发送信号波形之间的均 方误差最小，由此而导出的最佳线性滤波器称为维纳 滤波器；另一种是使滤波器输出信噪比在某一特定时 刻达到最大，由此而导出的最佳线性滤波器称为匹配 滤波器。在数字通信中，匹配滤波器具有更广泛的应 用。 图 8 1 数字信号接收等效原理图 H ( ) 判决 s ( t ) n

3、( t ) r ( t ) y ( t ) t t 0 输出 S N ( ) o 由数字信号的判决原理我们知道 ， 抽样判决器输 出数据正确与否 ， 与滤波器输出信号波形和发送信号 波形之间的相似程度无关 ， 也即与滤波器输出信号波 形的失真程度无关 ， 而只取决于抽样时刻信号的瞬时 功率与噪声平均功率之比 ， 即信噪比 。 信噪比越大 ， 错误判决的概率就越小 ；反之 ， 信噪比越小 ， 错误判 决概率就越大 。 因此 ， 为了使错误判决概率尽可能小 ， 就要选择滤波 器传输特性使滤波器输出信噪比尽可能大的滤波器 。 当选择的滤波器传输特性使输出信噪比达到最大值时 ， 该滤波器就称为输出信噪

4、比最大的最佳线性滤波器 。 下面就来分析当滤波器具有什么样的特性时才能使输 出信噪比达到最大 。 滤波器输入 (8.1 - 1) )()()( tntstr 滤波器输出 (8.1 - 2) )()()( 00 tntsty deHSdeSts tjtj )()(2 1)(2 1)( 00 (8.1 - 3) 滤波器输出噪声的平均功率为 dHPdPN inn 20 )()(2 1)(2 1 0 dHndHn 2020 )(4)()(22 1 (8.1 - 4) dH n deSH N ts r tj 20 2 0 2 00 0 )( 4 )()( 2 1 )( 0 在抽样时刻 t0，线性滤波器输

5、出信号的 瞬时功率与噪声 平均功率之比 为 (8.1 - 5) 滤波器输出信噪比 ro与输入信号的频谱函数 S()和滤 波器的传输函数 H()有关 。 在输入信号给定的情况下 ， 输出信噪比 ro只与滤波器的传输函数 H()有关 。 使输 出信噪比 ro达到最大的传输函数 H()就是我们所要求 的最佳滤波器的传输函数 。 施瓦兹 (Schwartz)不等式 dYdXdYX 22 2 )( 2 1)( 2 1)()( 2 1 (8.1 - 6) 式中， X()和 Y()都是实变量 的复函数。当且仅当 时式中等式才能成立。 )()( KYX (8.1 - 7) )()( HX (8.1 - 8)

6、0)()( tjeSY (8.1 - 9) 令 可得 dH n deSH r tj 20 2 0 )( 4 )()( 2 1 0 (8.1 - 10) 2 )( 2 1 )( 4 )()( 4 1 0 2 20 22 2 0 n dS dH n deSdH tj 根据帕塞瓦尔 (Parseval)定理有 EdttsdS )()(2 1 22 (8.1 - 11) 0 0 2 n Er (8.1 - 12) 因此 最大输出信噪比 0 m a x0 2 n Er (8.1 - 13) 0)()( tjeKSH (8.1 - 14) 根据施瓦兹不等式中等号成立的条件可得 匹配滤波器 deeKSdeH

7、th tjtjtj 0)(2 1)(2 1)( dsdeK dedes K ttj ttjj )( 2 1 )( 2 )( )( 0 0 )()()( 00 ttKsdttsK (8.1 - 15) 即匹配滤波器的单位冲激响应为 )()( 0 ttKsth (8.1 - 16) 上式表明 ， 匹配滤波器的单位冲激响应 h(t)是输入信 号 s(t)的镜像函数 ， t0为输出最大信噪比时刻 。 图 8-2 匹配滤波器单位冲激响应原理 s ( t ) O T t h ( t ) O tt 0 0,0 0),()( 0 t tttKsth (8.1 - 17) 对于因果系统 00 0 0,0)( 0

8、,0)( ttttts ttts 或 (8.1 - 18) 因此必须有 (8.1 - 19) 上式条件说明 ， 对于一个物理可实现的匹配滤波 器 ， 其输入信号 s(t)必须在它输出最大信噪比的时刻 t0 之前结束 。 也就是说 ， 若输入信号在 T时刻结束 ， 则 对物理可实现的匹配滤波器 ， 其输出最大信噪比时刻 t0必须在输入信号结束之后 ， 即 t0T。 对于接收机来 说 ， t0是时间延迟 ， 通常总是希望时间延迟尽可能小 ， 因此一般情况可取 t0=T。 dtKsts dhtsthtsts )()( )()()()()( 0 0 (8.1 - 20) 输出信号 )()()()( 0

9、00 ttRKdxttxsxsKts (8.1 - 21) 令 xt 0 上式表明 ， 匹配滤波器的输出波形是输入信号 s(t) 的自相关函数的 K倍 。 因此 ， 匹配滤波器可以看成是 一个计算输入信号自相关函数的相关器 ， 其在 t0时刻 得到最大输出信噪比 romax=2E/n0。 由于输出信噪比与 常数 K无关 ， 所以通常取 K=1。 例 8 - 1 设输入信号如图 8 - 3(a)所示 ， 试求该信号 的匹配滤波器传输函数和输出信号波形 。 频谱函数 其它,0 2 0,1)( T tts 解： (1) 输入信号为 22/ 0 11)()( TjT tjtj e jdtedtetsS

10、 传递函数 00 11)()( 2 tj Tj tj ee jeSH 冲激响应 )()( 0 ttsth 图 8-3 信号时间波形 ( a ) ( b ) s o ( t ) O T t ( c ) 2 T 2 T 2 T 2 3 T s ( t ) 0 T t 2 T 1 h ( t ) 0 T t 1 )(th)(ts 取 t0=T， 则有 Tj Tj eejH 11)( 2 )()( 0 ttsth (2) 匹配滤波器的输出为 其它,0 2 3 , 2 3 2 , 2 )()()()( 000 T tTt T Tt T t T dxttxsxsttRts 可见 ， 匹配滤波器的输出在 t

11、=T时刻得到最大的能量 E= T/2。 8.2 最小差错概率接收准则 匹配滤波器是以抽样时刻信噪比最大为标准来构 造接收机 。 在数字通信中 ， 人们更关心判决输出的数 据准确率 ， 因此 ， 使输出总误码率最小的最小差错概 率准则 ， 更适合于作为数字信号接收的准则 。 8.2.1 数字信号接收的统计模型 在数字信号的最佳接收分析中 ， 我们不是采用先 给出接收机模型然后分析其性能的分析方法 ， 而是从 数字信号接收统计模型出发 ， 依据某种最佳接收准 则 ， 推导出相应的最佳接收机结构 ， 然后再分析其 性能 。 图 8 4 数字通信系统的统计模型 X S Y 判决 规则 R n 消息空间

12、 信号空间 观察空间 判决空间 噪声空间 图中消息空间、 信号空间、噪声空间、观察空间 及判决空间分别代表消息、 发送信号、噪声、接收信 号波形及判决结果的所有可能状态的集合。各个空间 的状态用它们的统计特性来描述。 在数字通信系统中，消息是离散的状态。 消息是各种物理量，本身不能直接在数字通信系统中进 行传输，因此需要将消息变换为相应的电信号 s(t)。通常 最直接的方法是建立消息与信号之间一一对应的关系 )()()( 2 2 1 1 m m xP x xP x xP x 1)( 1 m i ixP mxPxPxP m 1)()()( 21 msssS , 21 1)( 1 m i isP

13、msPsPsP m 1)()()( 21 mxxxX , 21 )()()( 2 2 1 1 m m sP s sP s sP s 消息 信号 P(si)是描述信号发送概率的参数 ， 通常称为 先验概 率 ， 它是信号统计检测的 第一数据 。 信道特性是加性高斯噪声信道 ， 噪声空间 n是加 性高斯噪声 。 为了更全面地描述噪声的统计特性 ， 采 用噪声的多维联合概率密度函数 。 (8.2 - 7) ),()( 21 knnnfnf 根据随机信号分析理论我们知道 ， 若噪声是高斯 白噪声 ， 则它在任意两个时刻上得到的样值都是互不 相关的 ， 同时也是统计独立的； 若噪声是带限高斯型 的 ，

14、按抽样定理对其抽样 ， 则它在抽样时刻上的样值 也是互不相关的 ， 同时也是统计独立的 。 根据随机信 号分析 ， 若随机信号各样值是统计独立的 ， 则有 k维概率密度 (8.2 - 8) )()()(),( 2121 kk nfnfnfnnnf 2 2 2e x p2 1)( n i n i nnf k i i n k n nnf 1 2 22 1e x p 2 1)( 根据帕塞瓦尔定理 ， 当 k很大时有 dttnnn T k i i n )(12 1 0 2 01 2 2 (8.2 - 9) 一维概率密度 (8.2 - 10) k维概率密度 (8.2 - 11) 式中 为噪声的单边功率谱

15、密度 。 H n fn 2 0 公式 (8.2-11)的推导： 若低通信道的截止频率为 fH， 理想抽样频率为 2fH， 则在 (0, T)时间内共有 2fHT个抽样值 ， 其平均功率为 TfknTfN H k i i H 2,2 1 1 2 0 令抽样间隔 ， 若 ， 则有 Hf t 2 1 T k n dttnnnf 0 2 0 )(1e x p 2 1)( (8.2 - 12) Tt Tk i i dttnTtnTN 0 2 1 2 0 )( 11 Tk i i H k i i n dttnntntfnn 0 2 01 2 01 2 2 )( 1 2 1 2 1 将公式 (8.2-11)

16、代入 (8.2-10)可得 信号通过信道叠加噪声后到达观察空间 ， 由于 在一个码元期间 T内 ， 信号集合中各状态 s1, s2, , sm 中之一被发送 ， 因此在观察期间 T内观察波形为 由于 n(t)是均值为零 ， 方差为 2n的高斯过程 ， 则当出 现信号 si(t)时 , y(t)的概率密度函数可表示为 ),2,1()()()( mitstnty i (8.2 - 13) (8.2 - 14) ),2,1()()(1e x p 2 1)( 0 2 0 midttstynyf T ik n s i fsi(y)称为 似然函数 ， 它是信号统计检测的 第二数据 。 8.2.2 在数字通

17、信系统中 ， 最直观且最合理的准则是 “ 最小差错概率 ” 准则 。 由于在传输过程中 ， 信号会 受到畸变和噪声的干扰 ， 发送信号 si(t)时不一定能判 为 ri出现 ， 而是判决空间的所有状态都可能出现 。 这 样将会造成错误接收 ， 我们期望错误接收的概率愈小 愈好 。 在噪声干扰环境中 ， 按照何种方法接收信号才能 使得错误概率最小 ？ 我们以二进制数字通信系统为例 分析其原理 。 在二进制数字通信系统中 ， 发送信号只 有两种状态 ， 假设发送信号 s1(t)和 s2(t)的先验概率分别 为 P(s1)和 P(s2)， s1(t)和 s2(t)在观察时刻的取值分别为 a1 和 a

18、2， 出现 s1(t)信号时 y(t)的概率密度函数 fs1(y)为 dtaty nyf T k n s 2 0 1 0 )(1e x p 2 1)( 1 同理 (8.2 - 15) dtaty nyf T k n s 2 0 2 0 )(1e x p 2 1)( 2 (8.2 - 16) 图 8- 5 fs1(y)和 fs2(y)的曲线图 f s 1 ( y ) f s 2 ( y ) ya 2 a a 1 y i 若在观察时刻得到的观察值为 yi，可依概率将 yi判为 r1 或 r2。 a sa s dyyfqdyyfq )()( 21 21可以看出 即 yi属于 r1的概率大于 yi属于

19、 r2的概率 。 因此 ， 依大概 率应将 yi判为 r1出现 。 a s dyyfq )(11 在 yi附近取一小区间 a a内属于 r1的概率 (8.2 - 17) a s dyyfq )(22a内属于 r2的概率 (8.2 - 18) 图 8 6 判决过程示意图 ya 2 y 0 a 1 P P f s 1 ( y ) f s 2 ( y ) r 1 r 2 根据 fs1(y)和 fs2(y)的单调性质 ， 在下图中 y坐标上可 以找到一个划分点 y0。 在区间 (-, y0， q1 q2；在区 间 (y0, )， q1 q2。 根据下图所分析的判决原理 ， 当 观察时刻得到的观察值 y

20、i (-, y0)时 ， 判为 r1出现； 若观察时刻得到的观察值 yi (y0, )时 ， 判为 r2出现 。 如果发送的是 s1(t)， 但是观察时刻得到的观察值 yi落在 (y0,)区间 , 被判为 r2出现 ， 这时将造成错误判决 ， 其 错误概率为 dyyfsP y ss )()( 0 11 2 (8.2 - 19) dyyfsP y ss )()( 0 22 1 (8.2 - 20) 同理 dyyfsPdyyfsP sPsPsPsPP y sy s sse )()()()( )()()()( 0 2 0 1 21 21 1221 (8.2 - 21) 总误码率 可以看出 ， 系统总

21、的误码率与先验概率 、 似然函数及 划分点 y0有关 。 在先验概率和似然函数一定的情况下 ， 系统总的误码率 Pe是划分点 y0的函数 。 )( )( )( )( 1 2 0 0 2 1 sP sP yf yf s s 0 0 yPe (8.2 - 22) 0)()()()( 0201 21 yfsPyfsP ss (8.2 - 23) y0为最佳划分点，于是有 (8.2 - 24) 为了达到最小差错概率 ， 可以按以下规则进行判决 )(, )( )( )( )( )(, )( )( )( )( 22 1 2 11 1 2 2 1 2 1 sr sP sP yf yf sr sP sP yf

22、 yf s s s s 即判为 即判为 (8.2 - 25) 以上判决规则称为似然比准则 。 在加性高斯白噪声条 件下 ， 似然比准则和最小差错概率准则是等价的 。 当 s1(t)和 s2(t)的发送概率相等时 ， 即 P(s1)=P(s2)时 ， 则有 )(),()( )(),()( 22 11 21 21 sryfyf sryfyf ss ss 即判为 即判为(8.2 - 26) 上式判决规则称为最大似然准则 ， 其物理概念是 ， 接 收到的波形 y中 ， 哪个似然函数大就判为哪个信号出 现 。 以上判决规则可以推广到多进制数字通信系统中 ， 对于 m个可能发送的信号 ， 在先验概率相等时

23、的最大 似然准则为 最小差错概率准则是数字通信系统最常采用的准则 ， 除此之外 ， 贝叶斯 (Bayes)准则 、 尼曼 -皮尔逊 (Neyman- Pearson)准则 、 极大极小准则等有时也被采用 。 );,2,1;,2,1( ),()( jimjmi syfyf iss ji 判为(8.2 - 27) 8.3 确知信号的最佳接收机 信号统计检测是利用概率和数理统计的工具来设 计接收机 。 所谓最佳接收机设计是指在一组给定的假 设条件下 ， 利用信号检测理论给出满足某种最佳准则 接收机的数学描述和组成原理框图 ， 而不涉及接收机 各级的具体电路 。 图 8 7 接收端原理 最佳接收机 s

24、 ( t ) n ( t ) 输出 8.3.1 tT dttsEdttsEE 0 2220 211 )()( 在 (0, T)内 (8.3 - 1) 时发送 时发送 )(),()( )(),()()( 22 11 tstnts tstntsty (8.3 - 2) 合成波 dttsty nyf T k n s 2 0 1 0 )()(1e x p 2 1)( 1 (8.3 - 3) dttsty nyf T k n s 2 0 2 0 )()(1e x p 2 1)( 2 (8.3 - 4) 似然函数 )( )( )( )( 1 2 0 0 2 1 sP sP yf yf s s (8.3 -

25、 5) 判为 s1(t)出现 )( )( )( )( 1 2 0 0 2 1 sP sP yf yf s s (8.3 - 6) 判为 s2(t)出现 TT dttstyUdttstyU 0 220 11 )()()()( 判为 s1(t)出现 TT dttstyUdttstyU 0 220 11 )()()()( 判为 s2(t)出现 )(ln 2 )(ln 2 2 0 2 1 0 1 sP n U sP n U (8.3 - 9) 式中 在先验概率 P(s1)和 P(s2)给定的情况下， U1和 U2都为常数。 图 8 8 二进制确知信号最佳接收机结构 积分器 y ( t ) s 1 (

26、t ) 输出 积分器 s 2 ( t ) U 1 U 2 比较器 这种最佳接收机的结构是按比较观察波形 y(t)与 s1(t)和 s2(t)的相关性而构成的 ， 因而称为 相关接收机 。 其中 相乘器与积分器构成相关器 。 图 8- 9 二进制确知信号最佳接收机简化结构 积分器 y ( t ) s 1 ( t ) 输出 积分器 s 2 ( t ) 比较器 如果发送信号 s1(t)和 s2(t)的出现概率相等，即 P(s1)=P(s2)， 则可得 U1=U2。于是在先验等概率情况下的二进制确知 信号最佳接收机可以简化结构。 匹配滤波器可以看成是一个计算输入信号自相关函数 的相关器 。 )()(

27、tTsth (8.3 - 10) )()()( tntsty (8.3 - 11) (8.3 - 12) t=T T T T dttsty dttTTsty dttThtyTu 0 0 0 0 )()( )()( )()()( 可以看出匹配滤波器在抽样时刻 t=T时的输出样值与最 佳接收机中相关器在 t=T时的输出样值相等 ， 因此 ， 可 以用匹配滤波器代替相关器构成最佳接收机 。 图 8- 10 匹配滤波器形式的最佳接收机 h 1 ( t ) s 1 ( T t ) (0 t T ) y ( t ) 输出 比较器 h 2 ( t ) s 2 ( T t ) (0 t T ) 在最小差错概率准则下 ， 相关器形式的最佳接收机 与匹配滤波器形式的最佳接收机是等价的 。 另外 ， 无论是相关器还是匹配滤波器形式的最佳接收机 , 它 们的比较器都是在 t=T时刻才作出判决 ， 也即在码元 结束时刻才能给出最佳判决结果 。 因此 ， 判决时刻 的任何偏差都将影响接收机的性能 。 本章结束 习题： 8-4， 8-8， 8-9