2020版高考数学一轮复习 第二篇 函数及其应用（必修1）第3节 函数的奇偶性与周期性课件 理

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1、第第3 3节函数的奇偶性与周期性节函数的奇偶性与周期性 考纲展示考纲展示 1.1.结结合具体函数合具体函数,了解函数奇偶了解函数奇偶性的含性的含义义.2.2.会运用函数的会运用函数的图图象理解和研究象理解和研究函数的奇偶性函数的奇偶性.3.3.了解函数周期性、最小正周期的含了解函数周期性、最小正周期的含义义,会会判断、判断、应应用用简单简单函数的周期性函数的周期性.知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来知识梳理知识梳理1.1.函数的奇偶性函数的奇偶性奇偶性奇偶性定定义义图图象特点象特点偶函数偶函数如果如果对对于函数于函数f

2、(x)f(x)的定的定义义域内任意域内任意一个一个x,x,都有都有 ,那么函那么函数数f(x)f(x)是偶函数是偶函数关于关于 对对称称奇函数奇函数如果如果对对于函数于函数f(x)f(x)的定的定义义域内任意域内任意一个一个x,x,都有都有 ,那么函那么函数数f(x)f(x)是奇函数是奇函数关于关于 对对称称f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)y y轴轴 f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)原点原点2.2.函数的周期性函数的周期性(1)(1)周期函数周期函数:T:T为函数为函数f(x)f(x)的一个周期的一个周期,则需满足的条件则需满足的条件:T0;T0;f(x+T)=f(x)f(

3、x+T)=f(x)对定义域内的任意对定义域内的任意x x都成立都成立.(2)(2)最小正周期最小正周期:如果在周期函数如果在周期函数f(x)f(x)的所有周期中存在一个的所有周期中存在一个 ,那么这个那么这个 就叫做它的最小正周期就叫做它的最小正周期.(3)(3)周期不唯一周期不唯一:若若T T是函数是函数y=f(x)(xy=f(x)(xR R)的一个周期的一个周期,则则nT(nnT(nZ Z,且且n0)n0)也是也是f(x)f(x)的周期的周期,即即f(x+nT)=f(x).f(x+nT)=f(x).最小的正数最小的正数最小的正数最小的正数 【重要结论重要结论】1.(1)1.(1)如果一个奇

4、函数如果一个奇函数f(x)f(x)在原点处有定义在原点处有定义,即即f(0)f(0)有意义有意义,那么一定有那么一定有f(0)=0.f(0)=0.(2)(2)如果函数如果函数f(x)f(x)是偶函数是偶函数,那么那么f(x)=f(|x|).f(x)=f(|x|).2.2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性具有相反的单调性.3.3.函数周期性常用结论函数周期性常用结论对对f(x)f(x)定义域内任一自变量的值定义域内任一自变量的值x:x:(1)(1)若若f(x+a)=-f(x),f(x

5、+a)=-f(x),则则T=2a(a0).T=2a(a0).4.4.函数图象对称性的三个结论函数图象对称性的三个结论(1)(1)若函数若函数y=f(x+a)y=f(x+a)是偶函数是偶函数,即即f(a-x)=f(a+x),f(a-x)=f(a+x),则函数则函数y=f(x)y=f(x)的图象关于直的图象关于直线线x=ax=a对称对称.(2)(2)若对于若对于R R上的任意上的任意x x都有都有f(2a-x)=f(x)f(2a-x)=f(x)或或 f(-x)=f(2a+x),f(-x)=f(2a+x),则则y=f(x)y=f(x)的图象的图象关于直线关于直线x=ax=a对称对称.(3)(3)若函

6、数若函数y=f(x+b)y=f(x+b)是奇函数是奇函数,即即f(-x+b)+f(x+b)=0,f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数则函数y=f(x)y=f(x)关于点关于点(b,0)(b,0)中心对称中心对称.对点自测对点自测1.1.(教材改编题教材改编题)下列函数中为偶函数的是下列函数中为偶函数的是()(A)y=x(A)y=x2 2sin xsin x(B)y=x(B)y=x2 2cos xcos x(C)y=|ln x|(C)y=|ln x|(D)y=2(D)y=2-x-xB B解析解析:根据偶函数的定义知偶函数满足根据偶函数的定义知偶函数满足f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)

7、且定义域关于原点对称且定义域关于原点对称,A,A选项为奇函数选项为奇函数;B;B选项为偶函数选项为偶函数;C;C选项定义域为选项定义域为(0,+),(0,+),不具有奇偶性不具有奇偶性;D;D选项选项既不是奇函数既不是奇函数,也不是偶函数也不是偶函数.B B 2.2.已知已知f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+bx是定是定义义在在a-1,2aa-1,2a上的偶函数上的偶函数,那么那么a+ba+b的的值值是是()答案答案:1 14.4.(2017(2017全国全国卷卷)已知函数已知函数f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数,当当x(-,0)x(-,0)时时,f(x)=,

8、f(x)=2x2x3 3+x+x2 2,则则f(2)=f(2)=.解析解析:因为因为x(-,0),f(x)=2xx(-,0),f(x)=2x3 3+x+x2 2且为奇函数且为奇函数,所以所以f(-2)=2f(-2)=2(-8)+4=-12,(-8)+4=-12,又因为又因为f(-2)=-f(2)=-12,f(-2)=-f(2)=-12,所以所以f(2)=12.f(2)=12.答案答案:12125.5.下列说法正确的是下列说法正确的是.函数函数y=xy=x2 2在在x(0,+)x(0,+)时是偶函数时是偶函数;若函数若函数f(x)f(x)为奇函数为奇函数,则一定有则一定有f(0)=0;f(0)=

9、0;若若T T是函数的一个周期是函数的一个周期,则则nT(nnT(nZ Z,n0),n0)也是函数的周期也是函数的周期;若函数若函数y=f(x+b)y=f(x+b)是奇函数是奇函数,则函数则函数y=f(x)y=f(x)的图象关于点的图象关于点(b,0)(b,0)中心对称中心对称.解析解析:由于偶函数的定义域关于原点对称由于偶函数的定义域关于原点对称,故故y=xy=x2 2在在(0,+)(0,+)上不是偶函数上不是偶函数,错错;由奇函数定义可知由奇函数定义可知,若若f(x)f(x)为奇函数为奇函数,其在其在x=0 x=0处有意义时才满足处有意义时才满足f(0)=0,f(0)=0,错错;由周期函数

10、的定义由周期函数的定义,正确正确;由于由于y=f(x+b)y=f(x+b)的图象关于的图象关于(0,0)(0,0)对称对称,根据图象平移变换根据图象平移变换,知知y=f(x)y=f(x)的图象关于的图象关于(b,0)(b,0)对称对称,正确正确.答案答案:考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一函数的奇偶性及其应用考点一函数的奇偶性及其应用答案答案:1 1解解:显然函数显然函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为(-,0)(0,+),(-,0)(0,+),关于原点对称关于原点对称,因为当因为当x0 x0,-x0,则则f(-x)=-(-x)f(-x)=-(-x)2 2-x

11、=-x-x=-x2 2-x=-f(x);-x=-f(x);当当x0 x0时时,-x0,-x0,则则f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)2 2-x=x-x=x2 2-x=-f(x).-x=-f(x).综上可知综上可知,对于定义域内的任意对于定义域内的任意x,x,总有总有f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)成立成立,所以函数所以函数f(x)f(x)为奇函数为奇函数.(1)(1)判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件其中包括两个必备条件:定义域关于原点对称定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考所以首先考虑定义域

12、虑定义域;判断判断f(x)f(x)与与f(-x)f(-x)是否具有等量关系是否具有等量关系.(2)(2)已知函数的奇偶性求参数已知函数的奇偶性求参数,一般采用待定系数法求解一般采用待定系数法求解,根据根据f(x)f(x)f(-x)=0f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程由系数的对等性得参数的值或方程(组组),),进而得进而得出参数的值出参数的值.反思归纳反思归纳【跟踪训练跟踪训练1 1】(1)(1)下列函数中下列函数中,既不是奇函数既不是奇函数,也不是偶函数的是也不是偶函数的是()(2)(2)(2018(2018山西省六校第四次联考山西

13、省六校第四次联考)设设f(x)f(x)为定义在为定义在R R上的奇函数上的奇函数,当当x0 x0时时,f(x)=3f(x)=3x x-7x+2b(b-7x+2b(b为常数为常数),),则则f(-2)f(-2)等于等于()(A)6 (A)6 (B)-6 (B)-6 (C)4 (C)4 (D)-4(D)-4解析解析:(2)(2)因为因为f(x)f(x)为奇函数为奇函数,所以所以f(-2)=-f(2)=-(3f(-2)=-f(2)=-(32 2-7-72+2b)=5-2b,2+2b)=5-2b,又奇函数又奇函数f(x)f(x)在在x=0 x=0有定义有定义,所以所以f(0)=3f(0)=30 0-7

14、-70+2b=0,0+2b=0,所以所以2b=-1,2b=-1,所以所以f(-2)=6.f(-2)=6.故选故选A.A.考点二函数的周期性及其应用考点二函数的周期性及其应用【例例2 2】(1)(1)(2018(2018全国全国卷卷)已知已知f(x)f(x)是定义域为是定义域为(-,+)(-,+)的奇函数的奇函数,满足满足f(1-f(1-x)=f(1+x).x)=f(1+x).若若f(1)=2,f(1)=2,则则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)f(1)+f(2)+f(3)+f(50)等于等于()(A)-50(A)-50(B)0 (B)0 (C)2 (C)2 (D)50(D)50解析解析:

15、(1)(1)因为因为f(x)f(x)是奇函数是奇函数,所以所以f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),所以所以f(1-x)=-f(x-1).f(1-x)=-f(x-1).由由f(1-x)=f(1+x),f(1-x)=f(1+x),所以所以-f(x-1)=f(x+1),-f(x-1)=f(x+1),所以所以f(x+2)=-f(x),f(x+2)=-f(x),所以所以f(x+4)=-f(x+2)=-f(x)=f(x),f(x+4)=-f(x+2)=-f(x)=f(x),所以函数所以函数f(x)f(x)是周期为是周期为4 4的周期函数的周期函数.由由f(x)f(x)为奇函数及其定义域得为奇函

16、数及其定义域得f(0)=0.f(0)=0.又因为又因为f(1-x)=f(1+x),f(1-x)=f(1+x),所以所以f(x)f(x)的图象关于直线的图象关于直线x=1x=1对称对称,所以所以f(2)=f(0)=0,f(2)=f(0)=0,所以所以f(-2)=0.f(-2)=0.又又f(1)=2,f(1)=2,所以所以f(-1)=-2,f(-1)=-2,所以所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(-1)+f(0)=2+0-2+0=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(-1)+f(0)=2+0-2+0=0,所以所以f(1)+f(2)+f(

17、3)+f(4)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(49)+f(50)=0+f(49)+f(50)=012+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2.12+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2.故选故选C.C.答案答案:(1)C(1)C 答案答案:(2)-2(2)-2反思归纳反思归纳(1)(1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时,应根据应根据周期性或奇偶性周期性或奇偶性,由待求区间转化到已知区间由待求区间转化到已知区间.(2)(2)判断函数的周期性只需证明判断函数的周期性只需证明f

18、(x+T)=f(x)(T0),f(x+T)=f(x)(T0),便可证便可证f(x)f(x)是周期为是周期为T T的函数的函数.答案答案:(1)A(1)A 答案答案:(2)6(2)6(2)(2)(2017(2017山东卷山东卷)已知已知f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的偶函数上的偶函数,且且f(x+4)=f(x-2).f(x+4)=f(x-2).若当若当xx-3,0-3,0时时,f(x)=6,f(x)=6-x-x,则则f(919)=f(919)=.解析解析:(2)(2)因为因为f(x+4)=f(x-2),f(x+4)=f(x-2),所以所以f(x+2)+4)=f(x+2)-2),f(x+

19、2)+4)=f(x+2)-2),即即f(x+6)=f(x),f(x+6)=f(x),所以所以f(x)f(x)是周期为是周期为6 6的周期函数的周期函数,所以所以f(919)=f(153f(919)=f(1536+1)=f(1).6+1)=f(1).又又f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的偶函数上的偶函数,所以所以f(1)=f(-1)=6,f(1)=f(-1)=6,即即f(919)=6.f(919)=6.考点三函数性质的综合运用考点三函数性质的综合运用(多维探究多维探究)考查角度考查角度1:1:函数单调性与奇偶性函数单调性与奇偶性【例【例3 3】(1)(1)(2017(2017天津卷天津卷

20、)已知奇函数已知奇函数f(x)f(x)在在R R上是增函数上是增函数,g(x)=xf(x).,g(x)=xf(x).若若a=ga=g(-log(-log2 25.1),b=g(25.1),b=g(20.80.8),c=g(3),),c=g(3),则则a,b,ca,b,c的大小关系为的大小关系为()(A)abc(A)abc(B)cba(B)cba(C)bac(C)bac(D)bca(D)bca解析解析:(1)(1)依题意依题意a=g(-loga=g(-log2 25.1)=(-log5.1)=(-log2 25.1)5.1)f(-logf(-log2 25.1)=log5.1)=log2 25.

21、1f(log5.1f(log2 25.1)=5.1)=g(logg(log2 25.1).5.1).因为因为f(x)f(x)在在R R上是增函数上是增函数,可设可设0 x0 x1 1xx2 2,则则f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2).).从而从而x x1 1f(xf(x1 1)x)x2 2f(xf(x2 2),),即即g(xg(x1 1)g(x)0,25.10,20.80.80,30,0,30,且且2 20.80.8221 1=log=log2 24log4log2 25.1log5.1log3log2 25.125.120.80.80,0,所以所以cab.cab.故选故选C.C.(2

22、)(2)(2018(2018河北石家庄一模河北石家庄一模)设设f(x)f(x)是定义在是定义在-2b,3+b-2b,3+b上的偶函数上的偶函数,且在且在-2b,0-2b,0上为增函数上为增函数,则则f(x-1)f(3)f(x-1)f(3)的解集为的解集为()(A)-3,3(A)-3,3(B)-2,4(B)-2,4(C)-1,5(C)-1,5(D)0,6(D)0,6解析解析:(2)(2)因为因为f(x)f(x)是定义在是定义在-2b,3+b-2b,3+b上的偶函数上的偶函数,所以有所以有-2b+3+b=0,-2b+3+b=0,解得解得b=3,b=3,由函数由函数f(x)f(x)在在-6,0-6,

23、0上为增函数上为增函数,得得f(x)f(x)在在(0,6(0,6上为减函数上为减函数,故故f(x-1)f(3)f(x-1)f(3)f(|x-1|)f(3)f(|x-1|)f(3)|x-1|3,|x-1|3,故故-2x4.-2x4.故选故选B.B.反思归纳反思归纳函数单调性与奇偶性结合函数单调性与奇偶性结合,注意函数单调性及奇偶性的定义注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函以及奇、偶函数图象的对称性数图象的对称性.【跟踪训练跟踪训练3 3】若函数若函数f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的偶函数上的偶函数,且在区间且在区间0,+)0,+)上是单调递上是单调递增函数增函数,如果实数如果实数

24、t t满足满足f(ln t)+f(ln )2f(1),f(ln t)+f(ln )2f(1),那么那么t t的取值范围是的取值范围是.考查角度考查角度2:2:函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性(A)(-1,4)(A)(-1,4)(B)(-2,0)(B)(-2,0)(C)(-1,0)(C)(-1,0)(D)(-1,2)(D)(-1,2)答案答案:(1)A(1)A(2)(2)(2018(2018重庆九校一模重庆九校一模)已知奇函数已知奇函数f(x)f(x)的图象关于直线的图象关于直线x=3x=3对称对称,当当xx0,30,3时时,f(x)=-x,f(x)=-x,则则f(-16)=f(-16)

25、=.解析解析:(2)(2)根据题意根据题意,函数函数f(x)f(x)的图象关于直线的图象关于直线x=3x=3对称对称,则有则有f(x)=f(6-x),f(x)=f(6-x),又由函数为奇函数又由函数为奇函数,则则f(x)=f(6-x)=-f(x-6)=f(x-12),f(x)=f(6-x)=-f(x-6)=f(x-12),则则f(x)f(x)的最小正周期是的最小正周期是12,12,故故f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2)=-(-2)=2.f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2)=-(-2)=2.答案答案:(2)2(2)2反思归纳反思归纳周期性与奇偶性结合周期性与奇偶性结合,

26、此类问题多考查求值问题此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行常利用奇偶性及周期性进行交替转化交替转化,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(A)2 (A)2 (B)-18(B)-18 (C)18 (C)18 (D)-2(D)-2答案答案:(1)D(1)D(2)(2)(2018(2018上海崇明二模上海崇明二模)设设f(x)f(x)是定义在是定义在R R上以上以2 2为周期的偶函数为周期的偶函数,当当x0,1x0,1时时,f(x)=log,f(x)=log2 2(x+1),(x+1),则函数则函数f(x)f(x)

27、在在1,21,2上的解析式是上的解析式是.解析解析:(2)(2)令令x-1,0,x-1,0,则则-x0,1,-x0,1,又又f(x)f(x)是偶函数是偶函数,所以所以f(x)=f(-x)=logf(x)=f(-x)=log2 2(-x+1),(-x+1),当当x1,2x1,2时时,x-2-1,0,x-2-1,0,故故f(x)=f(x-2)=logf(x)=f(x-2)=log2 2-(x-2)+1=log-(x-2)+1=log2 2(3-x).(3-x).答案答案:(2)f(x)=log(2)f(x)=log2 2(3-x),x1,2(3-x),x1,2备选例题备选例题答案答案:-10-10

28、 【例例3 3】设设f(x)f(x)是是(-,+)(-,+)上的奇函数上的奇函数,f(x+2)=-f(x),f(x+2)=-f(x),当当0 x10 x1时时,f(x)=x.,f(x)=x.(1)(1)求求f()f()的值的值;解解:(1)(1)由由f(x+2)=-f(x)f(x+2)=-f(x)得得,f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x),f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x),所以所以f(x)f(x)是以是以4 4为周期的周期函数为周期的周期函数,所以所以f()=f(-1f()=f(-14+)=f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4.4+)=f(-4

29、)=-f(4-)=-(4-)=-4.(2)(2)当当-4x4-4x4时时,求求f(x)f(x)的图象与的图象与x x轴所围成图形的面积轴所围成图形的面积.解解:(2)(2)由由f(x)f(x)是奇函数且是奇函数且f(x+2)=-f(x),f(x+2)=-f(x),得得f(x-1)+2=-f(x-1)=f-(x-1),f(x-1)+2=-f(x-1)=f-(x-1),即即f(1+x)=f(1-x).f(1+x)=f(1-x).故知函数故知函数y=f(x)y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线x=1x=1对称对称.又当又当0 x10 x1时时,f(x)=x,f(x)=x,且且f(x)f(x)的图象关于原点成中心对称的图象关于原点成中心对称,则则f(x)f(x)的示意图如的示意图如图所示图所示.当当-4x4-4x4时时,f(x),f(x)的图象与的图象与x x轴围成的图形面积为轴围成的图形面积为S,S,则则S=4SS=4SOABOAB=4=4(2 21)=4.1)=4.