长方体正方体知识点总结

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1、长方体的再认识一、 概念1、长方体的元素：六个面、八个顶点、十二条棱2、长方体的三元素的特点：（主要是外观特征和数量关系） 长方体的每个面都是长方形； 长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等。 长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面形状大小都相同。3、正方体是特殊的长方体。4、平面是平的，无边无沿，没有厚度和大小，一般用平行四边形来表示。记作：平面ABCD或平面。5、将水平放置的平面画成一边是水平位置，另一边与水平线成45度角的平行四边形。6、斜二侧画法画长方体时要注意：宽画成标注尺寸的一半；看不到的线画成虚线；要标字 母和尺寸，要写结论。长方体ABCD-EFGH、平面AB

2、CD、棱AB、顶点A。7、空间中两直线的位置关系有三种：相交、平行、异面 如果两条直线在同一平面内，有唯一公共点，称这两条直线的位置关系是相交； 如果两条直线在同一平面内，没有唯一公共点，称这两条直线的位置关系是平行； 如果两条直线既不平行也不相交，称这两条直线的位置关系是异面。8、直线垂直于平面记作:直线PQ丄平面ABCD ；直线平行于平面记作:直线PQ 平面ABCD。9、计算公式之一：（三条棱长分别是 a、 b、 c 的长方体） 棱长和=4（a + b + c）；体积=abc 表面积=2（ab + be + ac）； 无盖表面积=S ab、S be、S be10、计算公式之二：（边长是a正

3、方体）棱长和=12 a ；体积=a3 ；表面积=6a2 ；无盖表面积=5a2。11、长方体不一定是正方体；正方体一定是长方体。12、长方体中棱与棱的位置关系有3 种，分别是平行、相交、异面。13、长方体中棱与面的位置关系有2种，分别是：平行、垂直。14、长方体中面与面的位置关系有2种，分别是：平行、垂直。二、检验垂直或平行的方法：1、检验直线与平面垂直的方法： 铅垂线法：将铅垂线靠近被测直线，如果铅垂线能够紧贴被测直线，说明直线垂直于水 平面。（可用于检验细棒是否垂直于水平面、黑板的边沿是否垂直于水平面） 三角尺法：将两把三角尺的一条直角边分别紧贴已知平面并且位置交叉，将两把三角尺 的另一条直

4、角边分别靠近被测细棒，如果两条直角边都能够紧贴被测直线，说明直线垂直于 已知平面。（可用于检验细棒是否垂直于墙面） 合页型折纸法：将一张长方形的硬纸片对折，张开一个角度后直立于已知平面，用折痕 靠近被测直线，如果折痕能够紧贴被测直线，说明直线垂直于已知平面。2、检验平面与平面垂直的方法： 铅垂线法；三角尺法；合页型折纸法。3、检验直线与平面平行的方法： 铅垂线法：从被测直线的两个不同的点放下铅垂线，使铅垂线的下端刚好接触地面。如 果从这两个不同点到铅垂线的下端的线段的长度相等，那么说明被测直线平行于水平面。（可用于检验黑板的边沿是否平行于水平面） 长方形纸片法：将长方形纸片的一边贴合于已知平面

5、，另一边靠近被测直线，如果另 一边能够紧贴被测直线，则说明被测直线平行于已知平面。（可用于检验桌面上的灯管是否平行于桌面）4、检验平面与平面平行的方法： 长方形纸片法：将长方形纸片的一边贴合于已知平面，按交叉的方向分两次放在两个平 面之中，如果另一边能够紧贴被测平面，则说明被测平面平行于已知平面。二、长方体中的棱与面的位置关系：（长方体中有现成的合页型折纸、长方形纸片可供检验）1、长方体中与某条棱平行的棱有3 条，长方体中互相平行的棱共有18对；2、长方体中与某条棱相交的棱有4 条，长方体中相交的棱共有24对；3、长方体中与某条棱异面的棱有4 条，长方体中异面的棱共有24对；4、长方体中与某条

6、棱平行的面有2 个；5、长方体中与某条棱垂直的面有2 个；6、长方体中与某个面平行的棱有4 条；7、长方体中与某个面垂直的棱有4 条；8、长方体中与某个面平行的面有1 个，长方体中互相平行的面共有3对；9、长方体中与某个面垂直的面有4 个，长方体中互相垂直的面共有12对。 巩固练习一、选择题1长方体裁12 条棱中，棱相等的至少有)2.(A) 2 条;(B) 4 条;(C) 6 条;(D) 8 条.在长方体中,与一条棱垂直的平面有).(A) 1 个;(B )2 个；(C) 3 个;(D) 4 个.3.在长方体中,与一个平面垂直的棱有).4.A)1 个;(B)2 个;(C)3 个;(D)4 个.以

7、下说法中正确的个数是).1)水平面是平面,但平面不一定是水平面;2)凡与铅垂线重合的直线一定垂直于平面;3)直立于桌面上的合页型折纸的折痕必垂直于桌面;4)如果长方体的两条棱没有公共点,那么它们一定平行.(A)1 个;(B)2 个;(C)3 个;(D)4 个.5.下面哪个不是检验直线与平面垂直的工具).(A)铅垂线;(B)长方形纸片;(C)三角尺;(D)合页型折纸.6.长方体中,相邻的两个平面).(A)有垂直关系；(B)有平行关系;(C)可能垂直也可能平行；(D)无法确定.二、填空：7.空间两条直线的位置关系有8. 长方体的长是12cm，宽是8cm，高是5cm，这个长方体所有的棱长和是9.如图

8、,在山坡上栽种的小树,要检验它是否与地平面垂直,应该用什么方法检验：A1BiD1AB第10-13题图第14题图10. 如图，长方体中，与面CDDC垂直的棱有.11. 如图，长方体中，与面BCC1B1垂直的面有_12. 如图，在长方体中，与面CDD1C1平行的棱有13. 如图，沿长方形ABCD的对角线BD与长方形A1B1C1D1的对角线BD1将长方体截成相等的两部分，截面BDD1B1，是一个 形，与它平行的棱有14. 如图，将一张长方形的硬纸片对折，张开一个角度，然后直立于平面ABCD 上,那么折痕MN与平面ABCD的关系是.15. 如图，对长方体如图所示那样截去一角后余下的几何体有个顶点，条棱

9、， 个面_第15题图第16题图EABCD第17题图16. 如图所示，长方体截去两个角的几何体，剩下有个顶点，条棱，个面_17. 如图是长方体的六面展开图，在原来长方体中，与平面B垂直的面有18_如图，是由棱长为1的小正方体构成，其小正方体的个数为个.第18题图三、作图题19.画一个长方体，使它一个顶点出发的三条棱长分别是a、b、c_20补画下面的图形，使之成为长方体的直观图.四、简答题（12分+12分+14分+14分，共 52分）21用一根 108cm 长的铁丝做一个长、宽、高的比为2：3：4 的长方体框，那么这个长方体的体积是多少？22.把长、宽、高分别为5 cm、4 cm、3 cm两个相同

10、的长方体粘合成一个大的长方体, 求大长方体的表面积和体积.23.如图，将一个横截面是正方形（面BCGF）的长方体木料，沿平面AEGC分割成大小相同的两块，表面积增加了 30平方厘米.已知EG长5厘米，分割后每块木料的体积是18立方厘米.求原来这块长方体木料的表面积是多少？第23题图24小明准备用透明胶和硬纸板制作一个长方体纸盒，现在需要你的帮忙：(1) 制作前，要画出长方体纸盒的直观图，小明只画了一部分(如图1)，请你帮他画完 整(不写画法)；(2) 制作时，需要裁剪一块长方形的硬纸板，小明经过设计发现正好将这块硬纸板全部用完(如图2),请你求出长方体的长a、宽b和高c ；(3) 制作完成后，

11、小明想把这个盒子表面的其中5 个面都涂满相同的颜色，而且要使涂 色部分的面积最少，那么涂色部分的面积是多少呢？24厘米cTabb图1图2参考答案:、选择题 1B；2B；3D；4B；5B；6A二、填空题7.平行、相交、异面；8. 100 cm； 9铅垂线；10. AD, AR、BC、BR； 11. ABB、CDD、ABCD、ABCD ；12.AB、AB、AA、BB ；13.长方；CC、AA ； 14.垂直；15. 7、12、6；1111 11 1 1 1 116. 10、 15、 7； 17. A、 F、 C、 E. 18. 95三、解答题19.略；20.略.四、解答题21. 解：设棱长分别为2

12、x cm、3x cm、4x cmx=3所以棱长分别为6 cm、9 cm、12 cm体积为 V=6X9X 12=648 cm 3.22. 解：总表面积为 S= (5X4+4X3+5X3)X2=94cm2分类：1)以 5、4 为粘合面，则 S1=94X2- (5X4)X2=148.2) 以 5、3 为粘合面，则 S =94X2- (5X3)X2=158.23) 以 4、3 为粘合面，则 S =94X2- (4X3)X2=164.3体积为 V= (5X4X3)X2=1203.23. 解：由题意：对角线所在长方形面积=15 cm 2,故高 CG=15三5=3 (cm).又因为横截面是正方形，故BC=CG=3cm.而其体积为18X2=36 cm 3，故其边AB=36三32=4 cm；原来这块长方体木料的表面积$= (4X3+4X3+3X3)X2=66cm2.24解：1)略2)由题意：长方体六个面两俩相同，故只有aXb, aXc, bXc, 3种形式 故；如图可得：4b=24, 3a=c， 2b=c所以得：a=4， b=6， c=1224厘米ca4 b4 Kb3)总表面积为 S= (12X6+4X6+12X4)X2=288 cm 2要使涂色部分的面积最少，则涂色部分的面积是 S=288-(12X6)=216m2