向量在几何中的应用

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1、2.4.1 向量在几何中的应用 例 1.如图，已知平行四边形 ABCD中， E、 F在 对角线 BD上，并且 BE=FD，求证 AECF是平 行四边形。 证明：由已知设 ,A B D C a B E F D b A E A B B E a b F C F D D C b a AE FC 即边 AE、 FC平行且相等， AECF是平行四边形 a b b a F E D CB A （ 1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； （ 2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （ 3）把运算结果“翻译”成几何元素。 用向量方

2、法解决平面几何问题的“三步 曲”： 简述： 形到向量 向量的运算 向量和数到形 例 2. 求证平行四边形对角线互相平分 M D C BA 证明：如图，已知平行四边形 ABCD的两条 对角线相交于 M，设 ,A M x A C B M y B D 则 ,A M x A C x A B x A D ( ) ( 1 ) A M A B B M A B y B D A B y A D A B y A B y A D 根据平面向量基本定理知，这两个分解 式是相同的，所以 1xy xy 解得 1 2 1 2 x y 所以点 M是 AC、 BD的中点，即两条对 角线互相平分 . 例 3.已知正方形 ABCD

3、， P为对角线 AC上任意 一点， PE AB于点 E， PF BC于点 F，连接 DP、 EF，求证 DP EF。 P F E D C B A 证明：选择正交基底 ,AB AD 在这个基底下 ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 )A B A D 设 ( , )A P a a ( 1 , 0 ) , (0 , )E B a B F a P F E D C B A (1 , )E F a a ( , 1 )D P A P A D a a ( 1 , ) ( , 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 0 DP EF a a a a a a a a 所以 D P E F 因此 DP EF. 例 4、证

4、明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 . A B D C 已知：平行四边形 ABCD。 求证： 222222 BDACDACDBCAB bADaAB ,解： 设 ，则 baDBbaACaDAbBC ;, 分析： 因为平行四边形对边平行且相 等，故设 其它线段对应向 量用它们表示。 bADaAB , )(2 222222 baDACDBCAB 2222 babaBDAC 22222222 2222 bababbaabbaa 222222 BDACDACDBCAB a例 5 求 通 过 点 A(-1,2) ， 且 平 行 于 向 量 = （ 3,2 ） 的 直 线 方 程 。 ( , ) ,l

5、 P x y A P a解 ： 法 1 在 上 任 取 一 点 则 法 2 点 斜 式 解析几何中的向量方法 12 12 11 ta n ( , )y y ak a a ax x a 向 量 结论： 6 l n n l例 已 知 直 线 :Ax+By+C=0, =(A,B). 求 证 向 量 00,)n x y y l nl 向 量 =(A,B) 与 向 量 （ x- 垂 直 动 点 (x,y) 的 集 合 就 是 直 线 即 00 00 00 01 1 ) ( ) 0 l Ax By C l A x B y y 证 明 ： 设 (x ,y ) 为 直 线 的 方 程 的 一 个 解 ， 则

6、对 的 方 程 和 式 两 边 作 差 ， 整 理 ， 得 （ x- 法向量 ( 2 , 1 ) : 4 3 9 0A l x y 例 7 求 通 过 ， 且 与 直 线 平 行 的 直 线 方 程 。 ( , ) , la P x y AP a 解 ： 法 1 与 垂 直 的 向 量 （ 4 ， -3 ） 设 点 为 所 求 直 线 上 任 意 一 点 则 法 2 点 斜 式 法 3 待 定 系 数 例 5 如图， ABCD中，点 E、 F分别是 AD 、 DC边的中点， BE 、 BF分别与 AC交于 R 、 T 两点，你能发现 AR 、 RT 、 TC之间的关系吗？ A B C D E

7、F R T 猜想： AR=RT=TC , , ,A B a A D b A R r A C a b 由于 与 共线，故设 AR AC ( ) ,r n a b n R 又因为 共线， 所以设 E R E B与 1 2()E R m E B m a b 因为 所以 A R A E E R 11 22 ()r b m a b 11 22( ) ( )n a b b m a b 因 此 A B C D E F R T 解：设 则 1 0 2( ) ( ) mn m a n b 即 ,ab由 于 向 量 不 共 0 1 0 2 nm m n 线 ， 1解 得 ： n = m = 3 1 1 1 3 3 3,A R A C T C A C R T A C 所 以 同 理 于 是 故 AT=RT=TC A B C D E F R T