向量共线的条件与轴上向量坐标运算

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1、向量共线的条件与轴上向量坐标运算 引入：在学习向量概念时，我们们已给出向量共线 的概念： 如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线 或互相平行。 应注意，这里说的向量平 行包含向量基线重合的情形， 与两条直线平行的概念有点 不同 a b c d 向量共线的条件 由向量平行和向量数乘的定义可以推知： 平行向量基本定理 如果 ， 则 ；反之，如果 ( ) ， 则存在一个实数 ，使 ba a ba b ob ba 为什么要 求 ob 如果 则 如果 则 ，如果 的长度是 长的一半，并且方向相反，则 ba 2 ;ba bc 2 bc bd d b bd 2 1 a b b2 b2 c d b21

2、 给定一个非零向量 ， 与 同方向且 长度等于 1的向量，叫做向量 的 单位向量 。 a a a a 1 0a 或 如果向量 的单位向量记作 ， 由数乘向量定义可知 0a 0aa a a a a 0 a 单位向量 巩 固 练 习 判断下列命题是否正确 （ ） （ ） （ ） （ 1）向量 与向量 平行，则向量 与向量 方向相同 或相反。 AB CD AB CD （ 2）向量 与向量 是共线向量则 A、 B 、 C 、 D四点必在 一条直线上。 AB CD （ 3）若干个向量首尾相连，形成封闭图形则这些向量的和等于 零向量。 （ 4）起点不同，但方向相同且长度相等的几个向量是相等向量。 （ ）

3、C A B M N 证明： M、 N分别是 AB、 AC边上的中点 例题讲解（一） 例 1、如图所示， 、 是 的中位线。求证： , 且 M BCMN 21 BCMNABCN ACAMABAM 21,21 ABACAMANMN 2121 BCABAC 21)(21 BCMNBCMN 21, 例题讲解（二） 例 2、 已知 试问向量 与向量 是否平行 并求 .2,3 ebea a b ba : 解：由 得 ，代入 得 因此， 与 平行且 eb 2 be 2 1 ea 3 ba 23 a b 2 3: ba 定理的实质是向量相等，即存在唯一实数 使 ，应从向量的大小和方向两个方面理 解，借助实数

4、沟通了两个向量 与 的联系 ab )( oa b a 轴上向量坐标运算 轴的概念 规定了方向和长度单位的直 线叫做轴 已知轴 取单位向量 ,使 的方向与 同方向，根据平行 的条件，对于轴 上任意向量 一定存在唯一数 ，使 反过来，任意给定一个实数 ，我们总能作一个向量 ， 使它的长度等于这个实数 的绝对值，方向与实数 的符号一致。 l e le x exa x a x l 轴和数轴 的区别 想 一 想 l e 当 与 同方向时， 是正 数 当 与 反方向时， 是负数 a a e x e x 给定一向量 能生成与它平行的所有向量的集合 这里的向量 叫做轴 的基向量。 叫做 在 上的 坐标（或数量

5、） e Rxex e l x a l （其中 ） exa 轴上两个向量相等的条件是他们的坐标相等； 轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和。 设 于是 ，得 如果 则 反之，如果 ，则 , 21 exbexa ,ba 21 xx 21 xx ,ba exxba )( 21 O A B C l e 设 是轴 上的一个基向量 , 显然， ， 与 绝对值相同， 符号相反，即 e l eABAB eBABA 0 BAAB BA AB ACBCAB eACeBCeAB eACeBCAB )( 因为 oe 所以 ACBCAB O x 设 向量 平行于 轴，以原点 为始点作 则点 的位置被向量 所唯一确

6、定，由平行向量基本 定理知，存在唯一的实数 使 ，数值 是点 的位置向量在 轴上的坐标，也就是点 在 轴上的坐标。 a x aOP P a x exOP x P x P x P x a 在数轴 上，已知点 的坐标为 ，点 的坐标 为 x 1xA B 2x 12 xxAB 即 数轴上两点距离公式 为 12 xxAB o A 1x 3 0 2x B P x OBOAOBAOAB 12 xx 于是得到 例题讲解三 例 3、 已知数轴上三点 A、 B、 C的坐标分别是 4、 -2、 -6， 求 的坐标和长度。 CABCAB , O 4 -2 -6 l 解： ,64)2( AB 66 AB ,4)2(6

7、 BC 44 BC ,10)6(4 CA 1010 CA 基础知识形成性练习 1、把下列向量 表示为数乘向量 的形式 a b （ 1） ebea 6,3 （ 2） ebea 3 1,8 ebea 3 1, 3 2 （ 3） ebea 3 2, 4 3 （ 4） 得 aee 3)6(21 ba 2 1 （ 1） 由 （ 2） aee 8)16(21 由 得 ea 2 1 （ 3） aee 32)31(2 由 得 ba 2 （ 4） 由 得 aee 43)32(89 ba 8 9 答案： 3、在数轴上，已知 求 , BCAB AC （ 1） ;5,3 BCAB （ 2） ;7,5 BCAB ;23

8、,8 BCAB（ 3） （ 4） ;8,7 BCAB (1) AB+BC=AC AC=3+5=8 (2) AC=AB+BC=5+(-7)=-2 (3) AC=AB+BC=(-8)+23=15 (4) AC=AB+BC=-7+(-8)=-15 4、已知数轴上三点 、 、 的坐标分别为 求 、 、 的坐标和长度 A B C ,5,2,8 AB BC CA 设 、 、 的坐标分别为 A B C xxx 3,2,1 6)8(212 xxAB 6AB 7)2(523 xxBC 7BC 135831 xxCA 13CA 提 高 练 习 已知两个非零向量 和 不共线，如果 求证： 三点共线 1e 2e ,3

9、2 21 eeAB ,236 21 eeBC .84 21 eeCD DBA , AB eeee eeeeee CDBCABAD 6 )32(61812 8423632 2121 212121 向量 与向量 共线，且有共同起点 故 三点共线。 AD AB ,A DBA , 解： 变式引申 已知非零向量 和 不共线，欲使 和 共线，是确定 的值。 1e 2e 21 eek 21 eke k 解 ：因为 和 共线 21 eek 21 eke )( 2121 ekeeek 所以存在实数 ，使 21 )1()( ekek 则 由于 与 不共线， 1e 2e 01 0 k k 1k只能有 ，则 小结回顾

10、 向量共线的实质是向量相等，即存在唯一的实数 使 = a 定 理 内 容 本节课主要运用了直观、类比、特殊到一般的思维方法。 同学们要认真体会这些思维方法，提高理性思维的能力。 轴上向量的坐标运算给出了数轴上两点的坐标公式和向 量的坐标运算公式。定义了轴上两个向量求和的公式。 应 用 定理为解决三点共线和直线平行问题提供了一种方法， 要证三点共线或直线平行，任取两点确定两个向量， 看能否找唯一实数 ，使两向量相等，把向量平行的 问题转化 为寻求实数 使向量 相等问题。 实 质 b )( oa 作业：练习册英才名题 再 见！ 开放创新 已知向量 ，其中 不共 线，向量 问是否存在这样的实数 ，使

11、向 量 与 共线？ 2121 32,32 eebeea 21,ee 21 92 eec , bad c 解：假设存在这样的实数 使 与 共 线 ， , bad c )32()32( 2121 eeeebad 21 )33()22( ee 要使 与 共线，则应 有 实数 ，使 即 ckd k d c 2121 92)33()22( ekekee 由 k k 933 222 2 得 故存在这样的 使 与 共线 , d c 数学与日常生活 某人骑车以每小时 a公里的速度向东行驶，感到风从正北 方吹来，而当速度为 2a公里时，感到风从东北方向吹来， 试问实际风速和风向。 v a a 解 :设 表示人以

12、每小时 a 公里的速度向东行驶的向量。在无 风时此人感到的风速为 。设实际风速为 ,那么此人所 感到的风速向量为 .设 ，由于 从而 a a av aOBaOA 2, PAOAPO avPA B O P A v 这就是感到 从正北方向 吹来得风速。 由于 ，从而 于是，当此人的速度是原来的 2倍时所感受到由东北方 向吹来的风速就是 由题意，得 从而 为等腰直角三角形，故 即 答：实际吹来的风是风速为 的西北风。 PBOBPO PBav 2 PB AOBABOPAP B O ,45 0 PBO aPBPO 2 av 2 a2 2、已知：在 中， 求证 ： ，并且 ABC . 3 1, 3 1 ACANABAM BCMN 31BCMN 因为 所以 AMANMN )(31 BCAC BC31 BCMNBCMN 3 1, A M N C B