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1、第七章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 向量： 既有大小又有方向的量 . 向量表示： 以 1M 为起点， 2M 为终点的有向线段 . 1M 2M a 21 MM 模长为 1的向量 . ae 零向量： 模长为 0的向量 . 0 |a 21 MM| | 向量的模： 向量的大小 . 单位向量： 一、 向量的概念 或 或 自由向量： 不考虑起点位置的向量 . 相等向量： 大小相等且方向相同的向量 . 负向量： 大小相等但方向相反的向量 . a 向径： a b a a 空间直角坐标系中任一点 与原点 构成的向量 . OM M 本书讨论的是自由向量 . 向量平行： 方向相同或相反 . a
2、 b c 向量共面：可置于同一平面上 向量共线：向量平行 a b c 记作 向量的夹角：移成公共起点后 ,所夹不超过 的角 ),(),( abbaba 或的夹角记作与向量向量 向量垂直：夹角为 2 0)( 夹 角 为 或 1 加法： cba a b c （平行四边形法则） 特殊地：若 a b a b c | bac 分为同向和反向 b a c | bac （三角形法则） 二、向量的加减法 b 向量的加法符合下列运算规律： （ 1）交换律： .abba （ 2）结合律： cbacba )( ).( cba （ 3） .0)( aa 2 减法 )( baba ab b bc ba ba a b b
3、a bac )( 向量的字母表示法 ABBAAB 0000 三角不等式 | | baba baba 反向 同向 设 是一个数，向量 a 与 的乘积 a 规定为 ,0)1( a 与 a 同向， | aa ,0)2( 0 a ,0)3( a 与 a 反向， | aa a a2 a21 三、向量与数的乘法 数与向量的乘积符合下列运算规律： （ 1）结合律： （ 2）分配律： aaa )( baba )( )( a a)( )( a 向量的线性运算 :加法及数乘 A B CD M a b . . ,. 1 点 交是平行四边形对角线的这里和 表示向量，试用 ，中，设在平行四边形例 MMD MCMBMAb
4、abAD aABABCD a aa e 设 是 一 个 非 零 向 量 ， 记 与 同 向 的 单 位 向 量 为 ， 则 aeaa | 非零向量单位化 : aea a 例 2 化简 5 3 2 15 abbba 解 5 3 2 15 abbba ba 551251)31( .252 ba . 0 ab aba ，使一的实数分必要条件是：存在唯 的充平行于，那末向量设向量定理 关于两个向量的平行关系有如下定理： .ixopxP 的坐标为 则确定了数轴及单位向量设点 ,xio 以上述定理为理论依据可知 :给定一个 点、一个方向及单位长度，就确定了 一条数轴。 思考题 试用向量方法证明：对角线互相
5、平分的 四边形必是平行四边形 . 证 AM MC BM MD AD AM MD MC BM BC AD 与 平行且相等 , BC 结论得证 . A B CD M ab 一、 填空： 1 、 向量是 _ _ _ _ _ 的量； 2 、 向量的 _ _ _ _ _ _ 叫做向量的模； 3 、 _ _ _ _ _ _ 的向量叫做单位向量； 4 、 _ _ _ _ _ _ _ 的向量叫做零向量； 5 、 与 _ _ _ 无关的向量称为自由向量； 6 、 平行于同一直线的一组向量叫做 _ _ _ _ _ _ ，三 个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做 _ _ _ _ _ _ _ _ ； 7 、两向量
6、 _ _ ，我们称这两个向量相等； 8 、两个模相等、 _ _ _ _ _ _ 的向量互为逆向量； 9 、把空间中一切单位向量归结到共同的始点，则终点 构成 _ _ _ _ _ _ ； 练 习 题 10 、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的 始点，则终点构成 _ _ _ _ _ ； 11 、要使 baba 成立，向量 ba , 应满足 _ _ _ _ _ ； 12 、要使 baba 成立，向量 ba , 应满足 _ _ _ _ _ . 二、 用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平 行四边形 . 三、把 A B C 的 BC 边 五 等 分 ， 设 分 点 依 次 为 4321 ,
7、DDDD ， 再 把 各 分 点 与 点 A 连 接 ， 试 以 aBCcAB , 表示向量 ADADADAD 4321 , 和 . 练习题答案 一、 1 、既有大小 , 又有方向； 2 、大小； 3 、模等于 1 ； 4 、模等于零； 5 、起点； 6 、共线向量 , 共面向量； 7 、模相等且方向相同； 8 、方向相反； 9 、半径为 1 的球面； 10 、距离等于 2 的两点； 11 、 a 垂直于 b ； 12 、 a 与 b 同向 . 三、 ) 5 1 ( 1 acAD , ) 5 2 ( 2 acAD , ). 5 4 (), 5 3 ( 43 acADacAD 下册 P7/1,2,3
向量代数及空间解析几何
