复杂电路的计算整合

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1、电 磁 学 论文班级：13物理（1）班姓名：李建民学号：20131040212复杂电路的计算天水师范学院，13物理（1）班，李建民摘要解决复杂电路计算的基本公式是基尔霍夫方程组，原则上它可以用来计算任何复杂电路中每一支电路中的电流，可是实际的电路计算常常并不需 要计算每一支电路的电流，而只计算某一支路的电流，或某部分电路的等 效电阻等。在解决这样的问题中，可运用基尔霍夫方程组导出的定理，可 以简化计算。这些定理有等效电源定理、叠加定理、Y一等效代换定理。关键词 复杂电路 基尔霍夫方程组等效电源定理、叠加定理、Y一等效代换 定理一、定理的表述在此部分，我将所要引用的几个定理作以详细表述。（一）基

2、尔霍夫方程组。1、 基尔霍夫第一方程组。基尔霍夫第一方程组又称节点电流方程组， 它的理论基础是恒定条件。我们规定：流向节点的电流前写负号，反之，流出 节点的电流前写正号，则此节点处的代数和为0。-I1 - 12 + 13 = 0.2、 基尔霍夫第二方程组。基尔霍夫第二方程组又称回路电压方程组， 它的理论基础是恒定电场的环路定理。我们规定：在一个回路中预先确定一绕 行方向，电势从高到低降落为正，从低到高降落为负，则沿回路环绕一周，电 势降落代数和为0。艮 -8 +1 r +1 R +8 +1 （r + R ）-1 R = 0.11 12 223234 1（二）电压源与电流源等效电源定理。1、电压

3、源与电流源。一个实际电源可以看成是电动势为8内阻为0的理想 电压源与内阻r的串联。当电源两端接上外电阻R时，其上就有电流和电压。在 理想情况下，r=0，不管外电阻如何，电源提供的电压总是恒定值8，我们把这 种电源叫恒压源（即理想电压源）。在非理想情况下，r更0，这样的电源叫电压 源，它相当于内阻r与恒压电源串联，如图a我们也可以设想有一种理想电源，不管外电阻如何变化，它总是提供不变 的电流10，I。相当于恒压源中的电动势。这种理想的电源叫做恒流源。一个电池 串联很大的电阻，就近似于一个恒流源，因为它对外电阻所提供的电流基本上 由电动势和所串联的大电阻决定，几乎于外电阻无关。在非理想情况下，这样

4、 的电源叫电流源，它相当于一定的内阻与恒流源并联，如图b实际的电源既可以看成是电压源，也可以看成是电流源，也就是说电压源与电流源可以等效。所谓等效就是对于同样的外电路来说，它们所产生的电压 和电流都相同。在图a中的电压源提供的电流为了 rI =R + r r R + r在图b中的电流源提供的电流为可以看出，当即电流源的io等于电压源的短路电流、电流源的内阻等于电压源的内阻时，两电 源等效。2、等效电源定理。等效电压源定理又叫做戴维宁定理。表述为：两端有源网络可等效于一个电压源，其电动势等于网络的开路端电压，内阻等于从网络两端看除源（将电动势短路）网络的电阻。同理，可得等效电流源定理，又叫诺尔顿

5、定理。表述为：两端有源网络可 等效于一个电流源，电流源的Io等于两端短路流经两端点的电流，内阻等于从网 络两端看除源（将电动势短路）网络的电阻。（三）叠加定理叠加定理可表述为：若电源中有多个电源，则通过电路中任一支路的电流 等于各个电动势单独存在时，在该支路产生的电流之和。（四）Y一等效代换定理在某些复杂电路中会遇到电路连接成丫型或型，如果我们要计算电路的 等效电阻，是很复杂的。可是，如果把Y型连接代换成等效的型连接。或相 反地把型连接等效代换成Y型连接，则可在电路的串并联的基础上简化计算。下面我们说明Y型电阻与型电阻之间的等效代换方法。所谓等效，就是 指这两种电阻连接之间的代换仍保持电路中其

6、余各部分的电流与电压不变，即 要求Y型的三个端纽的电势、U2、匕以及流过的电流11、/ 2、七与型的三 个端纽相同。如图：可以证明，从Y型连接到型连接，各个电阻之间的变换关系为:R _ RR + RR + RR12 r，3n RR + R R + R RR_ 12233 ,23R1n RR + R R + R RR _ 12233 ,2从型连接到Y型连接的逆变换关系为:R =R31R12,1 R12 + R23 + R31R RR = 1223,2 R12 + R23 + R1R =M,3 R12 + R23 + R31J由以上公式可以看出，当Y型连接的三个电阻都等效时，与之等效的型连接的三个

7、电阻也相等，并且等于Y型电阻的3倍；同理，当型连接的三个电阻1 都等效时，与之等效的Y型连接的三个电阻也相等，并且等于型电阻的3倍。二、定理的证明在此部分将只给出Y一等效代换定理的证明，因为对于基尔霍夫方程组和 等效电源定理的证明在前面的表述部分已作了证明，在此不再详述；对于叠加 原理将在下面的定理的应用部分以立体例题的形式作证明，在此也不详细阐述; 然而在此部分，我主要将Y一等效代换定理作以证明：电阻的星形联结:将三个电阻的一端连在一起，另一端分别与外电路的三个 结点相连，就构成星形联结，又称为Y型联结，如图(a)所示。电阻的三角形联结:将三个电阻首尾相连，形成一个三角形，三角形的三个 顶点

8、分别与外电路的三个结点相连，就构成三角形联结，又称为型联结，如电阻的星形联结和电阻的三角形联结是一种电阻三端网络，电阻三端网络的特性是由端口电压电流关系来表征的，当两个电阻三端网络的电压电流关系完全 相同时，称它们为等效的电阻三端网络。将电路中某个电阻三端网络用它的等 效电阻三端网络代替时，不会影响端口和电路其余部分的电压和电流。1.电阻的星形联结与三角形联结的电压电流关系电阻的星形联结或三角形联结构成一个电阻三端网络，它有两个独立的端 口电流和两个独立的端口电压。电阻三端网络的端口特性，可用联系这些电压 和电流的两个代数方程来表征。用外加两个电流源，计算端口电压表达式的方 法，推导出电阻星形

9、联结和三角形联结网络的端口 VCR方程。对于电阻星形联结的三端网络，外加两个电流源i1和i2。用2b方程求出 端口电压u1和u2的表达式为：u = R i + R (i + i )1 1 13 1 2u = R i + R (i + i )2 2 23 12整理得到(2 一 13)u = (R + R )i + Ri 113 13 2 u = R i (R + R )i对电阻三角形联结的三端网络，外加两个电流源i1和i2,将电流源与电阻 的并联单口等效变换为一个电压源与电阻的串联单口，得到图(b)电路，由此得到：i =R31i1 - R23 i212R12 + R23 + R31U = R i

10、 - R i = R (i - i )J 131 131 1231 112u = R i + R i = R (i + i )223 1223 223 212i =R31i1 - R23 i212R12 + R23 + R31U = R i - R i = R (i - i )J 131 131 1231 112u = R i + R i = R (i + i )223 1223 223 212将i12表达式代入上两式，得到u = R31(R12 + 妇 i +2331i1 R + R + R1R+ R + R2u = R2i + R23(R12 + SI i2 R12 + R23 + R31

11、1R12+ R23 + R312(2 -14)式(2 13)和(2 14)分别表示电阻星形联结和三角形联结网络的VCR方程。如果要求电阻星形联结和三角形联结等效，则要求(2-13)和(2-14)两个VCR方程的对应系数分别相等，即：R + R = R31(R12 + R23)1 3R12 + R23 + R31R = M3R12 + R23 +R31R + R = R23(R12 + R31)2 3R12 + R23 + R31.(2 -15)R=1R=2R=3R1R12R12 + R23+ R31R12 R23R12+R23 + R31 (2 -16)R23 R31R12+ R23+ R31

12、 J电阻三角形联结等效变换为电阻星形联结的公式为接于，端两电阻之积型三电阻之和R + R = R31(R12 +R1 = R2 = R3 = Ry = 3 R1 3 R23 +R31(2 -15)R =R23R313R12 + R23 + R31R + R = R23(R12 +R31)2 3R12 + R23 + R31,由式(2 15)可解得:R _ RR + RR + RR12 =r，3n RR + R R + R RR= 12233 ,23R1R _ RR + RR + RR31 R2电阻星形联结等效变换为电阻三角形联结的公式为R =他电阻两两乘积之和mn不与mn端相连的电阻当 R1=

13、 R2= R3= RY 时，有R12 _ R23 = R31 _ R= 3 Ry (2 - 21)在复杂的电阻网络中，利用电阻星形联结与电阻三角形联结网络的等效变 换，可以简化电路分析。三、定理的应用在此部分将以例题的形式给出各个定理在解决实际同一问题中的应用，并 且在各个定理之间形成对比，显示出哪个更适合解决相应的问题。例一：已知如图所示的电路中，电动势匕=3.。妙， 2=1.妙，内阻厂0.5。， 尸2=1.。口，电阻人广0。，气=5.0。，r3 =4.5。，r4=19.0。，求电路中电流的分布。解:(一)基尔霍夫方程组解法：选择独立回路ABCDEA，写出基尔霍夫第二方程组：-8 +1 r

14、+1 R -1 R -1 R +8 -1 r = 0.22 22 41 21 311 1对于回路AEDCA，有：-8 +1 r +1 R +1 R +(I +1)R = 0.11 11 31 2121将上述两方程整理得：-1(R + R + r )+1 (r + R )=8 -812312 2421y I (r + R + R + R )+1 R =81 13212 11带入数值即可解得：I = 160mA，I = -20mA2（二）电流源与电压源之间的等效解法：（计算通过人】的电流）我们将R2、R3归并到第一个电源的内阻中，将R4归并到第二个电源的内阻中，于是两个电压源为: 1 = 3.0V

15、， *= r + R + R = 10Q . 2 = 1.0V，r - r + R - 200与它们等效的电流源为:r01 = 100 ；I =-+ = 0.30 A01 rii02经等效代换后，这两个电流源为并联，相当于一个具有下列参量的电流源:10 = 101 +102 = 0.35A，r 一七1 七2 = 6.700 r + r于是在图中通过R的电流为:I = Ir0= 0.14 A0 % + r0结果与前相同。（三）等效电压源定理解法：（求电流12）如图，将阴影区的两端网络等效于一个电压源，其电动势和内阻分别为: =1 = 1.5Vd r + % + R2 + R3 1r 一 % 1

16、、2 L = 5QdR1 + r1+ R2 + R3于是I = d2=0.02 A2 r + r + R结果与前相同。（四）等效电源定理解法：（求电流13 ）根据等效电流源定理，电流源的10等于将电路中AC亮点短路时流过的电流，如图所示。于是:7_8_0 = r + R1 + R * r +r 一 ；13224而电流源的内阻飞等于从AC两端看除源网络的电阻，则:22r 一 + R + E R)= 6.7Q0 r + R + R + r + R经如此等效代换后，有图容易看出通过R的电流为:I =二 3 r + R 0I = 0.14 A结果与前相同。（五）用叠加原理解法：（通过R的电流）取走8

17、2，则:1=: 1 R(R + r )=R + R + r + 142231R1 + R4 + r23.0A = 0.18 A5 + 4.5 + 0.5 + 6.7取走e 1，则:I = 671 = 0.12 A310 1e 、2 _R (R + R + r ) _R + r + i4342 R1 + R2 + R3 + r1,A = 0.04 A：+ R + r ) 19.0 +1.0 + 5I =10 T = 0.02 A3 20 2求流经电阻R的电流。di5Vf例二：若将上题图中AC支路加接一个电池， 3 = 3.W，r3 = 0Q，如图所示，上面(四)已经计算了当3不存在时流经R1的电

18、流为0.14A，现在只计算由83单独产生是的电流即可13：83 0I =&祚一)=.一 A = 0.18 A3(R + r )R + R + r ) 10 + 6.7R + 422311 R + r + R + R + r42234依据叠加定理，流经R1的总电流为(0.14+0.18)a=0.32A例三：求图示桥路的等效电阻。已知：R1=50Q, r2= 40Q , R3=15Q, r4 = 26Q ,R5 = 10Q解:将R 1， R 2， R5组成的型电路代换成具有R6, R7, R8的Y型电阻，如图所示，由公式得:R7 = r R r = 5Q,125则整个电路的等效电阻R，由串并联电路

19、公式求得：R = R +旻 + R3)R8 + R4)= 20Q + 12Q = 32Q6 R7 + R3 + R8 + R4四、定理在解决问题的选择此部分是接着上部分的遗留问题进行说明，即各个定理在解决实际问题中 的优先使用，这会使所要解决的问题变得简单而易解。对于基尔霍夫方程组来说，原则上它可以解决有关复杂电路中的所有问题， 往往存在“标定方向”的问题，对于所选定的回路中所遇到的各个负载的电流 即电阻都要一并计入，不可遗漏。解决时言严格按照基尔霍夫方程的原则选取， 即绕行方向和各个值之间的正负不可出错。等效电源定理在实际中很有用，例如电路设计时，在某一复杂电路的一条 支路中，需要分析接入不

20、同电阻时的电流，我们不必对接入的各个不同电阻的 各种情况作庞杂的计算，而只需在接入端进行一次测量，或者对两端点的短路 电流和除源电路的电阻进行一次测量，也可以对两端点的开路电压及短路电流 进行一次测量，从而根据等效电源定理就可以简便地获得不同负载情况下信号 的具体结果。叠加定理告诉我们，一个多电源的计算可以分别考虑各电动势的单独作用， 然后再叠加起来。它的好处也可以简化计算，因为对于单个电动势的电路有可 能应用简单的串并联公式。更为有用的是在设计电路时，常常要考虑添加一下 电源对电路会产生什么影响，此时应用叠加定理是比较有效的。Y一等效代换定理，应用于在很多复杂电路中负载连接成丫型或型的问 题，灵活地将它们之间进行转化来求Y型或型的等效电阻，这对于我们来说 避免了用其他方法求解它的等效电阻的很复杂的计算。应用此定理则可在电路 的串并联的基础上简化计算。参考文献1 赵凯华，陈熙谋.电磁学（第三版）.北京：高等教育出版社，2011.72 王应生，周茜.电路分析基础.北京：电子工业出版社，2003.83 吴大正，王玉华.电路基础（修订版）.西安：西安电子科技大学出版社，2000