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1、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【课前热身】1.方程（2x1）（3x+1）=x2+2化为一般形式为_，其中a=_，b=_，c=_2.关于x的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一个根为零，则m的值等于_3.关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1，x2=2，则x2+mx+n分解因式的结果是_4. 关于x的一元二次方程2x23xa2+1=0的一个根为2，则a的值是（ ） A1 B C D5. 若关于x的一元二次方程（m1）x2+5x+m23m+2=0的常数项为0，则m的值等于（ ） A1 B2 C1或2 D0【参考答案】1. 5x2x3=0 5 1 3 2. 33.（
2、x1）（x+2）5.D6.B【考点聚焦】知识点：一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理大纲要求:1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况.对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围； 2.掌握韦达定理及其简单的应用； 3.会在实数范围内把二次三项式分解因式； 4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题.【备考兵法】考查重点与常见题型 1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x的方程ax22x10中，如
3、果a0一元二次方程有两个 实数根，即 .（2）=0一元二次方程有 相等的实数根，即 .（3）0一元二次方程 实数根.2一元二次方程根与系数的关系若关于x的一元二次方程有两根分别为，那么 ， . 【典例精析】例1（四川绵阳）已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k1）x + k21 = 0有两个不相等的实数根（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由【分析】这是一道确定待定系数m的一元二次方程，又讨论方程解的情况的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力【答案】（1）= 2（k1） 24（k21）= 4k28k + 44k2 + 4 =8
4、k + 8 原方程有两个不相等的实数根， 8k + 80，解得 k1，即实数k的取值范围是 k1（2）假设0是方程的一个根，则代入得 02 + 2（k1） 0 + k21 = 0，解得 k =1 或 k = 1（舍去）即当 k =1时，0就为原方程的一个根此时，原方程变为 x24x = 0，解得 x1 = 0，x2 = 4，所以它的另一个根是4 例2（北京）已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程： x21=0 （1） x2+x2=0 （2） x2+2x3=0 （3） x2+（n1）xn=0 （n） （1）请解上述一元二次方程（1），（2），（3），（n）； （2）请你指出这n个方程的根
5、具有什么共同特点，写出一条即可 【分析】由具体到一般进行探究 【答案】（1）（x+1）（x1）=0，所以x1=1，x2=1 （x+2）（x1）=0，所以x1=2，x2=1 （x+3）（x1）=0，所以x1=3，x2=1 （x+n）（x1）=0，所以x1=n，x2=1 （2）比如：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等 【点评】本例从教材要求的基本知识出发，探索具有某种特点的方程的解题规律及方程根与系数之间的关系，注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查例3（江苏南京）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内沿前侧内墙保留3m宽的空
6、地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？【答案】解法一：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得 （x2）（2x4）=288 解这个方程，得x1=10（不合题意，舍去），x2=14 所以x=14，2x=214=28 答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2 解法二：设矩形温室的长为xm，则宽为xm 根据题意，得（x2）（x4）=288 解这个方程，得x1=20（不合题意，舍去），x2=28 所以x=28x=28=14 答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2【解析】在
7、一元二次方程的应用中，列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去【迎考精练】一、选择题1.（台湾）若a 、b为方程式x2-4(x+1)=1的两根，且ab，则=_？ A5 B4 C1 D. 3 2.（2009年湖南株洲）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是A B C D 3.(四川成都)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是A. B.且 C. D.
8、 且4.（内蒙古包头）关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（ ）A1 B12 C13 D255.（湖北荆州）关于x的方程只有一解（相同解算一解），则a的值为（ ）A B C D或6.（山东烟台）设是方程的两个实数根，则的值为（ ）A2006 B2007 C D 7（湖北宜昌）设方程x24x1=0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是( ) A4 B1 C1 D 08（湖北十堰）下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A B C D9（四川眉山）若方程的两根为、，则的值为() A3 B3 C D10（山东东营）若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（ ）A.1 B.2 C.-1
9、 D.-2 二、填空题1.(上海市)如果关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，那么 2.（山东泰安）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 。3.（广西崇左）一元二次方程的一个根为，则另一个根为 4.（广西贺州）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 三、解答题1.（山东淄博） 已知是方程的两个实数根，且（1）求及a的值；（2）求的值 2(广东中山)已知：关于的方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是，求另一个根及值 3.（重庆江津区）已知、分别是ABC的三边，其中1，4，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断ABC的形状. 4（
10、湖南怀化）如图，已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为设的外接圆的圆心为点（1）求与轴的另一个交点D的坐标；（2）如果恰好为的直径，且的面积等于，求和的值 5（湖北黄石）已知关于的函数（为常数）（1）若函数的图象与轴恰有一个交点，求的值；（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在轴上方，求的取值范围 【参考答案】选择题1. A2. A3. B4. C【解析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式.由题意知： 又 得， ，而当时，原方程的判别式，此时方程无解， 不合题意舍去. ，故选 C本题易出错，学生易在求得或的两个值后，代入，求出或11，易漏掉检验方程是否存在实根.5
11、. D【解析】本题考查方程的有关知识，关于x的方程只有一解，有两种情况，该方程是一元一次方程，此时，该方程是一元二次方程，方程有两个相等等的实数根，解得，故选D.6. C7. B8. A9. B10. D填空题1. 2. 3.34. 解答题1. 解：（1）由题意，得 解得 所以（2）法一： 由题意，得所以= = 法二： 由题意，得，所以= = = 2. 解：（1），无论取何值，所以，即，方程有两个不相等的实数根（2）设的另一个根为，则，解得：，的另一个根为，的值为13. 解:方程有两个相等的实数根=b=4. c=4.b=c=4.ABC为等腰三角形.4. 解 （1）易求得点的坐标为由题设可知是方程即的两根，故，所以如图3，P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是P的两条相交弦，设它们的交点为点O，连结DB，AOCDOC，则由题意知点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D的坐标为（0，1）（2）因为ABCD， AB又恰好为P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，即）又，所以解得5. 解：（1）当时，函数为，它的图象显然与轴只有一个交点当时，依题意得方程有两等实数根，当或时函数图象与轴恰有一个交点（2）依题意有分类讨论解得或当或时，抛物线顶点始终在轴上方
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