命题、定理与证明

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1、13.1命题、定理与证明命题、定理与证明试判断下列句子是否正确试判断下列句子是否正确（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；()（2）两直线平行，同位角相等；）两直线平行，同位角相等；()（3）同旁内角相等，两直线平行；）同旁内角相等，两直线平行；()（4）直角都相等）直角都相等 ()(5)三角形的内角和等于三角形的内角和等于180.()像上面可以判断它是正确的或是错误的像上面可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题句子叫做命题.表示判断的语句叫做命题表示判断的语句叫做命题。什么叫做命题什么叫做命题:真命题真命题:正确的命题称为真命题正确的命题称为真

2、命题.假命题假命题:错误的命题称为假命题错误的命题称为假命题命题的分类:1、错误的命题也是命题错误的命题也是命题。如：如：“3 2”是一个命题是一个命题2、命题必须是对某种事情作出判断，命题命题必须是对某种事情作出判断，命题是陈述句是陈述句如问句，祈使句，几何的作法等就不是命如问句，祈使句，几何的作法等就不是命题。题。2 2）两条直线相交，有且只有一个交点（）两条直线相交，有且只有一个交点（）4 4）一个平角的度数是）一个平角的度数是180180度（度（）6 6）取线段）取线段ABAB的中点的中点C C；（；（）1 1）长度相等的两条线段是相等的线段吗？（）长度相等的两条线段是相等的线段吗？（

3、）7 7）画两条相等的线段（）画两条相等的线段（）1：判断下列语句是不是命题？是用判断下列语句是不是命题？是用“”，不是用不是用“”表示。表示。3 3）不相等的两个角不是对顶角（）不相等的两个角不是对顶角（）5 5）相等的两个角是对顶角（）相等的两个角是对顶角（）课堂反馈课堂反馈P55练习练习2.指出下列命题中的真命题和假命题指出下列命题中的真命题和假命题:(1)同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行;(2)多边形的内角和等于是多边形的内角和等于是180;(3)三角形的外角和等于三角形的外角和等于360;（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行。）平行于同一条直线的两条直线互相平行。(真)

4、(假)(真)(真)命题的结构：命题的结构：在数学中，许多命题是由在数学中，许多命题是由条件条件和和结论结论两部分两部分组成的组成的.条件条件是是 已知事项已知事项，结论结论是是由已知事由已知事项推出的事项。项推出的事项。这种命题常可写这种命题常可写“如果如果，那么，那么”的形式的形式,“如果如果”开始的部分是题设（条件）开始的部分是题设（条件）,“那么那么”开始的部分是结论开始的部分是结论.例例1：把命题：把命题“在一个三角形中，等角对在一个三角形中，等角对等边等边”改写成：改写成：”如果如果那么那么“的形式，的形式，并分别指出命题的题设和结论。并分别指出命题的题设和结论。解：这个命题可以改写

5、成：解：这个命题可以改写成：“如果在一个如果在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等对的边也相等.”这里的题设是这里的题设是“在一个三在一个三角形中有两个角相等角形中有两个角相等”,结论是结论是“这两个这两个角所对的边也相等角所对的边也相等”.再看课本例再看课本例1（P54）添加添加“如果如果”、“那么那么”后，命题的意义后，命题的意义 不能改变，不能改变，改写的句子要完整，语句改写的句子要完整，语句 要通顺要通顺，使命题的题设和结论更明朗，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加易于分辨，改写过程中，要适当增加 词语，切不可

6、生搬硬套。词语，切不可生搬硬套。小小 结结学生讨论学生讨论:在在“同位角相等同位角相等”这个命题中这个命题中,题设题设是什么是什么?结论是什么结论是什么?请把它改写成请把它改写成“如果如果那那么么”的形式的形式,并判断其真假并判断其真假.练习练习:把把“对顶角相等对顶角相等”这个命题改写成这个命题改写成“如如果果那么那么”的形式的形式.题设题设:两个角是同位角两个角是同位角,结论结论:这两个角相等这两个角相等如果两个角是同位角如果两个角是同位角,那么这两个角相等那么这两个角相等.如果两个角是对顶角如果两个角是对顶角,那么这两个角相等那么这两个角相等.P55练习练习1.把下列命题改写把下列命题改

7、写“如果如果那么那么”的的形式形式,并指出它的题设和结论。并指出它的题设和结论。(1)全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等.如果两个三角形全等如果两个三角形全等,那么它们的对应边分别对应相等那么它们的对应边分别对应相等.(2)在同一平面内，垂直与同一直线的两在同一平面内，垂直与同一直线的两直线互相平行。直线互相平行。在同一平面内，如果两条直线同垂直于一条直在同一平面内，如果两条直线同垂直于一条直线，那么这两直线互相平行。线，那么这两直线互相平行。要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命的方法加以论证；而要判断一个

8、命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个即只要举出一个符合该命题题设而不符合该符合该命题题设而不符合该命题结论命题结论的例子就可以了在数学中，这种的例子就可以了在数学中，这种方法称为方法称为“举反例举反例”例如，要证明命题例如，要证明命题“一个锐角与一个钝角的一个锐角与一个钝角的和等于一个平角和等于一个平角”是假命题，是假命题，只需举出一个只需举出一个反例反例“某一锐角与某一钝角的和不是某一锐角与某一钝角的和不是180”即可即可(1)一个钝角、一个锐角的和必为一个平角；一个钝角、一个锐角的和必为一个平角；（2）两直线被第三条直线所

9、截，同位角相等；）两直线被第三条直线所截，同位角相等；（3）两个锐角的和等于直角；）两个锐角的和等于直角；（4）有三条边对应相等的两个三角形全等；）有三条边对应相等的两个三角形全等；假，假，92+30 180假，只有两条直线平行时才对假，只有两条直线平行时才对真真假假.30+50 80 90 练习：判断下列命题是练习：判断下列命题是真命题真命题还是还是假命题假命题，若是若是假命题假命题则举一个反例加以说明则举一个反例加以说明.判断下列哪些是命题？哪些不是命题？判断下列哪些是命题？哪些不是命题？是真命题还是假命题？是真命题还是假命题？1.大于零度角且小于直角的角是锐角。大于零度角且小于直角的角是

10、锐角。2.30的补角等于的补角等于603.1与与 2是同旁内角吗？是同旁内角吗？4.直角直角AB与与CD相交于点相交于点C。.平面内两条相交直线不可能同时垂直平面内两条相交直线不可能同时垂直于一条直线于一条直线。二、公理、定理二、公理、定理 公理公理：数学中有些命题的正确性是人们在长期实数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理原始依据，这样的真命题叫做公理.例如下列的真命题作为公理：（课本例如下列的真命题作为公理：（课本55页页).两点确定一条直线；两点确定一条直线；2.两点之

11、间线段最短；两点之间线段最短；3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；5.一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；6.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么 这两条直线平行；这两条直线平行；7.全等三角形的对应边、对应角分别相等全等三角形的对应边、对应角分别相等定理定理：数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证

12、明它们是正确的，并且可以进用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理叫做定理。例如：三角形的内角和等于三角形的内角和等于180可以证明得到：可以证明得到：直角三角形的两个锐角互余。直角三角形的两个锐角互余。真命题分类：公理：是人们实践活动中总结出来的公理：是人们实践活动中总结出来的 定理：是通过证明得到的定理：是通过证明得到的如何证明？看课本57页又如又如:“内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行”这条定理就这条定理就是在是在“同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行”这条公理这条公理的基础

13、上推理而出的的基础上推理而出的,它又可以作为判定平它又可以作为判定平行线的依据行线的依据.公理、定理、命题的关系：公理、定理、命题的关系：命题命题真命题真命题假命题假命题公理公理（正确性由实践总结）（正确性由实践总结）定理定理（正确性通过推理证实）（正确性通过推理证实）证明及证明的一般步骤（难点）证明及证明的一般步骤（难点）证明：证明：推理的过程叫做证明推理的过程叫做证明证明的一般步骤：证明的一般步骤：（1）根据题意，画图形）根据题意，画图形 （2）根据题设、结论，结合图形，写出已知、）根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证求证 （3）经过分析，找出由已知推出结论的途径，）经过分析，找出由已

14、知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据写出证明过程，并注明依据P58练习1.把下列定理改写成“如果，那么”的形式，指出它的题设和结论，并用逻辑推理的方法证明题（1）：（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）三角形的外角和等于3602.判断命题“两条直线被第三条直线所截，内错角两条直线被第三条直线所截，内错角相等相等”是真命题还是假命题，并说明理由如果两直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两直线平行。如果两直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两直线平行。如果三个角分别是三角形的三个外角，那么这三个角的和等于如果三个角分别是三角形的三个外角，那么这三个角的和等于360。假命题。因为要

15、两直线平行时，内错角才相等。假命题。因为要两直线平行时，内错角才相等。课堂总结课堂总结命题命题是对某一事件的判断是对某一事件的判断,每个命题都由每个命题都由题设、结论题设、结论两部分组成两部分组成,题设题设是已知事项是已知事项,结论结论是由已知事项推出的事项是由已知事项推出的事项.理解一个理解一个命题命题,首先要分清它的题设和结论首先要分清它的题设和结论.命题命题有真假之分有真假之分,正确的命题叫做真命题正确的命题叫做真命题,错错误的命题叫做假命题误的命题叫做假命题.公理和定理都是真公理和定理都是真命题命题,但它们的来历却不同但它们的来历却不同,前者来源于前者来源于实践实践,后者通过推理论证得来的后者通过推理论证得来的.作业作业:P58 第第2、3题题家庭作业：练习册家庭作业：练习册