离散型随机变量的期望

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1、细心整理231离散型随机变量的期望教学目标：学问及技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会依据离散型随机变量的分布列求出均值或期望过程及方法：理解公式“Ea+b=aE+b”，以及“假设Bn,p，那么E=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。情感、看法及价值观：承前启后，感悟数学及生活的和谐之美 ,表达数学的文化功能及人文价值。 教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念教学难点：依据离散型随机变量的分布列求出均值或期望授课类型：新授课 课时支配：2课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1.随机变量：假如随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样

2、的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母、等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按必需次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量及连续型随机变量的区分及联系: 离散型随机变量及连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按必需次序一一列出，而连续性随机变量的结果不行以一一列出 假设是随机变量，是常数，那么也是随机变量 并且不变更其属性离散型、连续型 5. 分布列:设离散型随机变量可能取得值为x1，x2，x3，取每一个值xii

3、=1，2，的概率为，那么称表x1x2xiPP1P2Pi为随机变量的概率分布，简称的分布列 6. 分布列的两特性质： Pi0，i1，2，； P1+P2+=17.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事务可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事务发生的次数是一个随机变量假如在一次试验中某事务发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事务恰好发生k次的概率是，k0,1,2,，n，于是得到随机变量的概率分布如下：01knP称这样的随机变量听从二项分布，记作B(n，p)，其中n，p为参数，并记b(k；n，p)8. 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事务第一次发生时，所作试验

4、的次数也是一个正整数的离散型随机变量“”表示在第k次独立重复试验时事务第一次发生.假如把k次试验时事务A发生记为、事务A不发生记为，P()=p，P()=q(q=1-p)，那么k0,1,2,， 于是得到随机变量的概率分布如下：123kP称这样的随机变量听从几何分布记作g(k，p)= ，其中k0,1,2,， 二、讲解新课：依据确定随机变量的分布列，我们可以便利的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：确定某射手射击所得环数的分布列如下45678910P0.020.040.060.090.280.290.22在n次射击之前，可以依据这个分布列估计n次射击的平均环数这就是我们今日

5、要学习的离散型随机变量的均值或期望 依据射手射击所得环数的分布列，我们可以估计，在n次射击中，预料大约有次得4环；次得5环；次得10环故在n次射击的总环数大约为，从而，预料n次射击的平均环数约为这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只及射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平对于任一射手，假设确定其射击所得环数的分布列，即确定各个i=0，1，2，10，我们可以同样预料他随意n次射击的平均环数:1. 均值或数学期望: 一般地，假设离散型随机变量的概率分布为x1x2xnPp1p2pn那么称 为的均值或数学期望，简称期望2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征

6、数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令，那么有，所以的数学期望又称为平均数、均值 4. 均值或期望的一特性质:假设(a、b是常数)，是随机变量，那么也是随机变量，它们的分布列为x1x2xnPp1p2pn于是 ) ，由此，我们得到了期望的一特性质:5.假设Bn,p，那么E=np 证明如下：，012kn又 ， 故假设B(n，p)，那么np三、讲解范例：例1. 篮球运发动在竞赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，确定他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望解：因为，所以例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个

7、选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，总分值100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙那么在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成果的期望 解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，那么 B20,0.9, 由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成果分别是5和5 所以，他们在测验中的成果的期望分别是： 例3. 依据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0. 01该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10000

8、元为爱惜设备，有以下3 种方案：方案1：运走设备，搬运费为3 800 元 方案2：建爱惜围墙，建立费为2 000 元但围墙只能防小洪水方案3：不接受措施，盼望不发生洪水试比拟哪一种方案好解：用X1 、X2和X3分别表示三种方案的损失接受第1种方案，无论有无洪水，都损失3 800 元，即X1 = 3 800 . 接受第2 种方案，遇到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000 元；没有大洪水时，损失2 000 元，即同样，接受第 3 种方案，有于是， EX13 800 , EX262 000P (X2 = 62 000 ) + 2 00000P (X2 = 2 000 ) = 62

9、0000. 01 + 2000(1-0.01) = 2 600 , EX3 = 60000P (X3 = 60000) + 10 000P(X3 =10 000 ) + 0P (X3 =0) = 60 0000.01 + 100000.25=3100 . 接受方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2 . 值得留意的是，上述结论是通过比拟“平均损失”而得出的一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象状况屡次发生，那么接受方案 2 将会使损失减到最小由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，接受方案 2 也不必需是最好的例4.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点

10、数的期望解：，=3.5例5.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进展抽查，每次抽取1件，假如抽出次品，那么抽查终止，否那么接着抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数的期望结果保存三个有效数字解：抽查次数取110的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前次取出正品而第次=1，2，10取出次品的概率：=1，2，10须要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：由此可得的概率分布如下：123456789100.150.12750.10840.0920.07830.06660.05660.0

11、4810.04090.2316依据以上的概率分布，可得的期望例6.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数的数学期望解：抛掷骰子所得点数的概率分布为123456P所以 123456(123456)3.5抛掷骰子所得点数的数学期望，就是的全部可能取值的平均值例7.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，假设行驶路程超出4km，那么按每超出lkm加收2元计费(超出缺乏lkm的局部按lkm计)从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km某司机常常驾车在机场及此宾馆之间接送旅客，由于行车路途的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，

12、这个司机一次接送旅客的行车路程是一个随机变量设他所收租车费为()求租车费关于行车路程的关系式；()假设随机变量的分布列为15161718P0.10.50.30.1求所收租车费的数学期望()确定某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：()依题意得=2(-4)十10，即=2+2；() =2+2 2E+2=34.8 元故所收租车费的数学期望为34.8元()由38=2+2，得=18，5(18-15)=15所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟 四、课堂练习：1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，那

13、么 A4；B5；C4.5；D4.75答案：C 2. 篮球运发动在竞赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分确定某运发动罚球命中的概率为0.7，求他罚球1次的得分的数学期望；他罚球2次的得分的数学期望；他罚球3次的得分的数学期望解：因为，所以10的概率分布为012P所以 0121.4 的概率分布为23P所以 0122.1.3设有m升水，其中含有大肠杆菌n个今取水1升进展化验，设其中含有大肠杆菌的个数为，求的数学期望分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是，事务“=k”发生，即n个大肠杆菌中恰有k个在此升水中，由n次独立重复试验中事务A在此升水中含一个大肠杆菌恰好发生k次的概率计算方法可求出P

14、(=k),进而可求E.解：记事务A：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，那么P(A)=P(=k)=Pn(k)=C)k(1)nkk=0,1,2,.,nB(n,)，故E =n= 五、小结 ：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量的期望的根本步骤：理解的意义，写出可能取的全部值；求取各个值的概率，写出分布列；依据分布列，由期望的定义求出E 公式Ea+b= aE+b，以及听从二项分布的随机变量的期望E=np 六、课后作业：P64-65练习1,2,3,4 P69 A组1,2,31.一袋子里装有大小一样的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，那么其中含红球个数的数

15、学期望是 用数字作答解：令取取黄球个数 (=0、1、2)那么的要布列为 012p于是 E=0+1+2=0.8故知红球个数的数学期望为1.22.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用表示得分数求的概率分布列求的数学期望解：依题意的取值为0、1、2、3、4=0时，取2黑 p(=0)=1时，取1黑1白 p(=1)=2时，取2白或1红1黑p(=2)= +=3时，取1白1红，概率p(=3)= =4时，取2红，概率p(=4)= 01234p 分布列为2期望E=0+1+2+3+4=3.学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证

16、设备正常工作，事先进展独立试验，确定各设备产生故障的概率分别为p1、p2、p3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望解：设表示产生故障的仪器数，Ai表示第i台仪器出现故障i=1、2、3表示第i台仪器不出现故障，那么：p(=1)=p(A1)+ p(A2)+ p(A3)=p1(1p2) (1p3)+ p2(1p1) (1p3)+ p3(1p1) (1p2)= p1+ p2+p32p1p22p2p32p3p1+3p1p2p3p(=2)=p(A1 A2)+ p(A1)+ p(A2A3) = p1p2 (1p3)+ p1p3(1p2)+ p2p3(1p1)= p1p2+ p1p3+ p2p33p1p2p

17、3p(=3)=p(A1 A2A3)= p1p2p3 =1p(=1)+2p(=2)+3p(=3)= p1+p2+p3 注：要充分运用分类探讨的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望4.一个袋子里装有大小一样的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是 1.2 解：从5个球中同时取出2个球，出现红球的分布列为012P5. 、两个代表队进展乒乓球对抗赛，每队三名队员，队队员是，队队员是，按以往屡次竞赛的统计，对阵队员之间输赢概率如下：对阵队员A队队员胜的概率B队队员胜的概率A1对B1A2对B2A3对B3现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设队，队最终所得分分别为，1求，的概率分布； 2求，解：，的可能取值分别为3，2，1，0依据题意知，所以；因为,所以 七、板书设计略 八、教学反思： (1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量的期望的根本步骤：理解的意义，写出可能取的全部值；求取各个值的概率，写出分布列；依据分布列，由期望的定义求出E 公式Ea+b= aE+b，以及听从二项分布的随机变量的期望E=np 。