1811勾股定理

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1、如图，一根电线杆在离地面如图，一根电线杆在离地面5 5米处断裂，电线米处断裂，电线杆顶部落在离电线杆底部杆顶部落在离电线杆底部1212米处，电线杆折断米处，电线杆折断之前有多高？之前有多高？5BAC12电线杆折断之前的高度电线杆折断之前的高度=BC+AB=5=BC+AB=5米米+AB+AB的长的长18.1 勾股定理勾股定理(第一课时第一课时)相传相传2500年前，古希腊年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯在著名数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，从朋友家朋友家做客时，从朋友家的地砖铺成的地面上发现的地砖铺成的地面上发现了直角三角形三边的某种了直角三角形三边的某种数量关系数量关系ABC12 34C图甲图

2、甲 图乙图乙A A的面积的面积B B的面积的面积C C的面积的面积4 44 48 8A AB BC CS SA A+S+SB B=S=SC CC C图甲图甲1.1.观察图甲，小方格观察图甲，小方格的边长为的边长为1.1.正方形正方形A A、B B、C C的的面积各为多少？面积各为多少？正方形正方形A A、B B、C C的的 面积有什么关系？面积有什么关系？图甲图甲 图乙图乙A A的面积的面积B B的面积的面积C C的面积的面积4 44 48 8A AB BC CS SA A+S+SB B=S=SC CC C图甲图甲A AB BC C C C图乙图乙2.2.观察图乙，小方格观察图乙，小方格的边长

3、为的边长为1.1.正方形正方形A A、B B、C C的的面积各为多少？面积各为多少？9 916162525S SA A+S+SB B=S=SC C正方形正方形A A、B B、C C的的 面积有什么关系？面积有什么关系？A AB BC C图乙图乙2.2.观察图乙，小方格观察图乙，小方格的边长为的边长为1.1.9 916162525S SA A+S+SB B=S=SC C正方形正方形A A、B B、C C的的 面积有什么关系？面积有什么关系？4 44 48 8A AB BC CS SA A+S+SB B=S=SC C图甲图甲图甲图甲 图乙图乙A A的面积的面积B B的面积的面积C C的面积的面积a

4、 ab bc ca ab bc cA AB BC CC C图乙图乙S SA A+S+SB B=S=SC CS SA A+S+SB B=S=SC C图甲图甲a ab bc ca ab bc c3.3.猜想猜想a a、b b、c c 之间的关系？之间的关系？a2+b2=c2勾股定理(毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理)（gougu theorem）如果直角三角形两直角如果直角三角形两直角边边分分别为别为a，b，斜，斜边为边为c，那么那么 即直角三角形两直角边的平方和等于即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方斜边的平方.acb 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为在中国古代，人们把弯曲成

5、直角的手臂的上半部分称为“勾勾”，下半部分称为，下半部分称为“股股”我国古代学者把直角三角形我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为较短的直角边称为“勾勾”，较长的直角边称为，较长的直角边称为“股股”，斜边，斜边称为称为“弦弦”勾勾股股cab勾勾股股弦弦abcbcbcbcaaa尝试用下面四个全等的直角三角尝试用下面四个全等的直角三角形围成一个正方形形围成一个正方形动手探究动手探究abcabcbacabcabcabcabcabc(a+b)2=c2a2+b2c2=思考思考:大正方形面积怎么表示？大正方形面积怎么表示？acbabc结论结论：思考思考:大正方形面积怎么表示？大正方形面积怎么表示？由于勾

6、股定理简单明白而且重要，因而，两千多年来引起了由于勾股定理简单明白而且重要，因而，两千多年来引起了中外许多人士的兴趣，甚至著名的大物理学家爱因斯坦也给出中外许多人士的兴趣，甚至著名的大物理学家爱因斯坦也给出了一个证明。了一个证明。在中国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家在中国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽。在西方有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。而目在西方有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。而目前我们所能见到的最早的一种证法，属于古希腊数学家欧几里前我们所能见到的最早的一种证法，属于古希腊数学家欧几里得。得。勾股定理堪称世上证法最多的定理之一

7、。据不完全统计，勾勾股定理堪称世上证法最多的定理之一。据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达股定理的证明方法已经多达400400多种了，在这多种了，在这400400多种证明方法多种证明方法中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话。中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话。史史 话话 勾勾 股股 我国是最早了解勾股我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就三，股等于四，那么弦就等于五，即等于五，

8、即“勾三、股四、勾三、股四、弦五弦五”，它被记载于我国，它被记载于我国古代著名的数学著作古代著名的数学著作周周髀算经髀算经中。中。53勾勾股股4弦弦传说毕达哥拉斯证明这个定传说毕达哥拉斯证明这个定理之后，杀了一百头牛来庆理之后，杀了一百头牛来庆祝，所以它又叫祝，所以它又叫“百牛定理百牛定理”在欧洲中世纪它又被戏在欧洲中世纪它又被戏称为称为“驴桥定理驴桥定理”，因为那，因为那时数学水平较低，很多人学时数学水平较低，很多人学习勾股定理时被卡住，难以习勾股定理时被卡住，难以理解和接受。所以勾股定理理解和接受。所以勾股定理被戏称为被戏称为“驴桥驴桥”，意谓笨，意谓笨蛋的难关蛋的难关。（公元前（公元前5

9、72-公元前公元前 497)古希腊数学家、哲学家。古希腊数学家、哲学家。应应 用用勾股数组：勾股数组：如果如果a，b，c都是正整数，都是正整数，且满足且满足a2+b2=c2，则称，则称a，b，c为一组为一组勾股数组。勾股数组。常用的勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；6，8，10；8，15，17；勾股小常识：勾股小常识：(1)a+b=c，满足，满足(a，b，c)=1(2)则则a，b，c,为基本勾数如：为基本勾数如：3、4、5；5、12、13；7、24、25(2)如果如果a，b，c是一组勾股数，则是一组勾股数，则ka、kb、kc （k为正整数）也是一组勾股数，为正

10、整数）也是一组勾股数，如：如：6、8、10；9、12、15(3)2mn，mn，mn为勾股数组，为勾股数组，mn0，m，n一奇一偶。一奇一偶。如图，一根电线杆在离地面如图，一根电线杆在离地面5 5米处断裂，电线杆顶部米处断裂，电线杆顶部落在离电线杆底部落在离电线杆底部1212米处，电线杆折断之前有多高米处，电线杆折断之前有多高？电线杆折断之前的高度电线杆折断之前的高度=BC+AB=5=BC+AB=5米米+13+13米米1818米米5米米BAC12米米解：解：C C，在在tt中，中，,根据勾股定理，根据勾股定理，1.1.求下列图中表示边的未知数求下列图中表示边的未知数x x、y y、z z的值的值

11、.8181144144x xy yz z625625576576144144169169比比一一比比看看看看谁谁算算得得快快！2.2.求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长:可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小结方法小结:8 8x x171716162020 x x12125 5x x、如图、如图,一个高一个高3 3 米米,宽宽4 4 米的大门米的大门,需需在相对角的顶点间加一个加固木条在相对角的顶点间加一个加固木条,则则木条的长为木条的长为()()A.3A.3米米 B.4B.4米米 C.5C.5米米 D.6D.6米米C、湖的两端有、湖的两端有A A、两点，从与、

12、两点，从与A A方向方向成直角的成直角的BCBC方向上的点方向上的点C C测得测得CA=130CA=130米米,CB=120,CB=120米米,则则ABAB为为()()ABCA.50A.50米米 B.120B.120米米 C.100C.100米米 D.130D.130米米130120?A小结小结定定义义：对对于任意的直角三角形，如果于任意的直角三角形，如果它的两条直角它的两条直角边边分分别为别为a、b，斜，斜边为边为c，那么一定有，那么一定有：a2+b2=c2这这种关系我种关系我们们称称为为勾股定理勾股定理.勾股定理：直角三角形两直角边勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方的平方和

13、等于斜边的平方.证证 明明 方方 法法 赏赏 析析三国时期吴国数学家赵爽在为三国时期吴国数学家赵爽在为周髀算经周髀算经作注解时，创作注解时，创制了一幅制了一幅“勾股圆方图勾股圆方图”，也称为，也称为“弦图弦图”，这是我国对，这是我国对勾股定理最早的证明。勾股定理最早的证明。2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的正是经过艺术处理的“弦图弦图”，标志着中国古代数学成就。，标志着中国古代数学成就。方法一方法一赵爽赵爽“弦图弦图”约公元约公元 263 年，三国时代魏国的数年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍学家刘徽为

14、古籍九章算术九章算术作注作注释时，用释时，用“出入相补法出入相补法”证明了勾证明了勾股定理。股定理。方法二方法二刘徽证法刘徽证法希腊数学家欧几里得（希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前，公元前330公元前公元前275）在巨著）在巨著几何原本几何原本给出一个公理化的证明。给出一个公理化的证明。方法三方法三欧几里得法欧几里得法“新娘的轿椅新娘的轿椅”或或“修士的头巾修士的头巾”如图，如图，Rt ABC中，中，ACB=90，四边形，四边形ACHK、BCGF、ABED都是正方形，都是正方形，CNDE，连接，连接BK、CD。AK=ACAB=ADKAB=CADKABCADS 正方形正方形KACH=S

15、四边形四边形ADNM同理：同理：S 正方形正方形BCGF=S 四边形四边形BENM S 正方形正方形KACH+S 正方形正方形BCGF=S 四边形四边形ADNM+S 四边形四边形BENM S KAB=S CADS 正方形正方形KACH+S 正方形正方形BCGF=S 四边形四边形ADEB 总统证法总统证法 如图如图RtABE RtECD，可知可知AED=90,如何表示梯形的如何表示梯形的面积？面积？梯形梯形ABCD的面积的面积梯形梯形ABCD的面积的面积bABCDEaabc方法四方法四 1876年，曾任美国第年，曾任美国第20届总统的加菲尔德届总统的加菲尔德（J.A.Garfield）利用两个同

16、样大小的直角三角形）利用两个同样大小的直角三角形构造了一个直角梯形证明了勾股定理。（如右图）构造了一个直角梯形证明了勾股定理。（如右图）其它方法其它方法意大利著名画家达意大利著名画家达芬奇的证法：芬奇的证法：在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现的在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明一种拼图证明 做法是将一条垂直线做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直和一条水平线，将较大直角边的正方形分成角边的正方形分成 4 分。分。之后依照图七中的颜色，之后依照图七中的颜色，将两个直角边的正方形填将两个直角边的正方形填入斜边正方形之中，便可入斜边正方形之中，便可完成定理的证明完成定理的证明 据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明 图图1图图2 将将4个全等的直角三角个全等的直角三角形拼成边长为形拼成边长为(ab)的正方的正方形形ABCD，使中间留下边长，使中间留下边长c的一个正方形洞画出正的一个正方形洞画出正方形方形ABCD移动三角形至移动三角形至图图2所示的位置中，于是留所示的位置中，于是留下了边长分别为下了边长分别为a与与b的两个的两个正方形洞则图正方形洞则图1和图和图2中的中的白色部分面积必定相等，所白色部分面积必定相等，所以以c2=a2+b2