1数学基础知识拓展讲座

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1、城关区九州小学城关区九州小学钱焕玉钱焕玉QQ：745307363小小学学数数学学教教师师深深度度培培训训讲讲座座讲座内容z数学基础知识拓展讲座数学基础知识拓展讲座z教学资源的二度开发教学资源的二度开发z课题研究案例系统讲座课题研究案例系统讲座数数学学基基础础知知识识拓拓展展z小学数学的特点小学数学的特点z四大领域再探究四大领域再探究z坚持十种基本功坚持十种基本功小学数学的特点z不完全不完全z难教难教z教什么小学数学的特点z教什么？教什么？z作为知识的数学是容易忘记的，但作为知识的数学是容易忘记的，但作为思维的、方法的数学是长久的。作为思维的、方法的数学是长久的。z教数学思想，数学方法，也就是培

2、教数学思想，数学方法，也就是培养学生长久的数学素养。养学生长久的数学素养。四四大大领领域域再再探探究究z第一章第一章 数与代数数与代数z1.数的认识数的认识z 小学阶段数的认识在有理数范围小学阶段数的认识在有理数范围内，一级分类为：整数、小数、分内，一级分类为：整数、小数、分数，二级分类为：正数、数，二级分类为：正数、0、负数。、负数。唯一的无理数为：唯一的无理数为：。总体上在实。总体上在实数范围内。数范围内。四四大大领领域域再再探探究究z 1.1数的产生及进制数的产生及进制z一、数的产生一、数的产生z 自人类产生以来，就是一个充满学习、探索、自人类产生以来，就是一个充满学习、探索、尝试、思考

3、、总结的过程。在人类的发展历史中，尝试、思考、总结的过程。在人类的发展历史中，在生活、生产劳动中，人类最初想表示在生活、生产劳动中，人类最初想表示“物体的物体的个数个数”，需要用，需要用“物体的个数物体的个数”来解决来解决“多少多少”的问题。在远古，人类认别事物的时候，不可避的问题。在远古，人类认别事物的时候，不可避免的地要遇到数的问题。自己种群的数量，采集免的地要遇到数的问题。自己种群的数量，采集果实的数量，捕获猎物的数量等等，使他们逐渐果实的数量，捕获猎物的数量等等，使他们逐渐产生数的概念。数产生是人类思维开始的标志，产生数的概念。数产生是人类思维开始的标志，数是人类特有的知识。把形象变成

4、数字进行思考数是人类特有的知识。把形象变成数字进行思考和认识的时候，人类的抽象思想便开始了。变象和认识的时候，人类的抽象思想便开始了。变象为数，是人类开蒙发智的最初的一步，认识到象为数，是人类开蒙发智的最初的一步，认识到象和数可以互相转换，使人类具备了能够认识世界和数可以互相转换，使人类具备了能够认识世界的抽象能力。直到今天，人类进入了电脑化的时的抽象能力。直到今天，人类进入了电脑化的时代，把图象转换成数字进行记录和转播，又把数代，把图象转换成数字进行记录和转播，又把数字还原为图像，利用的仍然是人类最古老的知识，字还原为图像，利用的仍然是人类最古老的知识，只不过人类运用象数转换的能力已今非昔比

5、了。只不过人类运用象数转换的能力已今非昔比了。四四大大领领域域再再探探究究z 自己的地里结了多少瓜？这是一个数学问题。数字就自己的地里结了多少瓜？这是一个数学问题。数字就是从这种最基本的人类需要中产生出来的。是从这种最基本的人类需要中产生出来的。z 人类会用最熟悉的事物来想办法解决这一问题。于人类会用最熟悉的事物来想办法解决这一问题。于是产生了用石子、用绳打结等方法，基本上是是产生了用石子、用绳打结等方法，基本上是“物与物与物对应物对应”的过程，只不过人类统一了表示的过程，只不过人类统一了表示“物体个数物体个数”的物，如石子、绳结等。的物，如石子、绳结等。z 人类是伟大的。在经历了人类是伟大的

6、。在经历了“物与物对应物与物对应”的过程后，的过程后，人类用人类用“横线横线”或或“竖线竖线”一个来表示一个物体，两一个来表示一个物体，两个来表示两个物体。在此过程中，每个国家有了不同个来表示两个物体。在此过程中，每个国家有了不同的的“符号来表示物体的个数符号来表示物体的个数”，如大家所知道的罗马，如大家所知道的罗马数字、阿拉伯数字等，其实只是一种对表示物体个数数字、阿拉伯数字等，其实只是一种对表示物体个数的符号化过程。各个文明古国都有自己用来表示物体的符号化过程。各个文明古国都有自己用来表示物体个数的符号系统。我国古代也很重视记数符号，最古个数的符号系统。我国古代也很重视记数符号，最古老的甲

7、骨文和钟鼎中都有记数的符号，不过难写难认，老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号，不过难写难认，后人没有沿用。到春秋战国时期，生产迅速发展，适后人没有沿用。到春秋战国时期，生产迅速发展，适应这一需要，我们的祖先创造了一种十分重要的计算应这一需要，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法方法-筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进的。按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数的符号

8、了。算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字。字。四四大大领领域域再再探探究究z直到阿拉伯人将印度人发明使用的符号系统直到阿拉伯人将印度人发明使用的符号系统“1，2，3，4，5，6，7，8，9，0”（阿拉伯数字）（阿拉伯数字）又把古希腊的数学融进了自己的数学中去，把这又把古希腊的数学融进了自己的数学中去，把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲，逐一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲，逐渐演变成今天的阿拉伯数字。渐演变成今天的阿拉伯数字。z 其中其中“0”这一数学符号的发明应归功于公元这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人。他们最早用黑点（世纪的印度人。他们最早用黑点（）表示零，）表示

9、零，后来逐渐变成了后来逐渐变成了“0”。z说起说起“0”的出现，应该指出，我国古代文的出现，应该指出，我国古代文字中，字中，“零零”字出现很早。不过那时它不表示字出现很早。不过那时它不表示“空无所有空无所有”，而只表示，而只表示“零碎零碎”、“不多不多”的意的意思。如思。如“零头零头”、“零星零星”、“零丁零丁”。“一百一百零五零五”的意思是：在一百之外，还有一个零头五。的意思是：在一百之外，还有一个零头五。随着阿拉数字的引进。随着阿拉数字的引进。“105”恰恰读作恰恰读作“一百一百零五零五”，“零零”字与字与“0”恰好对应，恰好对应，“零零”也也就具有了就具有了“0”的含义。的含义。四四大大

10、领领域域再再探探究究z如果你细心观察的话，会发现罗马数字如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有中没有“0”。其实在公元。其实在公元5世纪时，世纪时，“0”已经传入罗马。但罗马教皇凶残而已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何使用且守旧。他不允许任何使用“0”。有一。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用位罗马学者在笔记中记载了关于使用“0”的一些好处和说明，就被教皇召去，的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶（施行了拶（zn）刑，使他再也不能握笔）刑，使他再也不能握笔写字。写字。z但但“0”的出现，谁也阻挡不住。现的出现，谁也阻挡不住。现在，在，“0”已经成为含义最丰富的数字符已经

11、成为含义最丰富的数字符号。号。“0”可以表示没有，也可以表示有。可以表示没有，也可以表示有。如：气温如：气温 ，并不是说没有气温；，并不是说没有气温；“0”是正负数之间唯一的中性数；任何数（是正负数之间唯一的中性数；任何数（0除外）的除外）的0次幂等于次幂等于1；0！=1（零的阶乘（零的阶乘等于等于1）。）。z 这里，人们习惯性地将这里，人们习惯性地将“1，2，3，4，5，6，7，8，9，0”成为成为“数字数字”。四四大大领领域域再再探探究究z我们知道自然数就是用来表示物体我们知道自然数就是用来表示物体的个数，从的个数，从0开始，后一个数始终开始，后一个数始终比前一个数大比前一个数大1，是一个

12、等距递增，是一个等距递增数列，有无数个。数列，有无数个。z 这这“1，2，3，4，5，6，7，8，9，0”十个十个“数字数字”怎么就成了无怎么就成了无穷的穷的“自然数自然数”呢？呢？四四大大领领域域再再探探究究z数的进制数的进制z 其实，其实，“数字数字”与与“数数”区别是在数区别是在数的产生与发展中有了的。由的产生与发展中有了的。由“数字数字”到到“数数”，其中起到巨大作用的是，其中起到巨大作用的是“数的数的进制进制”。我国古代有了算筹数码，从算。我国古代有了算筹数码，从算筹数码中没有筹数码中没有“10”这个数可以清楚地这个数可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位进看出，筹算从一开始就严

13、格遵循十位进制。制。9位以上的数就要进一位。同一个位以上的数就要进一位。同一个数字放在百位上就是几百，放在万位上数字放在百位上就是几百，放在万位上就是几万。这样的计算法在当时是很先就是几万。这样的计算法在当时是很先进的。因为在世界的其他地方真正使用进的。因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元十进位制时已到了公元6世纪末。但筹世纪末。但筹算数码中开始没有算数码中开始没有“零零”，遇到，遇到“零零”就空位。比如就空位。比如“6708”，就可以表示为，就可以表示为“”。数字中没有。数字中没有“零零”，是很容，是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上

14、，以免弄错，这或许与在空位上，以免弄错，这或许与“零零”的出现有关。的出现有关。四四大大领领域域再再探探究究z不过多数人认为，除了十进制以外，在数学萌芽不过多数人认为，除了十进制以外，在数学萌芽的早期，还出现过五进制、二进制、三进制、七的早期，还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法。在长期实际生活的六十进制等多种数字进制法。在长期实际生活的应用中，十进制最终占了上风。应用中，十进制最终占了上风。z 这里就有了一个思考的问题，当人类最初用来这里就有了一个思考的问题，当人类最初用来表示表示“物体

15、的个数物体的个数”，也就是产生了自然数时。，也就是产生了自然数时。比如物体的个数有比如物体的个数有9个，还有个，还有1个，该用怎样的符个，该用怎样的符号表示号表示“十个十个”呢？我们聪明的祖先没有产生新呢？我们聪明的祖先没有产生新的符号来表示，而是运用已有的十个数字的符号来表示，而是运用已有的十个数字“1，2，3，4，5，6，7，8，9，0”，创造了从右向左，创造了从右向左排列好的、每个位置具有固定大小的位值制。也排列好的、每个位置具有固定大小的位值制。也就是说，这些位置都有自己固定的大小，同一个就是说，这些位置都有自己固定的大小，同一个数字放在不同的位置上就有了不同的大小。在这数字放在不同的

16、位置上就有了不同的大小。在这个意义上来说，个意义上来说，“10”的产生是具有划时代意义的产生是具有划时代意义的，它在于没有产生新的符号来表示的，它在于没有产生新的符号来表示“十个十个”，而是用已有的符号结合位值制形成了完整的数码而是用已有的符号结合位值制形成了完整的数码系统系统自然数。这里的位值自然数。这里的位值“个（一），十，个（一），十，百，千，万，十万，百万，千万，亿，十亿，百百，千，万，十万，百万，千万，亿，十亿，百亿，千亿亿，千亿”就是今天的计数单位。就是今天的计数单位。四四大大领领域域再再探探究究z 这里，我们便能了解在小学阶段，学生这里，我们便能了解在小学阶段，学生先认识先认识“

17、1，2，3，4，5”，再认识，再认识“6，7，8，9”，都体现了，都体现了“物与数的对应物与数的对应”，也就是从物体个数中抽象出数，然后，也就是从物体个数中抽象出数，然后再用数来表示生活中物体的个数。再用数来表示生活中物体的个数。“0”的出现放到最后正好体现了人类认识数的出现放到最后正好体现了人类认识数和数的产生历史。和数的产生历史。“10”的产生作为由的产生作为由“数字数字”到到“数数”的过渡。以后就有了的过渡。以后就有了如上图所示的如上图所示的“用数来解释数用数来解释数”的过程。的过程。z 随着生产、生活的需要，比如家庭本随着生产、生活的需要，比如家庭本月月“收入收入300元元”，又，又“

18、支出支出300元元”，怎样合理地记录这些收支等怎样合理地记录这些收支等“相反意义相反意义”量或数据呢？人类引出的负整数。可量或数据呢？人类引出的负整数。可以把以把“收入收入300元元”用用+300元表示，把元表示，把“支出支出300元元”用用-300元表示。当然，也可元表示。当然，也可以把以把“收入收入300元元”用用-300元表示，把元表示，把“支出支出300元元”用用+300元表示。其中的标准元表示。其中的标准是人为规定的。是人为规定的。四四大大领领域域再再探探究究z 这样，整数就包括自然数和负整这样，整数就包括自然数和负整数，也可以把整数分类为正整数、数，也可以把整数分类为正整数、0、负

19、整数。随着数的范围的扩展，、负整数。随着数的范围的扩展，有理数也分为正数、有理数也分为正数、0、负数，正、负数，正数包括正整数、正小数、正分数，数包括正整数、正小数、正分数，负数也如此。负数也如此。四四大大领领域域再再探探究究z 三、分数、小数的产生三、分数、小数的产生z 分数的产生经历了一个漫长的历史过程。早在分数的产生经历了一个漫长的历史过程。早在三千多年前古埃及的纸草书中就有关于分数的记三千多年前古埃及的纸草书中就有关于分数的记载。我国大约在两千年前的数学著作载。我国大约在两千年前的数学著作周髀算经周髀算经中，已经记载有一年（以天为单位）比中，已经记载有一年（以天为单位）比365天天还多

20、一点，多出来的接近还多一点，多出来的接近1/4天，出现了分数的天，出现了分数的运算及用分数表示一年的天数等内容。可见，分运算及用分数表示一年的天数等内容。可见，分数及其运算在我国出现也很早。数及其运算在我国出现也很早。z 小数的产生伴随着一种重要数学思想的诞生，小数的产生伴随着一种重要数学思想的诞生，如黑板的长度，用米尺测量如黑板的长度，用米尺测量3米后，还有的长度米后，还有的长度不足不足1米，怎么办？把米，怎么办？把1米平均分成米平均分成10份，每一份份，每一份就是就是1/10米，用米，用0.1米表示。按照这样的思路，也米表示。按照这样的思路，也就是把大单位转化为就是把大单位转化为1/10的

21、小单位来表示，也就的小单位来表示，也就是是0.1，1/100就是就是0.01z 作为小数，其实质也就是十进制分数，与自然作为小数，其实质也就是十进制分数，与自然数形成完整的十进制数位顺序表。数形成完整的十进制数位顺序表。四四大大领领域域再再探探究究z上面为上面为“计数单位计数单位”，下面为，下面为“数位数位”，占几个计数单位就是几，占几个计数单位就是几“位数位数”。z 小数与整数都遵循十进制计数法，故小数与整数都遵循十进制计数法，故而放在统一的数位顺序表中。但小数实而放在统一的数位顺序表中。但小数实质上是分数，是十进制分数。这就说明质上是分数，是十进制分数。这就说明分数对计数单位有了进一步的扩

22、展。分数对计数单位有了进一步的扩展。z 分数的认识从分数的认识从“一半一半”引发，形象地引发，形象地“把一个整体平均分成把一个整体平均分成2份，其中的每一份，其中的每一份是这个整体的份是这个整体的1/2”。由于先有。由于先有“平均平均分分”所以先写所以先写“分数线分数线”，“平均分成平均分成2份份”再写分母再写分母2，“表示其中的一份表示其中的一份”最最后写分子后写分子1。进而扩展为分数统一的意义。进而扩展为分数统一的意义“把一个整体平均分成若干份，表示把一个整体平均分成若干份，表示其中一份或几份的数其中一份或几份的数”。四四大大领领域域再再探探究究z 从这个意义上讲，分数的计数单位是由从这个

23、意义上讲，分数的计数单位是由“平均分成的份数平均分成的份数”决定的，也就是分决定的，也就是分母决定的，而小数、整数的计数单位是母决定的，而小数、整数的计数单位是规定好顺序的，由数位顺序表来统一规规定好顺序的，由数位顺序表来统一规定。如定。如5/8的计数单位就是的计数单位就是1/8，有，有5的计的计数单位组成的。这里供我们思考的是：数单位组成的。这里供我们思考的是：数就是有其对应的若干个计数单位组成数就是有其对应的若干个计数单位组成的。的。z 分数具有另外一种意义，就是表示分数具有另外一种意义，就是表示“一个量是另外一个量的几分之几一个量是另外一个量的几分之几”，也，也就是说，分数可以表示两个量

24、之间的关就是说，分数可以表示两个量之间的关系，而这一特点是整数、小数所不具有系，而这一特点是整数、小数所不具有的。概括地说：整数、小数只能表示数，的。概括地说：整数、小数只能表示数，而分数不仅能表示数，还能表示数量之而分数不仅能表示数，还能表示数量之间的关系。间的关系。四四大大领领域域再再探探究究z1.2数的认识数的认识z 作为作为“数的认识数的认识”，我们从数的读、写，分解、，我们从数的读、写，分解、组合，大小比较，排序，改写和省略进行学习。组合，大小比较，排序，改写和省略进行学习。z 一、数的读写。我们先来研究正整数的读法，一、数的读写。我们先来研究正整数的读法，从第一学段起，教师便逐步从

25、从第一学段起，教师便逐步从10以内，以内，20以内，以内，100以内，接着引出千、万，认识了基本的计数以内，接着引出千、万，认识了基本的计数单位单位个、十、百、千、万。如个、十、百、千、万。如3721，先从最，先从最高位读起，先读数字，接着读出其所在数位的计高位读起，先读数字，接着读出其所在数位的计数单位，三千七百二十一。因为每个数位上的数数单位，三千七百二十一。因为每个数位上的数字只能是字只能是09共十个，没有计数单位的帮助便无共十个，没有计数单位的帮助便无法完成。到第二学段初期，认识大数中便运用正法完成。到第二学段初期，认识大数中便运用正迁移的方法，引入数级，使大数读法更趋简洁。迁移的方法

26、，引入数级，使大数读法更趋简洁。如如37213721，如果没有数级，读法是：三千万七，如果没有数级，读法是：三千万七百万二十万一万三千七百二十一，百万二十万一万三千七百二十一，四四大大领领域域再再探探究究z很显然，具有数级后，我们四位一级，很显然，具有数级后，我们四位一级，每一级的读法完全一致，四位读完后，每一级的读法完全一致，四位读完后，只需要在后面用一个只需要在后面用一个“万万”“亿亿”字来字来说明其数级就可以了。如说明其数级就可以了。如372137213721，三千七百二十一亿三千七百二十一万，三千七百二十一亿三千七百二十一万三千七百二十一，发现其中的三千七百三千七百二十一，发现其中的三

27、千七百二十一完全一致。这样我们就总结了大二十一完全一致。这样我们就总结了大数的读法：一是从最高位读起，逐级读数的读法：一是从最高位读起，逐级读数；二是读完一级后在其后说明数级；数；二是读完一级后在其后说明数级；三是三是0的读法，每级末尾的的读法，每级末尾的0都不读，中都不读，中间连续的几个间连续的几个0都只读一个都只读一个“零零”，最高，最高位不能为位不能为0。究其原因，。究其原因，0在某位上只占在某位上只占用数位而没有数值，是为占高一级而用用数位而没有数值，是为占高一级而用的。如的。如32400000，如果没有这里的，如果没有这里的0，就，就变成变成324，所以，所以“0”的占位作用是数正的

28、占位作用是数正确读法的基础，也是难点。确读法的基础，也是难点。四四大大领领域域再再探探究究z相反，数的写法也就需要注意相反，数的写法也就需要注意“亿亿”“万万”字，再注意四位一级，因字，再注意四位一级，因为数位是排好顺序的，然后注意为数位是排好顺序的，然后注意0的个数和占位就可以了。如十亿零的个数和占位就可以了。如十亿零一十，先注意数级一十，先注意数级“亿亿”，说明亿，说明亿级是级是“10”，万级没有读出，但没，万级没有读出，但没有万级就没有亿级，说明万级为有万级就没有亿级，说明万级为“0000”，个级是，个级是“一十一十”，说明，说明个级为个级为“0010”，合起来就是，合起来就是10000

29、00010。z学生在读写数中注意四位一级的分学生在读写数中注意四位一级的分级和级和“亿亿”“万万”和数级说明，和数级说明，0的个数和占位作用。的个数和占位作用。四四大大领领域域再再探探究究z数的组成与分解。数的组成与分解是把数的组成与分解。数的组成与分解是把“数数”与与“数字数字”联系与区别的地方。联系与区别的地方。z如如3725=3000+700+20+5=31000+7100+210+51，其中就告诉我们，千位上的数字是，其中就告诉我们，千位上的数字是3，它表示，它表示的数量就是的数量就是3000，而，而31000就告诉我们这个数量就告诉我们这个数量是由是由“数字数字3这一位上的计数单位这

30、一位上的计数单位”组成的，也组成的，也就说明在数字后面就说明在数字后面“1000”是指这个数字该放是指这个数字该放在千位上。按照这样的理解，我们知道每一个数在千位上。按照这样的理解，我们知道每一个数都是有数字都是有数字计数单位组成的，数字只有计数单位组成的，数字只有09，而计数单位才是组成数的关键。而计数单位才是组成数的关键。z同时这个理解有助于解决一些问题或提供一些思同时这个理解有助于解决一些问题或提供一些思路。如路。如shu=324，则，则s表示表示300，是数字，是数字3，h表示表示20，是数字，是数字2，u表示表示4，是数字，是数字4。如。如ao+shu=324,每一个字母表示每一个字

31、母表示04之间的一个之间的一个数字，求出数字，求出shu所表示的最大三位数是（），我所表示的最大三位数是（），我们就可以运用以上理解去解决这一问题。们就可以运用以上理解去解决这一问题。四四大大领领域域再再探探究究z而分数的组成与分解相对比较复杂，数而分数的组成与分解相对比较复杂，数的组成与分解是与它的计数单位决定的，的组成与分解是与它的计数单位决定的，则分数的计数单位是由它的分母决定的，则分数的计数单位是由它的分母决定的，分子则是它计数单位的个数。如分子则是它计数单位的个数。如=5=+，说明是由，说明是由5个组成的，是这个组成的，是这个分数的计数单位，分子个分数的计数单位，分子5是这个计数单是

32、这个计数单位的个数。位的个数。z基于这样的理解，我们可以这样认为，基于这样的理解，我们可以这样认为，数字只有数字只有10个，能组成各种数的根本在个，能组成各种数的根本在于它的计数单位体系，分数是由于若干于它的计数单位体系，分数是由于若干个分数计数单位组成的，整数是由若干个分数计数单位组成的，整数是由若干个固定的计数单位组成的，而小数是由个固定的计数单位组成的，而小数是由若干个小数计数单位组成的，也就是说，若干个小数计数单位组成的，也就是说，数的意义关键在计数单位。而计数单位数的意义关键在计数单位。而计数单位是哪里来得哪？是哪里来得哪？四四大大领领域域再再探探究究z当然是在实际生产生活中，为了满

33、当然是在实际生产生活中，为了满足需要人为统一规定的，而计数单足需要人为统一规定的，而计数单位之间的固定进率就构成了进制，位之间的固定进率就构成了进制，整、小数遵循了十进制，而分数由整、小数遵循了十进制，而分数由于计数单位不同而包含了各种进制，于计数单位不同而包含了各种进制，关键看分母是多少。如上面的分数关键看分母是多少。如上面的分数分母为分母为8，则满，则满8为为1。四四大大领领域域再再探探究究z三、数的大小比较和排序三、数的大小比较和排序z整数的大小比较概括起来四句话，整数的大小比较概括起来四句话，“数数位不同多者大，数位相同看最高，最高位不同多者大，数位相同看最高，最高相同依次比，哪位比出

34、即停止相同依次比，哪位比出即停止”。如。如10000099999，2876587564。z小数的大小比较概括起来三句话，小数的大小比较概括起来三句话，“整整数部分大者大，从左向右依次比，哪位数部分大者大，从左向右依次比，哪位比出即停止比出即停止”。如。如10.23 9.99,9.23 9.19,z分数的大小比较概括起来三句话，分数的大小比较概括起来三句话，“分分母相同看分子，分子大者大，分子相同母相同看分子，分子大者大，分子相同看分母，分母小者大，如果不同要通分，看分母，分母小者大，如果不同要通分，分子分母皆可比分子分母皆可比”。如。如，是由于是由于。四四大大领领域域再再探探究究z借助中间数比

35、较。如二分之一。借助中间数比较。如二分之一。z与与1比较，差越小越大，也就是两个比较对象相比较，差越小越大，也就是两个比较对象相减的比较方法其中的一种减的比较方法其中的一种。z与倒数比较，倒数小者大。与倒数比较，倒数小者大。z两数相除的比较方法两数相除的比较方法。z排序作为大小比较的延伸，其中有各种方法和技排序作为大小比较的延伸，其中有各种方法和技巧。如：巧。如：“从大到小选最大，从小到大选最小，从大到小选最大，从小到大选最小，选完一个就划去，数位对齐最关键选完一个就划去，数位对齐最关键”，意思就是，意思就是对于整数和小数来说，在排序过程中，先将数位对于整数和小数来说，在排序过程中，先将数位对

36、齐，按照要求选出最大或最小的数就把这个数对齐，按照要求选出最大或最小的数就把这个数划去，依次类推。划去，依次类推。z对于不同数混合的，可以先转化为同一种数然后对于不同数混合的，可以先转化为同一种数然后进行比较。进行比较。z对于分数的大小比较，可以先用分子除以分母，对于分数的大小比较，可以先用分子除以分母，用小数表示出分数值，按小数的大小比较方法就用小数表示出分数值，按小数的大小比较方法就可以了可以了 四四大大领领域域再再探探究究z四、数的改写和省略。这是在产生了大数以后，四、数的改写和省略。这是在产生了大数以后，对多位数的简化处理方法。如对多位数的简化处理方法。如3200000000=32亿，

37、亿，3299193320万。可见，个级或个级、万级都为万。可见，个级或个级、万级都为0的，就是整万、整亿数，为了书写简便，可以改的，就是整万、整亿数，为了书写简便，可以改写。写。z省略针对的不是整万、整亿数，在不需要精确程省略针对的不是整万、整亿数，在不需要精确程度很高的地方就可以采用省略，一般采用度很高的地方就可以采用省略，一般采用“四舍四舍五入五入”法，法，“保留到那一位保留到那一位”“精确到那一位精确到那一位”“省略到那一位省略到那一位”都是一样的意思，都看它的都是一样的意思，都看它的下一位是否下一位是否“满五满五”。“四舍四舍”就是它的下一位就是它的下一位不满五，可以直接舍去后面的数字

38、，添上单位就不满五，可以直接舍去后面的数字，添上单位就可以了。可以了。“五入五入”就是它的下一位满五，进就是它的下一位满五，进1后后舍去后面的数字，添上单位就可以了。其实是对舍去后面的数字，添上单位就可以了。其实是对数字有效性的需要不同进而需要保留的数位也不数字有效性的需要不同进而需要保留的数位也不同。比如全世界的人口数精确到同。比如全世界的人口数精确到“亿亿”位就足够位就足够了，但一个国家的人口精确到了，但一个国家的人口精确到“万万”位，一个城位，一个城市的人口就的更加精确些了。市的人口就的更加精确些了。z当然，不是整万、整亿数的也可以改写，只不过当然，不是整万、整亿数的也可以改写，只不过就

39、改写成小数了。如就改写成小数了。如3299193=329.9193万万=3299.193千千=32991.93百。百。四四大大领领域域再再探探究究z3数的意义及相互关系数的意义及相互关系z我们这里所说的数是其基本的意义。小学里出现了我们这里所说的数是其基本的意义。小学里出现了许多许多“数数”，如自然数、奇数、偶数、质数、合数、，如自然数、奇数、偶数、质数、合数、质因数、互质数、公因数、公倍数、最大公因数、质因数、互质数、公因数、公倍数、最大公因数、最小公倍数、整数、小数、倒数、分数、百分数等最小公倍数、整数、小数、倒数、分数、百分数等等，其中有些是数量多少，有些其实是数量关系。等，其中有些是数

40、量多少，有些其实是数量关系。z 奇数（是奇数（是2的倍数；个位是的倍数；个位是1、3、5、7、9）z自然数自然数 （分类标准：看这个数是否是（分类标准：看这个数是否是2的倍数）的倍数）z 偶数（不是偶数（不是2的倍数；个位是的倍数；个位是0、2、4、6、8）z以上为一级分类，二级分类标准是一个非以上为一级分类，二级分类标准是一个非0自然数自然数的因数个数。的因数个数。z 质数（只有质数（只有2个因数个因数1和它本身，和它本身，=2个）个）z非非0自然数自然数 1（只有（只有1个因数个因数1，=1个）个）z合数（有两个以上因数，合数（有两个以上因数，3个）个）z（其中完全平方数的因数个数不会成对

41、出现，也就（其中完全平方数的因数个数不会成对出现，也就是奇数个。完全平方数是指这个数等于两个相同数是奇数个。完全平方数是指这个数等于两个相同数相乘的积，如相乘的积，如1=11，4=22，9=33，16=44）。）。四四大大领领域域再再探探究究z把一个合数分解成几个质数相乘的过程把一个合数分解成几个质数相乘的过程叫做分解质因数，这个分解成的因数是叫做分解质因数，这个分解成的因数是一个质数，就称为质因数。如一个质数，就称为质因数。如360=222335=5，这个合数共有，这个合数共有的因数个数可以根据指数来计算，的因数个数可以根据指数来计算，（3+1）（2+1）（1+1）=24个。也就个。也就是说

42、质因数是对于合数而言的。是说质因数是对于合数而言的。z互质数是指公因数只有互质数是指公因数只有1的两个数，也称的两个数，也称为互质关系。公因数是指两个或两个以为互质关系。公因数是指两个或两个以上非上非0自然数共有的因数，也就是说，互自然数共有的因数，也就是说，互质的两个数它们各自的因数集合交集只质的两个数它们各自的因数集合交集只有有1。四四大大领领域域再再探探究究z公因数是指两个或两个以上非公因数是指两个或两个以上非0自然数共有的因自然数共有的因数，由于任何一个非数，由于任何一个非0自然数最小的因数是自然数最小的因数是1，最，最大的因数是本身，所以公因数有固定的最小的大的因数是本身，所以公因数

43、有固定的最小的1，没有研究的必要，只能研究最大公因数了。，没有研究的必要，只能研究最大公因数了。z公倍数是指两个或两个以上非公倍数是指两个或两个以上非0自然数共有的倍自然数共有的倍数，由于任何一个非数，由于任何一个非0自然数最小的倍数是本身，自然数最小的倍数是本身，没有最大的倍数，所以公倍数只能研究最小的，没有最大的倍数，所以公倍数只能研究最小的，没有最大的，这也就是只研究最小公倍数的原因。没有最大的，这也就是只研究最小公倍数的原因。z基于以上认识，就会出现几种特例。基于以上认识，就会出现几种特例。z如果如果a和和b互质，最大公因数是互质，最大公因数是1，最小公倍数是，最小公倍数是ab。其中互

44、质的情况有：。其中互质的情况有：z（1）、两个连续的非）、两个连续的非0自然数互质。自然数互质。z（2）、两个连续的奇数互质。）、两个连续的奇数互质。z（3）、）、1和其它非和其它非0、1的自然数互质。的自然数互质。z（4）、两个质数互质。）、两个质数互质。四四大大领领域域再再探探究究z互质的本质在于这两个数分解质因互质的本质在于这两个数分解质因数后，质因数没有相同的。如数后，质因数没有相同的。如8=222，9=33，8的质因数有的质因数有（2，2，2），），9的质因数有（的质因数有（3，3），），8和和9的质因数没有相同的，的质因数没有相同的，所以公因数只有所以公因数只有1了（因为了（因为1

45、是任何是任何非非0自然数的因数和几个非自然数的因数和几个非0自然数自然数的公因数）。的公因数）。四四大大领领域域再再探探究究z如果如果ab=k（a、b、k非非0）,也就是说，也就是说，a是是b的的倍数，最大公因数是倍数，最大公因数是b，最小公倍数是，最小公倍数是a。z一般情况下，用列举的方法找最小公倍数和最一般情况下，用列举的方法找最小公倍数和最大公因数是比较慢的，但也可以采用大公因数是比较慢的，但也可以采用“筛法筛法”能够比较快的找出。如：能够比较快的找出。如：z30和和24，可以只找出，可以只找出30的因数（的因数（1，2，3，5，6，10，15，30），在其中挑出），在其中挑出24的因数

46、就是的因数就是它们的最大公因数了。也可以先写出它们的最大公因数了。也可以先写出30的几个的几个倍数（倍数（30，60，90，120，），在其中挑），在其中挑出出24的倍数就是它们的最小公倍数了。的倍数就是它们的最小公倍数了。z还有一种找最大公因数的方法是，可以用不存还有一种找最大公因数的方法是，可以用不存在倍数关系的大数减小数，差就是这两个数的在倍数关系的大数减小数，差就是这两个数的最大公因数。如最大公因数。如30-24=6，6就是就是30和和24的最大的最大公因数。其中的道理我们可以证明：公因数。其中的道理我们可以证明：mk-nk=(m-n)k,k是两数差的因数，同时也是两数是两数差的因数，

47、同时也是两数的公因数。的公因数。四四大大领领域域再再探探究究z如果学生学习了分解质因数，找最如果学生学习了分解质因数，找最大公因数和最小公倍数就容易多了。大公因数和最小公倍数就容易多了。z 2 24 30 z 3 12 15z 4 5z 用最小的质数去试除，除到两数用最小的质数去试除，除到两数互质为止。互质为止。“最大公因数看左边，最大公因数看左边，最小公倍数看一串最小公倍数看一串”。同时最小公。同时最小公倍数也是最大公因数的倍数。倍数也是最大公因数的倍数。四四大大领领域域再再探探究究z 用用最最小小的的质质数数去去试试除除，除除到到两两数数互互质质为为止止。“最最大大公公因因数数看看左左边边

48、，最最小小公公倍倍数数看看一一串串”。同同时时最最小小公公倍数也是最大公因数的倍数。倍数也是最大公因数的倍数。四四大大领领域域再再探探究究z数的互化与关系数的互化与关系z整数、小数、分数在需要的时候是可以整数、小数、分数在需要的时候是可以互相转化的，比如：互相转化的，比如：2=2.0=2.00=，也可以也可以2=，我们只能说大小相同，我们只能说大小相同，但意义发生了变化，但意义发生了变化，2表示表示2个一，个一，2.0表表示示2个十分之一或个十分之一或2个个0.1，表示，表示2个，表个，表示示4个，可见计数单位不同，精确度不同，个，可见计数单位不同，精确度不同，数的形式不同。在整数和小数的转化

49、中，数的形式不同。在整数和小数的转化中，我们发现直接发生变化的是计数单位，我们发现直接发生变化的是计数单位，但计数单位的个数没有发生变化，它们但计数单位的个数没有发生变化，它们有相同的计数单位的进率。而在整数和有相同的计数单位的进率。而在整数和分数的转化中，我们发现不仅计数单位分数的转化中，我们发现不仅计数单位在不断改变，同时计数单位的个数也在在不断改变，同时计数单位的个数也在改变，说明分数没有固定的计数单位和改变，说明分数没有固定的计数单位和计数单位之间的进率。计数单位之间的进率。z以上是整数化成小数、和分数后具有的以上是整数化成小数、和分数后具有的异同处。异同处。四四大大领领域域再再探探究

50、究z 2.数的运算数的运算z基础数学中的运算有六种：加法、减法；乘法、除法；乘方、开方，都是成对出基础数学中的运算有六种：加法、减法；乘法、除法；乘方、开方，都是成对出现的，也体现了运算之间的联系。现的，也体现了运算之间的联系。z2.1.运算的意义及相互关系运算的意义及相互关系z这里谈两个问题，一是运算的意义，二是运算之间的关系。这里谈两个问题，一是运算的意义，二是运算之间的关系。z一、运算的意义一、运算的意义z1、加法、加法z文字意义：加法就是把几个数量合为一个数量的运算。文字意义：加法就是把几个数量合为一个数量的运算。z符号意义：符号意义：+=bz图形意义：图形意义：+=b z适用范例：一

51、是求总和时，二是求多少关系大量时。适用范例：一是求总和时，二是求多少关系大量时。z2、减法、减法z文字意义：从一个数量中去掉一或几部分求剩下部分的运算文字意义：从一个数量中去掉一或几部分求剩下部分的运算z符号意义：符号意义：b-=图形意义：图形意义：b -=适用范例：总量里去掉部分量求适用范例：总量里去掉部分量求剩下的，求相差量剩下的，求相差量z3、乘法、乘法z文字意义：几个相同加数和的简便运算文字意义：几个相同加数和的简便运算z符号意义：符号意义：+=n（=）=s zaz nz图形意义：图形意义：s (每排每排a个，共有个，共有n排，也就是排，也就是n个个a)z适用范例：符合意义的，求多倍数

52、适用范例：符合意义的，求多倍数z4、除法、除法z文字意义：已知两个因数的积和其中一个因数求另一个因数的运算。文字意义：已知两个因数的积和其中一个因数求另一个因数的运算。z符号意义：符号意义：sa=nzaz Sz图形意义：图形意义：nz适用范例：等分（包含、平均分），求单位适用范例：等分（包含、平均分），求单位“1”z5、乘方、开方、乘方、开方z乘方就是求几个相同乘数的积的简便运算，开方就是乘方的逆运算。乘方就是求几个相同乘数的积的简便运算，开方就是乘方的逆运算。四四大大领领域域再再探探究究z3.量与计量量与计量z 量是数量，计量是常见的单位。这里有两个内容，量是数量，计量是常见的单位。这里有两

53、个内容，一是数量和常见的数量关系，二是常见的计量单位。一是数量和常见的数量关系，二是常见的计量单位。z3.1 比比z这里先谈到比，是因为小学阶段就学习了基本的关系这里先谈到比，是因为小学阶段就学习了基本的关系有：多少关系，倍数关系，比，还有一些常见的数量有：多少关系，倍数关系，比，还有一些常见的数量关系。关系。z一、基本关系一、基本关系z 多少关系：大量多少关系：大量-小量小量=相差量相差量z 大量大量-相差量相差量=小量小量 小量小量+相差量相差量=大量大量z倍数关系：多倍数倍数关系：多倍数1倍数倍数=倍数倍数z 多倍数多倍数倍数倍数=1倍数倍数 倍数倍数倍数倍数=多倍数多倍数z可以说，小学

54、一至四年级，都在这两个基本关系的基可以说，小学一至四年级，都在这两个基本关系的基础上进行解决问题，当然还有加法、减法、乘法、除础上进行解决问题，当然还有加法、减法、乘法、除法的意义。也就是说，在这个年段，基本的问题都可法的意义。也就是说，在这个年段，基本的问题都可以用这些数量关系来理解并解决，同时也可以根据运以用这些数量关系来理解并解决，同时也可以根据运算的意义来计算。算的意义来计算。z比：我认为是小学阶段一种基于标准量的份数关系。比：我认为是小学阶段一种基于标准量的份数关系。比表示两个数量相除的关系，那么在什么情况下两个比表示两个数量相除的关系，那么在什么情况下两个数量有相除的关系？一是求一

55、个数量是另一个数量的数量有相除的关系？一是求一个数量是另一个数量的几倍，二是求一个数量是另一个数量的几分之几。也几倍，二是求一个数量是另一个数量的几分之几。也就是说，从这个角度，比建立起了分数与除法的联系。就是说，从这个角度，比建立起了分数与除法的联系。四四大大领领域域再再探探究究z比比也也就就分分为为了了同同类类量量的的比比和和不不同同类类量量的的比比，如如：男男女女生生人人数数比比是是同同类类量量的的比比，路路程程与与时时间间的的比比是是不不同同类类量量的的比比。关关键键在在于于比比值值不不同同，前前者者是倍比关系，后者是一个新的量。是倍比关系，后者是一个新的量。四四大大领领域域再再探探究

56、究z3.2计量单位的意义及互化计量单位的意义及互化z计量单位在小学中重点强调了产生计量单位在小学中重点强调了产生的必要性和进率，能进行单位的转的必要性和进率，能进行单位的转化。而我本人却认为，计量单位的化。而我本人却认为，计量单位的产生本身就是一个重要的数学思想产生本身就是一个重要的数学思想和规范的探究过程，这个意义的深和规范的探究过程，这个意义的深刻理解更加利于学生对单位本质意刻理解更加利于学生对单位本质意义的建构。义的建构。z这里我想思考这样几个问题，什么这里我想思考这样几个问题，什么是单位？单位是怎样产生的？为什是单位？单位是怎样产生的？为什么要有单位？么要有单位？四四大大领领域域再再探

57、探究究z单位有以下几种解释，单位有以下几种解释，1.机关、团体、法人、企机关、团体、法人、企业等非自然人的实体或其下属部门。业等非自然人的实体或其下属部门。2.工薪阶层工薪阶层上班的地方。上班的地方。3.计量用的最小单元。计量用的最小单元。4.“单位单位”原原指佛教禅林僧堂中僧人坐禅的座位。指佛教禅林僧堂中僧人坐禅的座位。敕修百丈敕修百丈清规清规日用轨范日用轨范：“昏钟鸣，须先归单位坐昏钟鸣，须先归单位坐禅。禅。”后指计算事物数量的标准，又称某一工作后指计算事物数量的标准，又称某一工作部门为单位。当然，我们研究的单位是数学学科部门为单位。当然，我们研究的单位是数学学科中的单位，可以分为计数单位

58、和计量单位。计数中的单位，可以分为计数单位和计量单位。计数单位就是数的基本单元，如单位就是数的基本单元，如:个（一）、十、百、个（一）、十、百、千、万等。计量单位就是计量的基本单元，不同千、万等。计量单位就是计量的基本单元，不同量的测量就用不同的单位，如量的测量就用不同的单位，如:长度单位、面积长度单位、面积单位、体积单位、容积单位、质量单位、时间单单位、体积单位、容积单位、质量单位、时间单位等。位等。四四大大领领域域再再探探究究z单单位位的的产产生生当当然然是是在在生生活活、生生产产实实际际需需要要的的基基础础上上产产生生的的。如如长长度度的的产产生生，在在古古代代，人人们们就就有有计计量量

59、的的需需要要。最最初初是是直直接接比比较较。比比如如，拿拿两两条条绳绳子子比比一一比比哪哪一一条条长长，有有时时很很不不方方便便，人人们们就就选选取取定定自自己己身身体体的的一一部部分分长长度度作作为为计计量量的的标标准准，把把要要比比较较的的物物体体同同身身体体上上选选定定的的那那一一部部分分长长度度来来比比较较，这这样样就就产产生生了了计计量量的的单单位位如如一一寸寸、一一尺尺就就是是根根据据人人体体的的一一部部分分长长度度来来确确定定的的，把把中中指指顶顶端端一一节节定定为为一一寸寸，把把大大拇拇指指和和中中指指张张开开的的长长度度定定为为一一尺尺（现在叫一扎）。（现在叫一扎）。四四大大

60、领领域域再再探探究究z如面积的产生，古时候，尼罗河两岸土地肥沃，如面积的产生，古时候，尼罗河两岸土地肥沃，人们生活幸福，可是，尼罗河经常泛滥，冲毁两人们生活幸福，可是，尼罗河经常泛滥，冲毁两岸的田地、房屋，使人们的生活受到重大损失。岸的田地、房屋，使人们的生活受到重大损失。洪水退去，人们经常为了土地的分割而发生冲突，洪水退去，人们经常为了土地的分割而发生冲突，由此人们产生了计量土地面积的大小（即面积）由此人们产生了计量土地面积的大小（即面积）的需要，这就是最早面积计量的萌芽。的需要，这就是最早面积计量的萌芽。z单位的统一。在古代不同地区的人们采用的计量单位的统一。在古代不同地区的人们采用的计量

61、单位是不同的，人们交往起来很不方便，经过很单位是不同的，人们交往起来很不方便，经过很长的时间才发展成统一的精确的计量单位我国长的时间才发展成统一的精确的计量单位我国是在秦始皇统一中国时，统一了度、量、衡的单是在秦始皇统一中国时，统一了度、量、衡的单位我国原来使用市制的计量单位，如长度单位位我国原来使用市制的计量单位，如长度单位有丈、尺、寸，质量单位有斤、两，面积单位有有丈、尺、寸，质量单位有斤、两，面积单位有亩等，这些都在亩等，这些都在1990年废除了。为了更好的与世年废除了。为了更好的与世界接轨，我国现在法定的计量单位与国际通用的界接轨，我国现在法定的计量单位与国际通用的一致。如用不同的单位

62、测量一个固定的长度，由一致。如用不同的单位测量一个固定的长度，由于单位的不同，结果测量出的数量就不一致，就于单位的不同，结果测量出的数量就不一致，就50扎，由于每个人的扎不统一，实际测量的结果扎，由于每个人的扎不统一，实际测量的结果就不同。于是就产生了单位统一的必要性。就不同。于是就产生了单位统一的必要性。四四大大领领域域再再探探究究z新单位的产生。在实际测量中，就拿长新单位的产生。在实际测量中，就拿长度用米来测量，不可能是整米数，多出度用米来测量，不可能是整米数，多出来的部分怎么办来的部分怎么办?必然产生新的单位，更必然产生新的单位，更小的单位，十分之一米长度的分米就产小的单位，十分之一米长

63、度的分米就产生了。这样，新单位就在实际需要的基生了。这样，新单位就在实际需要的基础上产生了。础上产生了。z这里，我们收获了这样几个思考，当没这里，我们收获了这样几个思考，当没有统一的标准时我们进行的实际操作会有统一的标准时我们进行的实际操作会出现问题（也就是单位的个数不同），出现问题（也就是单位的个数不同），当现实的度量无法进行测量时我们就自当现实的度量无法进行测量时我们就自觉转化成比现有单位小的单位进行测量觉转化成比现有单位小的单位进行测量（这与数的除法计算中余数的处理何去（这与数的除法计算中余数的处理何去相似），当然我们用长度测量长度，用相似），当然我们用长度测量长度，用面积测量面积，用体

64、积测量体积，用重面积测量面积，用体积测量体积，用重量度量重量，用规定好的单位去度量实量度量重量，用规定好的单位去度量实际的个数，也就是几个单位，就是际的个数，也就是几个单位，就是“数数+单位单位”的形式。这个单位是一个统一的的形式。这个单位是一个统一的规定，数是这个单位的个数。规定，数是这个单位的个数。四四大大领领域域再再探探究究z4.代数初步代数初步z代数知识在小学阶段重点体现在用字母表示数和代数知识在小学阶段重点体现在用字母表示数和用方程解决问题方面，由字母作为代数初步知识用方程解决问题方面，由字母作为代数初步知识的切入点是考虑到代数式的概念扩展。的切入点是考虑到代数式的概念扩展。z4.1

65、字母的运用字母的运用z字母的运用主要是一种代数思想和意识，任意一字母的运用主要是一种代数思想和意识，任意一个字母可以代表一个固定的或变化的数或式子。个字母可以代表一个固定的或变化的数或式子。具体体现在字母的概括性和简洁性。具体体现在字母的概括性和简洁性。z1.字母表示固定的数字母表示固定的数z如：如：x+2=8，其实这里的，其实这里的x表示一个固定的数表示一个固定的数6。z再如：扑克牌中的再如：扑克牌中的a表示表示1等等。等等。z以上这些，都是用字母来表示一个固定的数。以上这些，都是用字母来表示一个固定的数。z2.字母表示变化的数字母表示变化的数z如：小明的年龄为如：小明的年龄为a岁，这里的岁

66、，这里的a就是一个有限的就是一个有限的变化的数。变化的数。四四大大领领域域再再探探究究z3.字母表示数量字母表示数量z如：小明的年龄为如：小明的年龄为a岁，妈妈的年龄比他大岁，妈妈的年龄比他大30岁，岁，妈妈的年龄为（妈妈的年龄为（a+30）岁（这里其实是一个多项）岁（这里其实是一个多项式，要用括号括起来）。如果妈妈的年龄为式，要用括号括起来）。如果妈妈的年龄为b岁，岁，则小明的年龄为（则小明的年龄为（b-30）岁。）岁。z这里的字母表示的是一种数量关系，也就是妈妈这里的字母表示的是一种数量关系，也就是妈妈的年龄比他大的年龄比他大30岁，其中妈妈的年龄是大量，小岁，其中妈妈的年龄是大量，小明的年龄是小量，相差量为明的年龄是小量，相差量为30岁。这里表达的就岁。这里表达的就是两个数量比较的一种关系。是两个数量比较的一种关系。z当然也就倍数关系。如当然也就倍数关系。如a只青蛙只青蛙a张嘴，张嘴，2a只眼睛只眼睛4a条腿。条腿。z4字母表示规律字母表示规律z如：出租车问题，如：出租车问题，3公里以内起价公里以内起价7元，元，3公里以公里以外超过外超过1公里加价公里加价2元。若行驶元。若行驶m