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1、【问题【问题【问题【问题1 1】平面向量数量积是如何定义的？平面向量数量积是如何定义的？平面向量数量积是如何定义的？平面向量数量积是如何定义的？a b a b=|a a|b b|cos 【问题【问题【问题【问题2 2】两个向量数量积有什么重要性质？两个向量数量积有什么重要性质？两个向量数量积有什么重要性质？两个向量数量积有什么重要性质？（1 1）如果e e是单位向量 e ae a =a ea e =|a a|cos（2 2）两个向量垂直的条件 a a b b a ba b =0（4 4）cos（5 5）|a b a b|a a|b b|（3 3）a aa a =|a a|2 或|a a|=【问
2、题【问题【问题【问题3 3】平面向量数量积满足哪些运算律？平面向量数量积满足哪些运算律？平面向量数量积满足哪些运算律？平面向量数量积满足哪些运算律？a b a b=b a b a(a+ba+b)c c =a ca c+b b c c(a a)b b =(a ba b)=a a(b b)你还记得它们你还记得它们你还记得它们你还记得它们是如何推导出是如何推导出是如何推导出是如何推导出来的吗？来的吗？来的吗？来的吗？【问题问题问题问题4 4】若若a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，那么，那么 a+b，a b 和和 a 是如何用坐标表示的？是如何用坐标表示的？a a+b b =(a1+b1,a2+
3、b2)a a-b b =(a1-b1,a2-b2)a a=(a1,a2)利用平面向量基本定理，把向量表示成基底形式利用平面向量基本定理，把向量表示成基底形式.向量的加法、减法和数乘运算都向量的加法、减法和数乘运算都可以用坐标来表示，那么向量的数量可以用坐标来表示，那么向量的数量积能否用坐标来表示呢？积能否用坐标来表示呢？已知 a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，怎样用a、b的坐标表示 a b 呢？知识支持知识支持知识支持知识支持平面向量基本定理、向量坐标定义、向量的平面向量基本定理、向量坐标定义、向量的平面向量基本定理、向量坐标定义、向量的平面向量基本定理、向量坐标定义、向量的直角坐标运算
4、、数量积的运算律直角坐标运算、数量积的运算律直角坐标运算、数量积的运算律直角坐标运算、数量积的运算律x x o B(x2,y2)A(x1,y1)y y 设e e1 1、e e2 2分别为与x轴和y轴方向相同的单位向量，建立正交基底e e1,e e2，已知a a=(a1,a2)，b b=(b1,b2)，则所以，我们得到数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式a b a b=(a1e e1 1+a2e e2 2)(b1e e1 1+b2e e2 2)a b=a1b1+a2b2=a1b1e e1 1e e1 1+a1b2e e1 1e e2 2+a2b1e e2 2e
5、 e1 1+a2b2e e2 2e e2 2因为 e e1 1e e1 1=e e2 2e e2 2=1，e e1 1e e2 2=e e2 2e e1 1 =0两个向量的数量积等于它们两个向量的数量积等于它们两个向量的数量积等于它们两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和对应坐标的乘积之和对应坐标的乘积之和对应坐标的乘积之和怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？知识支持知识支持知识支持知识支持两个向量垂直的条件 a a b b a ba b=0已知两个非零向量 a a=(a1,a2)，b b=(b1,b2)，如果 a a b b，如果 a1b1+a2b2=0；则 a a b b.a
6、b a1b1+a2b2=0反之呢反之呢反之呢反之呢？则 a1b1+a2b2 =0注意记忆向量注意记忆向量垂直垂直与与平行平行的坐标表示的区别的坐标表示的区别.a b a1b1+a2b2=0a /b a1b2-a2b1=0判断判断：向量(-b2,b1)与(b1,b2)是否垂直？那么向量 k(-b2,b1)与向量(b1,b2)呢？例如例如：向量(3,4)与向量_，_，_都垂直.a b a1b1+a2b2=0能否利用向量坐标表示向量长度的计算公式？设 a a=(a1,a2)，则 a aa a=.知识支持知识支持知识支持知识支持a aa a =|a a|2 或|a a|=a12+a22向量的长度等于它
7、的坐标平方和向量的长度等于它的坐标平方和向量的长度等于它的坐标平方和向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根的算术平方根的算术平方根的算术平方根若A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB=.则AB的长，即A、B两点间的距离为(x2 x1,y2 y1)能否推出两个向量夹角余弦的坐标表达式？知识支持知识支持知识支持知识支持cos已知两个非零向量 a a=(a1,a2)，b b=(b1,b2)，则向量a a、b b夹角余弦的坐标表达式为：cos=【例例1】设a=(3,-1)，b=(1,-2)，求：a b，|a|，|b|和.解：解：a b=(3,-1)(1,-2)=3+2=5|a|=|b|=所以 =c
8、os【变式练习】【变式练习】已知 a=(2,3)，b=(2,4)，求:(a+b)(a b)方法方法1：a+b=(0,7)，a b=(4,1)(a+b)(a b)=04+7(1)=7方法方法2：(a+b)(a b)=a2 b2=|a|2+|b|2=13 20=7【例例2】已知A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，试判断ABC的形状，并给出证明.【思考思考思考思考】改变顶点坐标，改变顶点坐标，改变顶点坐标，改变顶点坐标，ABC可能的形状有哪些？可能的形状有哪些？可能的形状有哪些？可能的形状有哪些？可以证明吗可以证明吗可以证明吗可以证明吗?证明证明：AB=(2 1,3 2)=(1,1)AC=(2
9、 1,5 2)=(3,3)AB AC=1(3)+13=0AB AC三角形ABC是直角三角形x x0 0y yA A(1,2)(1,2)B B(2,3)(2,3)C C(-2,5)(-2,5)【例【例3】已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，试求BAC的正弦值.证明证明证明证明：AB=(3 1,4 2)=(2,2)AC=(5 1,0 2)=(4,2)平面向量数量积的坐标表示以及运用平平面向量数量积的坐标表示以及运用平平面向量数量积的坐标表示以及运用平平面向量数量积的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐标表示解决有关面向量数量积性质的坐标表示解决有关面向量数量积性质的坐标表示解决有关面
10、向量数量积性质的坐标表示解决有关垂直、长度、角度等几何问题。垂直、长度、角度等几何问题。垂直、长度、角度等几何问题。垂直、长度、角度等几何问题。a b a b=a1b1+a2b2两向量数量积的坐标表示：两向量数量积的坐标表示：两向量数量积的坐标表示：两向量数量积的坐标表示：两向量垂直的充要条件的坐标表示：两向量垂直的充要条件的坐标表示：两向量垂直的充要条件的坐标表示：两向量垂直的充要条件的坐标表示：a a b b a1b1+a2b2=0向量的长度（模）：向量的长度（模）：向量的长度（模）：向量的长度（模）：两向量的夹角：两向量的夹角：两向量的夹角：两向量的夹角：cos=平面向量数量积的坐标表示
11、以及运用平平面向量数量积的坐标表示以及运用平平面向量数量积的坐标表示以及运用平平面向量数量积的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐标表示解决有关面向量数量积性质的坐标表示解决有关面向量数量积性质的坐标表示解决有关面向量数量积性质的坐标表示解决有关垂直、长度、角度等几何问题。垂直、长度、角度等几何问题。垂直、长度、角度等几何问题。垂直、长度、角度等几何问题。向量的坐标表示与运算可以大大简化数量向量的坐标表示与运算可以大大简化数量向量的坐标表示与运算可以大大简化数量向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，有关长度、角度和垂直的问题积的运算，有关长度、角度和垂直的问题积的运算，有关长度、角度
12、和垂直的问题积的运算，有关长度、角度和垂直的问题可以利用数量积的坐标运算来解决。可以利用数量积的坐标运算来解决。可以利用数量积的坐标运算来解决。可以利用数量积的坐标运算来解决。本节课采用了类比思想；向量数量积运算本节课采用了类比思想；向量数量积运算本节课采用了类比思想；向量数量积运算本节课采用了类比思想；向量数量积运算的代数化，体现了数形结合的思想方法的代数化，体现了数形结合的思想方法的代数化，体现了数形结合的思想方法的代数化，体现了数形结合的思想方法。1.1.课后梳理所学新知，完成课堂反思课后梳理所学新知，完成课堂反思课后梳理所学新知，完成课堂反思课后梳理所学新知，完成课堂反思.2.2.完成教材完成教材完成教材完成教材1 11414页练习页练习页练习页练习A A第第第第1 1、2 2、3 3题题题题.3.3.学有余力的同学完成练习学有余力的同学完成练习学有余力的同学完成练习学有余力的同学完成练习B B第第第第3 3、4 4题题题题.【课后思考】【课后思考】已知点A(a,b)与点A(b,a)，求证直线 y=x 是线段AA的垂直平分线.证明：证明：证明：证明：设线段AA的中点是M(x,y)，依据中点公式，有由此得 x=y，点M在直线 y=x 上，在直线 y=x 上任取一点P(x,x)，所以因此，直线 y=x 是线段AA的垂直平分线.
高中数学向量数量积的坐标运算课件
