（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 课时6 2.4 二次函数和幂函数课件

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1、 2.4 2.4二次函数和幂函数二次函数和幂函数教教材材研研读读1.1.幂函数幂函数2.2.二次函数二次函数考考点点突突破破考点一考点一 二次函数的解析式二次函数的解析式考点二考点二 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质考点三考点三 二次函数的综合问题二次函数的综合问题考点四考点四 幂函数的图象与性质幂函数的图象与性质1 1.幂函数幂函数(1)(1)定义定义:形如y=x(R)的函数称为幂函数,其中底数x是自变量,为常数.常见的五类幂函数为y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1.(2)(2)性质性质a.幂函数在(0,+)上都有定义;b.当0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),

2、且在(0,+)上单调递增;c.当0)f(x)=ax2+bx+c(a0)图象定义域(-,+)(-,+)值域单调性在上单调递增,在-,-上单调递减在-,-上单调递增,在-,+上单调递减奇偶性当b=0时为偶函数,当b0时为非奇非偶函数顶点坐标对称性图象关于直线x=-对称(4)若二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a0)满足f(x1)=f(x2),则图象关于直线x=对称;若二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a0)满足f(x+m)=f(-x+n),则图象关于直线x=对称.1.(教材习题改编)下图是y=xa;y=xb;y=xc在第一象限的图象,则a,b,c的大小关系为(D)A.cbaB.abcC

3、.bcaD.ac0,f(p)0B.f(p+1)1),使得存在tR,只要x1,m,就有f(x+t)x.解析解析(1)由f(x-4)=f(2-x)知,对称轴为直线x=-1,由知开口向上,即a0,又最小值为0,故f(x)=a(x+1)2,由知f(1)1;由知f(1)=1,故f(1)=1,代入得a=,所以f(x)=(x+1)2.(2)由题意知,在区间1,m上函数y=f(x+t)的图象恒在直线y=x的下方,且m最大,故1和m是关于x的方程(x+t+1)2=x(*)的两个根,将x=1代入(*),得t=0或t=-4,当t=0时,方程(*)的解为x1=x2=1(这与m1矛盾).当t=-4时,方程(*)的解为x

4、1=1,x2=9,所以m=9.又当t=-4时,对任意x1,9,恒有(x-1)(x-9)0(x-4+1)2x,即f(x-4)x,所以m的最大值为9.典例典例2已知函数y=ax2+bx+c,如果abc,且a+b+c=0,则它的图象可能是(D)二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质命题方向一二次函数图象识别问题命题方向一二次函数图象识别问题解析解析由abc,且a+b+c=0,得a0且c0,所以f(0)=c-2),若函数的最小值为0,则a=0.命题方向三二次函数的最值问题命题方向三二次函数的最值问题解析解析f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,当a1时,f(x)min=f(1)=-10,不符合题意

5、;当-2a1时,f(x)min=f(a)=a2-2a,若函数的最小值为0,则a2-2a=0,解得a=2(舍去),或a=0,综上可知a=0.规律总结规律总结解答二次函数的最值问题,通常采用配方法,将二次函数化为y=a(x-m)2+n(a0)的形式,得其图象顶点(m,n)或对称轴方程x=m,常见题型有三种:顶点固定,区间固定;顶点含参数,区间固定;顶点固定,区间变动.同类练同类练设函数f(x)=x2+ax+b(a,bR).当b=+1时,求函数f(x)在-1,1上的最小值g(a)的表达式.解析解析当b=+1时,f(x)=+1,故对称轴为直线x=-.当-1,即a-2时,g(a)=f(1)=+a+2.当

6、-1-1,即-2a2时,g(a)=f=1.当-2时,g(a)=f(-1)=-a+2.综上,g(a)=变式练变式练(2019台州中学月考)若函数f(x)=x2-2x+1在区间a,a+2上的最小值为4,则a的取值集合为(C)A.-3,-1B.-1,3C.-3,3D.-1,-3,3解析解析 f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,故函数图象的对称轴是x=1.因为f(x)在区间a,a+2上的最小值为4,所以当1a时,ymin=f(a)=(a-1)2=4,解得a=-1(舍去)或a=3,当a+21,即a-1时,ymin=f(a+2)=(a+1)2=4,解得a=1(舍去)或a=-3,当a1a+2,即-1a1

7、时,ymin=f(1)=04,不符合题意.故a的取值集合为-3,3.深化练深化练已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x-1,1上恒小于零,求实数a的取值范围.解析解析由题可知2ax2+2x-30在-1,1上恒成立.当a=0时,符合题意;当a0时,x=0时,有-30恒成立;x0时,a-,因为(-,-11,+),当=1,即x=1时,不等式右边取最小值.所以a,且a0.综上,实数a的取值范围是.典例典例5设a0,(3x2+a)(2x+b)0在(a,b)上恒成立,则b-a的最大值为(A)A.B.C.D.命题方向四一元二次不等式恒成立问题命题方向四一元二次不等式恒成立问题解析解析当ab0时,

8、(3x2+a)(2x+b)0在(a,b)上恒成立,可转化为x(a,b),a-3x2,所以a-3a2,所以-a0,所以b-a;当a0b时,当x=0时,(3x2+a)(2x+b)=ab0,不符合题意;当a0=b时,由题意知x(a,0),(3x2+a)2x0恒成立,所以3x2+a0,所以-a0,由x2+ax+b0,得x,依题意知,对任意实数a,总存在实数m,使得m-1,m+1,所以-2,即4ba2-4对于任意实数a恒成立.故4b-4,即b-1,故b的最大值为-1.(2)先求使不等式x22|x-a|-|x+1-a|对任意xR恒成立的a的取值范围.当xa-1时,不等式化为x2-x-1+a2(a-x),即

9、x2+x-1a,亦即a-.若a-1-,即a,则与a-矛盾.若a-1-,即a,则a0,解得a1+或a1-,所以a1-.当a-12(a-x),即x2+3x+13a,亦即3a-.若a-1-a,即-a-,则3a-,即a-,所以-a-.若a-1-,即a-,则3a0,解得a1+或a1-,所以-a1+.若a-,则3aa2+3a+1恒成立.综合得a1+.当xa时,不等式化为x2+x+1-a2(x-a),即x2-x+1-a,亦即-a+,若a,则-aa2-a+1恒成立,所以a.若a,则-a-,所以-a-.综合得,使不等式x22|x-a|-|x+1-a|对任意xR恒成立的a的取值范围是-a0,即m2+2m-30,解

10、得-3m1,又mZ,故m的可能取值为-2,-1,0.当m=-2时,-m2-2m+3=3,不合题意;当m=-1时,-m2-2m+3=4,符合题意;当m=0时,-m2-2m+3=3,不合题意.所以f(x)=x4,所以f(2)=24=16.方法指导方法指导研究幂函数时,要从熟记五个基本幂函数的图象开始,理清幂函数y=x(R)的相关性质,再辅之以数形结合的方法,这类问题就会迎刃而解.如果不是基本的幂函数,那么通常先将负指数幂化为正指数幂,再将分数指数幂化为根式(幂指数是负整数时化为分式),然后根据得到的根式(分式)研究幂函数的性质.幂函数的定义域就是使这些分式或根式有意义的自变量的集合,直接利用定义判断其奇偶性和单调性.4-1若函数f(x)是幂函数,则f(1)=1,若满足f(4)=8f(2),则f=.解析解析设f(x)=x(R),则f(1)=1.由f(4)=8f(2)得4=82,则2=+3,=3,则f(x)=x3,则f=.