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1、精心整理 欢迎下载 七年级数学第七章：生活中的轴对称 第一节、第二节北师大版 【本讲教育信息】一.教学内容：第七章：生活中的轴对称 第一节：轴对称现象 第二节：简单的轴对称图形 教学要求 1、认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形和对称轴。2、观察生活中的轴对称现象，探索轴对称现象的共同特征，从而进一步发展空间观念，平分线、线段垂直平分线的有关性质，掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质。重点及难点 1、重点是了解生活中的轴对称图形，能够判定一个图形是否为轴对称图形，并能确定其对称轴，难点是体会轴对称在现实生活中的广泛运用和它的丰富文化价值。2、重点是点到直线距离、垂直平分线、等腰三角形与等边三角
2、形的概念与性质。难点是垂直平分线的性质和等腰三角形的性质及其应用。知识要点 1、如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。关于轴对称的概念中包括两层意思：（1）两个图形（2）沿某直线对折能够互相重合。2、轴对称和轴对称图形的区别与联系 区别：（1）轴对称是说两个图形的位置关系，轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形。（2）轴对称是对两个图形说的，轴对称图形是对一个图形说的。联系：（1）它们的定义中，都有沿某直线折叠，图形重合。（2）如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形，反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两
3、个图形，那么这两个图形成轴对称。3、角是轴对称图形（1）角是轴对称图形 如图（1），设 OC 是AOB 的角平分线，若沿着 OC 将AOB 对折，则AOC 与BOC能够完全重合，因此，角是轴对称图形，而角平分线所在直线就是它的对称轴，也只有这一条对称轴。（2）点到直线的距离 精心整理 欢迎下载 如图（2），设 A 为直线 l 外一点，过点 A 作 l 的垂线，垂足为 B，则线段 AB 的长叫做点 A 到直线 l 的距离，而当 A 在直线 l 上时，我们认为 A 到直线 l 的距离为 0。（3）角平分线性质 角平分线上的任意一点到角两边的距离相等。4、线段是轴对称图形（1）线段是轴对称图形 如图
4、（3），设 O 是线段 AB 的中点，经过 O 点与 AB 垂直的直线为 l，则将线段 AB 沿着直线 l 折叠后，线段 OA 能与 OB 重合，故线段是轴对称图形，如图（3）中的直线 l 就是线段 AB 的对称轴。（2）线段垂直平分线 过线段的中点且和这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线。（简称中垂线）线段的垂直平分线是这条线段的对称轴。线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。5、等腰三角形（1）等腰三角形的概念 如图（4），ABC 中 ABAC，我们称这种有两条边相等的三角形为等腰三角形，相等的两条边均称为等腰三角形的腰，第三条边则称为底边，两腰的夹角
5、称为顶角，腰与底边的夹角称为底角。（2）等腰三角形的性质 a 等腰三角形是轴对称图形 b 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合（也称“三线合一”），它们均为等腰三角形的对称轴。c 等腰三角形的两个底角相等，如图（4），BC 察生活中的轴对称现象探索轴对称现象的共同特征从而进一步发展空间形并能确定其对称轴难点是体会轴对称在现实生活中的广泛运用和它的形沿一条直线对折后直线两旁的部分能够互相重合那么这个图形叫做轴精心整理 欢迎下载 （3）等边三角形 我们称三边均相等的三角形是等边三角形，也称为正三角形。a 等边三角形是轴对称图形，而且它有三条对称轴，事实上，等边三角形的三条高线所在直
6、线就是它的对称轴。b 等边三角形的三个内角均为 60。【典型例题】例 1.（1）如图，正三角形正四边形正五边形正六边形正八边形都是轴对称图形，数一数它们的对称轴的条数，填入下表：图形编号 对称轴条数 （2）观察后分析，正多边形对称轴的条数与边数 n 有什么关系?（3）根据你的分析结果回答：正九边形、正十二边形有几条对称轴?解：（1）图形编号 对称轴条数 3 4 5 6 8（2）正多边形对称轴的条数与边数 n 相等。（3）由（2）知，正九边形有九条对称轴，正十二边形有十二条对称轴。例 2.下列图形是由两个字母 A 和 H 构成的（把 A 和 H 看作是轴对称图形）A H A H A H A H
7、A H A H（1）请仔细观察其中的变化规律，回答以下两个问题：第 100 个字母是什么?图形中的字母 A 在 2006 个字母中一共出现多少次?（2）从左往右在图案中取多少个字母能构成一次轴对称?解：（1）第 100 个字母是 H。图形中的字母 A 在 2006 个字母中一共出现 1003 次。（2）从左往右在图案中取奇数个字母能构成一次轴对称。察生活中的轴对称现象探索轴对称现象的共同特征从而进一步发展空间形并能确定其对称轴难点是体会轴对称在现实生活中的广泛运用和它的形沿一条直线对折后直线两旁的部分能够互相重合那么这个图形叫做轴精心整理 欢迎下载 例 3.如图，已知 CD 垂直平分线段 AB
8、，AB 平分CAD，求证：CBAD 分析：欲证线段平行，往往先证有关角相等，如BBAD，再结合角平分线的性质，又可实现角的转换，只须证BCAB，而此式只需用垂直平分线性质即可得证。证明：CD 垂直平分线段 ABCACBCABCBA AB 平分CADCABDAB DABCBA CBAD（内错角相等，两直线平行）例 4.如图，已知 ABAC，DBDC，P 是 AD 上一点，求证：ABPACP 分析：本题欲证ABPACP，注意到ABPABCPBC，ACPACBPCB，不妨先探讨ABC 与ACB，PBC 与PCB 的关系。证明：连接 BC，ABAC（已知）ACBABC 点 A、D 都在线段 BC 的垂
9、直平分线上，而两点确定一条直线AD 就是线段 BC 的垂直平分线PCPBPBCPCB ABCPBCACBPCBABPACP 说明：（1）在有线段相等的条件下证明角的相等，常可用恒等变形的方法转化为另外一个角的相等问题来证。（2）本题可以用三角形全等来证。例 5.如图，在ABC 中，C90，DE 是边 AB 上的垂直平分线，交 BC 于点 D，垂足为 E，如果1：21：2，求B 的度数。解：DE 是边 AB 上的垂直平分线ADDBDABDBA CAB+CBA90，1：21：2CBA14 9022.5 【模拟试题】（答题时间：45 分钟）一、填空题 察生活中的轴对称现象探索轴对称现象的共同特征从而
10、进一步发展空间形并能确定其对称轴难点是体会轴对称在现实生活中的广泛运用和它的形沿一条直线对折后直线两旁的部分能够互相重合那么这个图形叫做轴精心整理 欢迎下载 1、如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫（），这条直线叫做（）2、对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么这两个图形成（），这条直线是（）3、轴对称是指（）个图形的位置关系，轴对称图形是指（）个具有特殊形状的图形。4、轴对称图形的对称轴是一条（）线。5、正方形是轴对称图形吗？答：（），它共有（）条对称轴。6、两条直角边相等的直角三角形是轴对称图形吗？答：（），它有（）条对称轴。7、角是
11、轴对称图形，（）线是它的对称轴 8、线段是轴对称图形，它的对称轴是（）9、等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）10、三边相等的三角形是（）三角形，也叫（）三角形。11、角平分线上任意一点到角两边的距离（）12、线段垂直平分线上的点到（）距离相等。13、等腰三角形顶角的（）与底边上的（）、（）重合，它们都是等腰三角形的（），也称（）14、等腰三角形的一个内角为 40，则它的一个底角为（）15、有一条对称轴的三角形是（）三角形，有三条对称轴的三角形是（）三角形。16、一个等腰三角形的底角是顶角的 2 倍，则它的顶角是（），底角是（）。二、选择题 1、长方形是轴对称图形，它的对称轴有（）A.1
12、条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 2、轴对称图形的对称轴数（）A.只有 1 条 B.2 条 C.3 条 D.至少 1 条 3、圆是轴对称图形，它的对称轴有（）A.1 条 B.2 条 C.4 条 D.无数条 4、下列图形中：（1）等腰三角形（2）直角三角形（3）线段（4）角（5）等腰直角三角形，其中轴对称图形有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5、等腰三角形的底边长是 8 厘米，腰长是 5 厘米，那么这个等腰三角形的周长是（）A.21 厘米 B.18 厘米 C.18 厘米或 21 厘米 D.13 厘米或 26 厘米 6、等腰三角形的一个内角为 150，则它的底角为（）A.
13、30 B.15 C.30或 15 D.50 7、等腰三角形的一个底角为 40，则它的底角为（）A.40 B.70 C.120 D.40或 70 8、下列说法错误的是（）A.等腰三角形底边上的高是它的对称轴 B.等腰三角形底边上的中线是它的对称轴 C.等腰三角形顶角的平分线是它的对称轴 D.等腰三角形一个角的平分线是它的对称轴 察生活中的轴对称现象探索轴对称现象的共同特征从而进一步发展空间形并能确定其对称轴难点是体会轴对称在现实生活中的广泛运用和它的形沿一条直线对折后直线两旁的部分能够互相重合那么这个图形叫做轴精心整理 欢迎下载 三、两个大小不同的圆可以组成以下五种图形，请找出每个图形的对称轴，
14、并说一说它们的对称轴有什么共同的特点。四、如图，ABC 中，ABAC，ADBC 于点 D，DEAB 于点 E，DFAC 于点 F，试问 DE 与 DF 相等么？为什么？察生活中的轴对称现象探索轴对称现象的共同特征从而进一步发展空间形并能确定其对称轴难点是体会轴对称在现实生活中的广泛运用和它的形沿一条直线对折后直线两旁的部分能够互相重合那么这个图形叫做轴精心整理 欢迎下载【试题答案】一、填空题 1、轴对称图形、对称轴 2、轴对称、对称轴 3、两、一 4、直 5、是、四 6、是、1 7、角平分 8、线段的垂直平分线 9、底边的垂直平分线 10、等边、正 11、相等 12、这条线段的两个端点的 13、平分线、中线、高线、对称轴、三线合一 14、70或 40 15、等腰、等边 16、36、72 二、选择题 1、B 2、D 3、D 4、D 5、B 6、B 7、D 8、D 三、它们的对称轴都经过两圆圆心。四、相等，证明略。察生活中的轴对称现象探索轴对称现象的共同特征从而进一步发展空间形并能确定其对称轴难点是体会轴对称在现实生活中的广泛运用和它的形沿一条直线对折后直线两旁的部分能够互相重合那么这个图形叫做轴
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