完全四点形和完全四线形调和性质应用例析

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1、完全四点形和完全四线形调和性质应用例析作者：何璇摘要本文对高等几何中的完全四点(线)形的调和性质进行了归纳整理，主要研究内容是通过运用完 全四点形和完全四线形调和性质解决一些几何证明、几何作图、研究二次曲线的一些性质等几何问 题，来体现高等几何的一些思想观点和方法。从而能够用现代几何学的观点处理初等几何问题使解 题更简洁，拓宽解题思路，提高解题能力。关键词：完全四点(线)形；调和性质；高等几何；初等几何AbstractThe paper gives a simple summary to harmonicity of complete quadrangle (complete quadrila

2、teral) in Higher Geometry. Its main research content is to figure out some problems including geometrical proving, geometrical drawing and researching the characters of the conics via the harmonicity of the complete quadrangle (complete quadrilateral), which incarnates some viewpoints and methods in

3、 higher geometry. Accordingly, we can deal with the problems on elementary geometry by using views of modernistic geometry, which can simply solve problems, broaden train of thought and improve the capacity to solve problems.Key words: complete quadrangle (complete quadrilateral); harmonicity; Highe

4、r Geometry; ElementaryGeometry1前言射影几何对初等几何教学的指导，不仅表现在提高数学思想与观点上，还直接表现于对初等几 何图形的射影性质的研究中（参见文911）。由射影几何、仿射几何和欧氏几何三者的关系，我们 知道，欧氏几何为仿射几何及射影几何的子几何，在其中可以讨论仿射的对象（仿射不变性质和仿 射不变量）和射影对象（射影不变性质与射影不变量）因而可以用射影几何去指导与研究初等几何 中的一些问题。而完全四点形和完全四线形的调和性是射影几何的重要不变性，有关平面图形与二 次曲线的许多重要概念和性质都与此密切相关。它们在射影几何中占有重要地位。不仅如此，它们 在初等几

5、何中也有很广泛的应用（参见文810）。2完全四点（线）形概念简述完全四点形中有诸多的调和共轭线束和调和共轭点列，如图1,完全四点形ABCD中，XYZ为对 边三点形，P、Q、R、S、T、W为对边三点形各边与完全四点形各组对边的交点.则调和共轭 线束是以 X、Y、Z 为中心的三组线束。即 X（AB, PY）=-1, Y（AD, SX）=-1, Z（AB, PY）=-1。 调和共轭点列在完全四点形的六条边AB、AD、BD、BC、DC、AC及对边三点形的三条边XY、 YZ、XZ上，共十二组调和共轭关系（参见文1）。根据完全四线形与完全四点形的对偶关系仔细 观察图1,可以发现，该图中蕴含着完全四线形ab

6、ed , xyz为完全四线形的对顶三线形，由对偶原则可 知，在x、y、z三条边上各有一组调和共轭点列：（AC, ZT）= -1,（BD, ZW）= -1,（XY, TW）= -1, 以九个顶点A、B、C、D、X、Y、Z、T、W为中心，各有一组调和共轭线束。正因为完全 四点形与完全四线形可以通过一张图形体现,故而下面的讨论可仅就完全四点形的点线进行。利用上述性质我们可以较为简单明了地解决许多初等几何的问题，以使得初几与高几的学习能 够融会贯通，并从中体现高几对初几的指导作用。3.应用举例3.1几何作图问题图13.1.1第四调和点的作法我们知道，一直线1上的点偶P,P与Q ,Q1 2 1 2成为调

7、和共轭的充要条件是：“ P和P是一个完1 2全四点形的对边点，Q和Q是通过第三个对边1 2点的一对对边与l的交点”（参见文1）。为此， 可通过完全四点形的作图来作第四调和点。利用 完全四点形和完全四线形的调和性质在初等几何 作图中的一些具体应用如下：例1、已知A、B、C三点共线于/，在直线l上求作点C关于A、B的调和共轭点，有以下几种方法。限于篇幅，只给出作法，具体作图过程及证明从略。 利用完全四点形和完全四线形的调和性质过点C任作一直线，在其上任取异于C的两点Q、S，分别连接S、A ； Q、B交于点R，连接Q、A ； S、B交于点T,再连接A、B ； R、T交于点D，则点D即为所求。 利用“

8、线段的中点与其所在直线上的无穷远点成调和共轭”过点C任作一直线，在其上取两点A、B分别位于点C的两侧，并且A、B到C的距离相等。11 11连A与A、B与B相交于S点，过点S作直线AB的平行线交A、B、C所在直线l于点D，则 1 1 1 1点D即为所求（参见文2）。 利用“角的内、外角平分线关于角的两边成调和共轭”过点C任作一条不与l垂直的直线l，作线段AB的垂直平分线与直线l相交于E点，过不共线三点 1 1A、B、E作一圆，交直线l于另一点F，再作ZAFB的外角平分线与A、B、C所在直线l相 1交于D，则点D即为所求。 利用二次曲线极点、极线的作图法过A、B两点任作一圆，作出点C关于此圆的极线

9、，与A、B、C所在直线l相交于D，则点D即 为所求。 利用调和共轭的初等几何作图（AB, CD） = -1 o OA2二OC - OD,点O为AB的中点）Q以AB为直径作圆O，过C作AB的垂线交圆O于M，过M作圆O切线交OC于D，则D点为 所求。3.1.2初等几何作图利用完全四点（线）形的调和性质可以使我们由纯粹几何 方法得到调和共轭点列或调和共轭线束,即仅用直尺可作出已 知点列上的三点的第四调和点或已知线束中三直线的第四调 和直线的方法，从而实现用高等几何方法方便简洁地解决欧氏 平面作图问题，对初等几何作图有重要的指导意义。具体应用如下:例2、(1)已知线段AB及其中点C , P是直线AB

10、外一点，求作：过P点且平行于SAB的直线。作法：如图2连结AP并延长，在其上取一连结CQ, BP交于R ； 连结AR, BQ交于S ； 连结PS，则直线PS为所求作直线。(2) 已知线段AB，且AB平行l，求作AB的中点。作法：如图2 在l上任取两点P, S ； 连结BP, AS交于R ； 连结AP, BS交于Q ； 连结QR交AB于C，则C为所求作的点。(3) 已知SC是ZASB的内角平分线，求作其外角平分线。作法：如图3 用不过S的任一直线截SA,SB,SC分别于A,B,C； 在SC上任取一点R ； 连结AR交SB于Q ； 连结BR交SA于P ； 连结PQ交AB于D； 连结SD，它即为所求

11、作的直线。已知SD是ZASB的外角平分线，求作其内角平分线。作法：如图3 用不过S的任一直线截SA,SB,SD分别于A,B,D 过D任作一直线交SA, SB分别于P , Q ； 连结AQ, BP交于R ； 连结SR ,它即为所求作的直线。3. 2几何证明问题N图43.2.1解决中点、平行问题已知共线四点A、B、C、D,如果按此顺序的交比 (AB, CD)=-1,那么就称C、D关于A、B成调和共 轭，或称A、B、C、D成调和点列。而线段的中点就是 这直线上无穷远点关于线段两端点的调和共轭点(参见文 2)。例3、已知A、B、C、D、O是共线五点，且OC2二OA - OB，如果C、D两点调和分割 线

12、段AB，则O是CD中点。证明：因为C、D调和分割线段AB，故有：(AB, CD )=1，即AC - BD + AD - BC = 0， 把所有线段都以0点作原点表达，得SC oa)0d OB)+(D oa)0c OB)= 0，乘出，移 项，分解因子得：2(OA - OB + OC - OD)=(OA + OB)Oc + OD),把OC2 = OA - OB 代入此式得： 2(?C2 + OC - OD)=(OA + OB)Oc + OD),整理之：(OC + OD)2oC OA OB)= 0 (*)。假设 2OC OA OB = 0，即 2OC = OA + OB ，或 4OC2 = OA2

13、+ OB2 + 2OA OB = OA2 + OB2 + 2OC2，故有OA2 + OB2 一 2OC2 = OA2 + OB2 一 2OA- OB =(OA一 OB=0，所以：OA = OB ， A 与 B重合，此与C、D调和分割AB矛盾，故2OC - OA - OB丰0，从(*)式便知：OC + OD = 0， 所以O平分线段CD。例4四边形ABCD的对边AB与CD交于M，AD与BC交于N，直线MN平行于四边形ABCD的对角线BD，求证：另一对角线AC平分线段MN。（参见文4）证明：如图4所示，设平行线BD与MN交于Q , AC与MN交于P，视四边形ABCD为完全四点形（或四线形），则MN

14、为完全四点形ABCD的对边三点形的一条边，易得（MN, PQ）= -1，MP即（MN, PQ）= （MNP）=-1gNP故P为线段MN的中点，从而对角线AC平分线段MN。由此题的证明过程不难证明其逆命题成立。逆命题：四边形ABCD的对边AB与CD交于M，AD与BC交于N，对角线AC平分线段 MN，求证：直线MN平行于四边形ABCD的对角线BD。由以上说明，这一类初等几何问题通过构造四边形，进而把问题转化为完全四点（线）形的问题, 然后用其调和性极易得到解决。3.2.2线共点问题例5、设X、Y、Z是完全四点形ABCD的三个对顶点，XZ分别交AC、BD于L、M， 证明：YZ、BL、CM共点。证明：

15、如图5，在完全四点形ABCD中，根据定理1.12的推论1（参见文2）知，边AC上的四 个点A、C、Y、L是一组调和点，即（AC, YL）=一1。又在完全四点形YBZL中，设LB与YZ交于N , MN交YL于C，据定理1.12的推论1 （参见文1）知，边YL上的四点Y、L、C、A是一组 调和点，即G, AC）=-1。由于（YL, AC）=（AC, YL）=-1,故 C 三 C,所以YZ、BL、CM共点。该问题是利用完全四点形调和性质解决三线共点问题，还可以解决诸如初等几何中的证明三角形三中线共点，如：已知：AABC中，AD,BE,CF分别为AABC的中线，求证AD,BE,CF共点。3.2.3点共

16、线问题用初等几何方法证明“梯形两底中点，两条对角线交点，两腰（所在直线）交点这四点共线”不算太容易，而用射影几何的理论作指导来证明就很简单了。例6、已知：ABCD是梯形，M、N是两底AB、CD之中点,E是对角线AC与BD之交点,F是两腰AD、BC延长线之交点。（图6），求证:111i1P8 RBMEMEN NCAEM A n 4 二1 EM MA1 1DN NC所以， 1- 1BM M Ai i（1）、（2）相乘得:DN 21-NC 2AM - BM M B - M A1 1 1，于是得：DN12 = N1C 2, DN广N1C,代回又得出：AM二MB。1 1所以,Ni是CD之中点,M1是AB

17、之中点，但线段中中点唯一，所以E、F四点共线。命题得证。若以射影几何的理论作指导，此命题的证明就很简单了:（证法一）：用二次曲线的极点与极线的理论作指导。（图7）把两直线AD与BC看作一条退化二阶曲线，则交点F是 奇异点。因梯形两底AB与CD平行，故设它们交于无穷远 点P，M、N既是线段AB、CD之中点，则M、N就是P的共扼点，于是直线MN是点P的极线，必然通过奇 异点F，所以M、N、F三点共线。同样，又把直线AC与BD看作另一条退化二阶曲线， 则交点E为奇异点，MN是P的极线，必然通过奇异点E，所以M、N、E三点共线。于是四g点M、N、E、F共线。（证法二）：用完全四线形的调和性质作指导。（

18、图7）设EF交AB于M、交CD于N ,今证M、 N是AB、CD之中点。事实上，在由四直线FD、DE、EC、CF构成的一个完全四线形中，FE、 DC，AB是它的三条对顶线。由四线形的调和性质有 ：（AB,MR）=1,（DC,NR）=1，但DC / AB，所以R是无穷远点，而无穷远点的调和共扼点是线段中点，所以M、N是线段AB、DC之中点，命题得证。高等几何中的射影几何是专门研究射影命题（即，只与点线接合性有关的几何命题）的，它有其 自身的一整套理论系统和方法，得出了一大批只与点线接合性有关的很好的结论。而初等几何中证 明点共线、线共点的间题却是一个难点，因此，初等几何中涉及点共线、线共点的一些命

19、题，若用 高等几何作指导，证明可来得较为简单和方便。这也就是为什么师范数学系学生（未来的初中数学教 师）为什么要把高等几何作为必修的专业课的理由之一。例7、已知如图8, ASAB，D、E、C为三角形三边上的点，DE / AB ；连接CD、CE并 延长分别交BS、AS于P、Q，连接CS交DE、PQ于F、T，M为AC中点。求证：T、D、M三点共线。证明：由Menelaus定理可知，要证T、D、M共线，即证AM CT SDMC TS DA(*)(参见文4)CF - STSF - CT将S、D、C、E看作完全四点形的四个顶点，可知（CS,FT）=-1,又因DE/ AB，故二，可见，（*）式成立，所以T

20、、D、M三点共线。SF SD由该题可得出完全四点形调和性质的一个结论：完全四点形六条边中的三条边（不通过同一顶点 的且分属三组对边中的一条）与对边三点形三边所得的交点共线。（参见文5）3.2.4平分角度问题例8、在四边形ABCD中.对角线AC平分/BAD。在CD上取一点E , BE与AC相交于F，延长DF交BC于C，求证/GAC = ZEAC。（参见文6）证明：如图9,过A作AC的垂线与BD交于S , SD交AC于T贝(BD,TS) = 1。连GE交BD于S，GE交AC在完全四点形CEFG中，根据调1图10(BD,TS ) = -1，故(BD,TS) = (BD,TS )，知S和Si重合。AC

21、 丄 AS1 1(GE,RS) = (BD,TS) = 1 ,知 AC 与 AS 是由该例题不难看出，利用完全四点（线）形的调和性解决某些初等几何平分角问题时，主要/EAG的内外角平分线，所以/GAC = /EAC在于完成两个步骤，一是构造四边形，得四直线 调和分割，二是设法建立交错二直线相互垂直关系，由此即可证明平分角结论。3.2.5线段相等问题例9如果三角形中一个角的平分线过对边的中点，那么这个三角形是等腰三角形。如图10，已 知在AABC中，AD平分/BAC，且点D为线段BC的中点，求证：AABC为等腰三角形。证明：有一角的两边与这个角的内外角平分线调和共轭，如图10,可作出/BAC的外

22、角平分线（BCD ）AG，可知AD丄AG。在完全四点形AEOF中有（Be,DG） = j，因为点D为线段BC（BCG）的中点，可知单比（BCD）= -1,所以单比（BCG） = 1，故点G为无穷远点，即直线EF与BC交 于无穷远点，从而AG/EF/BC，所以AD丄BC，而点D为线段BC的中点，所以AABC为等 腰三角形。3.2.6判断两直线垂直例10、平面内任何两直线垂直的充要条件是这两直线与无穷远直线的交点P、Q调和分割虚圆点I （1、i、0）、J证明：充分性：设-12是平面内任意两条直线，它图11（1、 i、 0）。图2们分别交无穷远直线于P、Q两点，则有：血,U ）一1 ；设。为1/2的

23、夹角则凯/rre定理得:“ 2LnD 二 2Ln 心2皿二 2 sl I即li与l2垂直。必要性：假设这两条直线l丄l，l交l于O,则以O为 12 12圆心的任意圆必通过两虚圆点I、J,且OI， oj为此圆的渐近线；由l丄l知ll是圆O的共扼直线。由于二次曲 1 2 1 2线的两条渐近线调和分割任意一对共轭直线是真，所以这两 直线和无穷远直线的交点调和分割I、 J两点。3.3.应用于自极三点形的建立，二次曲线方程的简化先给出有关定义和定理定义：如果两点Y、Z的联线被它和的交点P，P所调和分割，则称两点Y和Z关于二次 1 2曲线r成共轭点。如图11 :若&乙P1P2）=t，则称y与z关于r成共轭

24、点。定理：不在r上的两点Y、Z关于r :工a xx二0成共轭点的充要条件是：工a yZ二0 0 （/ i j （/ i j（参见文7）调和分割应用于二次曲线方程的化简，主要在于建立坐标三点形时，适当取三点形的 三顶点，使它们两两联线交r的两交点被它们自已调和分割，坐标三点形是自极三点形，然后利用 共扼条件，即可简化方程。例11：设二阶曲线r的方程为：工a xx = 0，（/ i ja11a12a13a = a , D =aaa丰0，试化简之。j ji212223aaa313233解：如图12，在平面上任取一点A （但不在r上），以a表示A关于r的极线，在a上但不 1 11 1在r上任取一点A2

25、，以a表示A关于r的极线，则a通过A，设A是a、a的交点，由于A2 22213123的一个共轭点是A，一个共轭点是A，所以A的极线a = A x A，AAA A是r的一个自极三123312123点形。由A和A关于r成共轭，代入共轭条件定理得：a二0 ；同理A和A共轭得a = 0，A和121213132A共轭得a = 0。3 23所以这时的方程变化为：a x2 + a x 2 + a x 2二011 122 233 3可见：取自极三点形作为坐标三点形，利用其每两个顶点之间的调和共扼关系，曲线方程的交 差乘积项便可消去，从而达到简化目的。4结束语以上例题恰当地利用完全四点（线）形的调和性质证明高等

26、初等几何问题，降低了解决问题的 难度，命题的证明思路清晰，过程简洁。注重揭示高等几何与初等几何的内在联系，这样可以扩大 我们的知识领域，拓宽我们的视野，有助于站在新的高度上，深入地理解初等几何，提高我们驾驭 教材的能力。高等几何是较欧氏几何高观点的几何学，欧氏几何是高等几何（射影几何、仿射几何） 的子几何。一些在欧氏几何（包括解析几何）中不易完整论述或圆满解决的问题，在高等几何中 可以清晰完整地论述并圆满解决，这体现了高等几何理论对欧氏几何（包括解析几何）的指导意 义是高屋建瓴的。5渗考文献1 梅向明，刘增贤高等几何M.北京：高等教育出版社,2000.2 苏忍锁，张三敖.高等几何中的调和共轭J

27、.宝鸡文理学院学报，1998.12,18(4).3 梁林,袁丽晴，马嘉芸.高等几何中完全四点(线)形的调和性质应用于初等几何中某些问题的初探J.楚雄师范 学院学报,2002.06,17(3).4 赵临龙，张小文.射影几何中的共点线(共线点)定理的关系J.鞍山师范学院学报,2002.09,4(3):44-46.5 徐姿奕.由完全四点形的调和性得到的一些结论J.无锡教育学院学报,2000.09,20(3).6 秦进，罗德芳.完全四点形的调和性质在初等几何中的应用J.遵义师范学院学报,2008.04,10(2).7 覃朝武“调和分割”在高等几何中的应用总结J.梧州师专学报(综合版)，1995,(2).8 张晓林.完全四点(线)型的调和性在初等几何中的应用J.高师理科学刊,2003,23(3):7-9.9 张艳霞，邢妍.调和共轭及其应用J.宝山师专学报,2008.09,27(5).10 廖小勇高等几何在初等几何中的一些应用J.黔南民族师范学院学报,2006,26(6).11 蔡银英初等几何命题的射影证法与初等证法J.重庆教育学院学报,2003.05,16(3).