走进数学的王国五下

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1、1 虫食算【智力热身】小朋友，你听说过“虫食算”吗？所谓虫食算，就是原先的算式中有一部分被虫子啃掉了，需要我们根据剩下的数字来判定被啃掉的数字。来看一个简单的例子：34*1*5=527。你能推出被虫子啃掉的数字吗？【经典例题】例1：一张发票某些地方被涂上了墨汁，你能算出每个足球多少钱吗？商店发票 单位：光明路小学货 名数 量单 位单 价金 额篮 球20只28.00排 球400.00足 球12只总金额人民币（大写）：壹千叁佰贰拾元整 分析：可以根据“购买足球的总钱数购买排球的总钱数购买篮球的总钱数=一共用去的钱数”来列方程解答。解：设每个足球X元。 12X4002820=132012X=360

2、X=30答：每个足球30元。例2：美术兴趣小组的人数是书法兴趣小组人数的3倍，如果从美术兴趣小组调30人去书法兴趣小组，则两个兴趣小组的人数相等。书法兴趣小组原来有多少人？分析：可以根据“如果从美术兴趣小组调30人去书法兴趣小组，则两个兴趣小组的人数相等”即：美术兴趣小组人数30=书法兴趣小组人数30来列方程。解：设书法兴趣小组原来有X人。3X30=X30 2X=60 X=30答：书法兴趣小组原来有30人。点睛：用方程解题的关键是找准涂中的等量关系。【挑战自我】1、已知篮球、足球、排球平均每个36元，篮球比排球每个多10元，足球比排球每个多8元，每个足球多少元？2、一张发票被撕掉一角，你能算出

3、每枝钢笔多少钱吗？宏伟商店发票购买单位：光明路小学货 名数 量单 位单 价金 额铅 笔6枝1.207.20圆珠笔5枝2.60钢 笔4枝总计金额人民币（大写）：叁拾捌元贰角整3、方程3X4.20.6=5与方程X5A=14的解相同，求A的值。4、甲槽有水34升，乙槽有水18升，现在两槽同时排水，都是每分钟排2升，多少分钟后甲槽剩下的水是乙槽剩下的水的3倍？5、姐姐是妹妹现在的年龄时，妹妹才3岁；妹妹到了姐姐现在的年龄时，姐姐就15岁了。两人现在各几岁？2、字母的妙用【智力热身】小明、小华、小聪三人一起做这样一道题：三个连续自然数前两个数的积比后两个数的积少114，中间的数是多少？不一会儿，小明和小

4、聪都做完了，而小华呢，百思不得其解，小明说用1142就可以了，小华仍不理解。小聪说：“这三个连续自然数用A、B、C来表示，根据题意BCBA=114；B（CA）=114，而C比B大1，B比A大1，所以C比A大2，即CA=2，所以中间数B=1142=57”。小聪的解法你能理解吗？【经典例题】例1：甲、乙、丙三个数的和为180，甲数是乙数的3倍，乙数是丙数的2倍，问甲、乙、丙三数各是多少？分析：设丙数为X，则乙数为2X，甲数为2X3=6X，根据题意可列出方程解答。解：设丙数为X，乙数为2X，甲数为6X，根据甲、乙、丙三数之和为180，可得方程 6X2XX=180 9X=180 X=20答：甲数为12

5、0，乙数为40，丙数为20。例2：女儿今年6岁，母亲今年38岁，几年后母亲的年龄是女儿的3倍？分析：女儿与母亲的年龄差始终不变，可说X年后母亲的年龄是女儿的3倍，这时女儿6X岁，母亲38X岁，根据题意可列方程解答。解：设X年后母亲的年龄是女儿的3倍，根据题意得方程： （6X）3=38X 183X=38X 2X=20 X=10答：10年后母亲的年龄是女儿的3倍。点睛：用方程解题一定要找准题中的等量关系，设好未知数，例如在例1中设丙数为X比设甲数为X好得多。还要对题中的数量关系分析透彻，如例2中X年后母亲的年龄是女儿的3倍，即（6X）3与（38X）是相等的。【挑战自我】1、光明小学买来足球和篮球共

6、30个，足球的个数比篮球的2倍少3个，学校买来足球和篮球各多少个？2、食堂买来青菜、萝卜、西红柿共120千克，其中青菜重量是西红柿的2倍，萝卜的重量是西红柿的3倍，食堂买来青菜、萝卜、西红柿各多少千克？3、甲、乙、丙三数之和是183，乙数比丙数的2倍少4，甲数比丙数的3倍多7，求甲、乙、丙三数各是多少？4、两数相除的商是3，余数是10，被除数、除数、商和余数的和是143，被除数和除数各是多少？5、10年前妈妈的年龄是女儿的7倍，15年后妈妈的年龄是女儿的2倍，现在母女俩各多少岁？3、张老师的分数【智力热身】育才小学今天举行少儿歌曲独唱比赛，有七个评委，六个评委给9号选手的分数分别是评委1234

7、56得分9.659.258.75108.357.7轮到张老师打分了，张老师笑着对大家说：我打的分数不影响9号选手的名次。聪明的同学们，你知道张老师打了多少分吗？【经典例题】例1：三个数的平均数是130，加上一个数后，四个数的平均数是120，这个数是多少？分析：知道三个数的平均数130，我们就可以求出这三个数的和是1303；同样，知道四个数的平均数120，我们就可以求出这四个数的和是1204；这样， 第四个数也就水落石出了。 解：12041303=480390=90答：这个数是90。例2：五（4）班有学生45人，某次数学考试中有两个同学因病未考，平均成绩为89分，后两位同学补考的成绩分别为95分

8、和90分，全班平均成绩为多少？（得数保留一位小数）分析：要求全班平均成绩必须知道全班45名同学的总成绩，全班同学的总成绩为89439590=4012（分），根据全班总分数全班总人数，即可求出全班平均成绩。解：（89439590）45 =401245 89.2（分）答：全班平均成绩为89.2分。现在你知道张老师打的分数了吗？点睛：像以上这样在总和不变的情况下，通过移多补少等方法，使原来不等的数变成相等的数。这类的题目可称之为平均数问题。解答平均数应用题，要掌握它的基本解题规律：平均数=总数量总份数 总数量=平均数总份数 总份数=总数量平均数【挑战自我】1、有五个连续自然数，最大的数为m，那么这五

9、个数的平均数为（ ）。 A. 5 B. 5mm C.m2 D.m22、王英期中考试语文、英语、科学、数学四科的平均分是91分，语文、英语、科学三科的平均分比四科平均分低3分。王英期中数学成绩是多少分？3、有5个数，其平均数为142。按从小到大排列，前3个数的平均数为135，后3个数的平均数为150，则第三个数是多少？4、有A、B、C三个数，它们两两相加，得到了3个新数：200、150、160。求A、B、C这三个数的平均数。5、求出1、2、3、29、30这列数的平均数。4、小马虎错在哪里【智力热身】周老师布置了一道题：敬老院里有老奶奶10人，平均年龄80.5岁，有老爷爷12人，平均年龄73.5岁

10、。求全院老人的平均年龄。小马虎想都没有想，提笔就做：（80.573.5）2=77（岁）。可老师却说错了。小马虎想不出来自己到底错在什么哪里？为什么这样做就错了呢？同学们，你们知道他错在哪里了吗？【经典例题】例1：一辆摩托车以每小时40千米的速度行完了一段路程，返回是的速度是每小时60千米。求这辆摩托车往返的平均速度。分析：题目中告知的是往返的不同平均速度，如果用（4060）2，得到的是两种速度的平均数，并不是往返的平均速度，题中缺少路程，我们可以假设这段路程为120千米，总路程为1202=240（千米），总时间为1204012060=5（小时），根据总路程总时间=往返平均速度，即可得出往返平均

11、速度。解：1202（1204012060）= 2405= 48（千米）答：这辆摩托车往返的平均速度为48千米。例2：小小班里分糖，如果将这些糖只分给女生，每人可分到15块，如果将这些糖分给男生，每人可分得10块。如果平均分给全体学生，每人可分到几块？分析：如果知道糖的块数，那么问题就可以解决了。在不知道具体糖的块数的情况下，我们只知糖的块数是15与10的倍数，即糖的块数是30的倍数，可以假设糖有30块，那么女生有3015=2（人），男生有3010=3（人），每人可以分到的块数只需用总块数总人数即可。解：假设糖有30块30（30153010） = 305 = 6（块）答：每人可分到6块。点睛：求

12、平均数应用题的关键是要找准总份数和与总份数相对应的总数量。如果遇到没有告诉总数量，那么不妨假设一个总数量，再进行解答。同学们，现在你知道小马虎错在哪里了吗？正确答案是：（80.51073.512）（1012）76.68（岁）【挑战自我】1、某次考试，21位女同学的平均成绩是82分，19位男同学的平均成绩是87分，全体同学的平均成绩是多少？2、小明登山，上山时每分钟走50米，18分钟到达山顶，按原路下山，每分钟走75米，小明上下山一次的平均速度是每分钟多少米？3、把一批本子分给甲、乙两个班，平均每人可分得6本，如果只分给甲班，每人可分得10本，如果只分给乙班，每人可分得几本？4、某四个数的平均值

13、是30，若把其中之一改为50，平均数变为40，这个数原来是多少？5、五（1）班52名学生春游合影，拍7寸合影照可以赠送2张照片，收费12元，如果需加印，每张加收0.8元。现在每人各得一张照片，平均每人应付多少元？综合练习一1、已知九个数的平均数是72，去掉一个数之后，余下的数平均为78，去掉的数是多少？2、第一车间工人数是第二车间工人数的3倍，如果从第一车间调20名工人去第二车间，则两个车间人数相等，求原来两个车间各有多少人。3、小红星期天去商店买了一枝钢笔、一本笔记本和一块橡皮，一共花去20元。已知一枝钢笔的价钱是一本笔记本的2倍，一本笔记本的价钱是一块橡皮的3倍。钢笔、笔记本和橡皮的单价各

14、是多少元？4、四个数的平均数是135，加上一个数后，五个数的平均数是129，这个数是多少？5、轮船从甲港行到乙港，每小时航行21千米，30小时到达。返回时，航行了40小时到达甲港。求这艘轮船往返航行的平均速度是多少千米/小时？6、有6个数的平均数是90，如果把其中一个数改为10，这时6个数的平均数是80。这个被改动的数原来是几？7、甲、乙两个数的平均数是30，乙、丙两个数的平均数是34，甲、丙两个数的平均数是35，甲、乙、丙三个数的平均数是多少？8、两数相除的商为3，余数为15，被除数、除数、商和余数的和是193，被除数和除数各是多少？9、五（1）班男生人数是女生人数的2倍，男生平均体重42千

15、克，女生平均体重36千克，五（1）班全体同学的平均体重是多少千克？10、六（1）班42名同学合影留念，拍六寸合影照片可附送2张照片，费用5.2元；如果需要加印，每张加收0.71元。现在每人各得一张照片，平均每人需付多少元？5 墓碑上的象形字【智力热身】我们都知道，埃及有一座金字塔，墓碑上刻有奇奇怪怪的文字。有一天，有一位学者终于发现了一组象形文字，翻译出来的结果令人大吃一惊：2520。这个发现震惊了数学界，原来很早以前的古埃及竟然了解了2520这个数的特性，它能被2、3、4、5、6、7、8、9、10这九个自然数整除呢！你会判断这个数能被210这9个自然数同时整除吗？【经典例题】例1：76既能被

16、2整除，又能被5整除，同时又能被3整除，这个数是多少？分析：由题可知这个数能被2、5同时整除，那么个位上一定是填0。要能被3整除，只要四个数字之和能被3整除即可：760=13；想13能被3整除，可以填2、5、8。解：这个数可能是7260、7560或7860。例2：六位数865能被3、4、5整除，要使865尽可能的小，百位、十位、个位上分别填几？分析：根据能被4、5整除的数的特征，这个六位数865的个位数字只能填写0；同时这个六位数要尽可能的小，那么从高位起就要尽可能的小，也就是说，百位数字最好是0；最后考虑十位数字，既要满足末两位数要被4整除，又要满足整个数能被3整除，即各个数位上的数字之和应

17、是3的倍数，现有的86500=19上最少需增加2，这个六位数才能被3整除。解：这个六位数是865020，百位、十位、个位上分别填0、2、0。点睛：我们已经学习了一个数能被2、3、5整除的数的特征。其实，如果末两位是4或25的倍数，那么这个数就能被4或25整除；如果末三位数是8或125的倍数，那么这个数就能被8或125整除；如果各个数位上的数字之和是9的倍数，那么这个数就能被9整除。【挑战自我】1、有一个四位数92，能同时被5和6整除，这个四位数是多少？2、首位是8，其余各位数字都不相同，并能被3整除的七位数中，最小的一个数是多少？3、已知A是一个自然数，它是15的倍数，并且它的各个数位上的数码

18、只有0或8两种。问：A最小是几？4、一位采购员买了72只同样的零件，洗衣服时不慎将购货发票洗烂了，只能依稀看到共67.9元（里的数字洗烂了），请你帮他算算，每只零件多少钱？5、商店里有六箱货物，分别重15、16、18、19、20、31千克，两个顾客买走了其中五箱。已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍。问：商店剩下的一箱货物重多少千克？ 6 解开数字的密码【智力热身】都说小猴是动物王国的数学博士，小兔一直不服气，总想找小猴比试比试。这天，小兔查阅了很多的课外资料，前来试探猴博士：“猴博士，你知道一个数能被7、11、13整除有什么特征吗？”猴博士微微一笑，不慌不忙地正确回答了小兔提出的问题，

19、令小兔赞叹不已。同学们，你知道吗？【经典例题】例1：已知一个六位数5691能被55整除，求这个六位数是多少？分析：由于这个六位数5691能被55整除，而55=511，所以这个六位数既能被5整除，也能被11整除。能被5整除，个位上只能是0或5，当个位填0时，要能被11整除（一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差能被11整除，这个数就能被11整除），必须使（561）与（90）的差能被11整除，万位上只能填3；当个位上填5时，同样必须使（561）与（95）的差能被11整除，万巍上只能填93。解：这个六位数是536910或是596915。例2：判断5121197653能否被7、11、13整除。分

20、析：一个数能否被7、11、13整除其主要的判断方法是：不断计算末三位数字组成的三位数与前面数字组成的数的差，直到差小于1000时停止，最后看这个差是否能被7、11、13整除。本题先计算5121197653的差，由于差5120544比较大，则继续计算5120544的差，差4576还比较大，再计算5764的差，得到572时，就可以进行判断了。解：5121197653=51205445120544=45765764=572因为572能被11整除，能被13整除，而不能被7整除，所以5121197653能被11整除，能被13整除，不能被7整除。点睛：通过两例的学习，你发现能被7、11、13整除的数的特征

21、了吗？如果一个数的末三位数以前的数字所表示的数的差（大数减小数）能被7、11、13整除，那么这个数就能被11、7、13整除。【挑战自我】1、下列各数哪些能被7整除？哪些能被13整除？ 88205 167128 250894 396500 2、已知一个五位数691能被55整除，这个五位数可能是多少？3六位数17562是13的倍数，中的数字是几？4、把457936十位上的3改成几，这个数就能被7整除？5、由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大数是多少？7 展览厅里的灯【智力热身】学校组织100名学生参观一个大型的展览。这个展览厅里装有100盏电灯，每盏电灯都有一个开

22、关，第一个参观者按第1个开关，第二个参观者按第1、2两个开关，第三个参观者按第1、2、3三个开关这样100个参观者按完开关后，有多少盏灯亮着？同学们，你们会推算出来吗？【经典例题】例1：下式的和是奇数还是偶数？ 123419971998分析：本题当然可以先求出算式的和，再来判断这个和的奇偶性。但如果能不计算，直接分析判断出和的奇偶性，那么解法将更加简洁。根据奇偶数的性质：奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）上偶数。任意多个偶数的和（或差）是偶数。和的奇偶性只与加数中奇数的个数有关，与加数中的偶数无关。11998中共有999个奇数，999个偶数，因为999个奇数之和是奇数，所以本

23、题要求的和是奇数。解：123419971998的和是奇数。例2：两个十位数33333333339999999999的乘积有几个数字是偶数？分析：可以从简单的算起：39=27；3399=3267；333999=332667；33339999=33326667；推出：33333333339999999999=33333333326666666667。也可以用简便方法直接计算：33333333339999999999 =3333333333（100000000001） =333333333300000000003333333333 =33333333326666666667解：所以有10个数字是偶数

24、。点睛：通过两例的解答，你发现什么规律？偶数与奇数有以下的性质：奇数（偶数）奇数（偶数）=偶数奇数（偶数）偶数=偶数 奇数（偶数）偶数（奇数）=奇数奇数奇数=奇数 对于具体的题目要做具体的分析，现在你知道有多少盏灯是亮着的吧。第一盏灯按了100次，第二盏灯按了99次，。按奇数次的灯是亮着的，因此有50盏灯是亮着的。【挑战自我】1、12321342135，和是奇数还是偶数？ 2、两个十位数11111111119999999999的乘积，有几个数字是偶数？3五个连续奇数的和是2005，这几个奇数分别是多少？4、一个数分别与相邻的两个奇数相乘，所得的两个积相差156，这个数是多少？5、一串数：1、3

25、、4、7、11、18、（1）第500个是奇数吗？为什么？（2）任取三个相邻数，它们的和总是什么数？为什么？8 换位成功否【智力热身】活动课上，同学们做换位置的游戏，游戏规则是这样的：将九把椅子排成三行三列，九人坐在9把椅子上，哨声响，每人要坐到与自己相邻的椅子上（不能隔着坐），你说每个同学能找到位置吗？【经典例题】例1：左下图是由14个大小相同的方格组成的图形。试问能不能剪成7个由相邻两个方格组成的长方形？ 分析：将这14个小方格黑白相间染色（见右上图），有8个黑格，6个白格。相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7个小长方形，那么14个格应当是黑白各7个，与实际情况不符，所以不能剪裁成7个

26、由相邻两个方格组成的长方形。解：通过分析，这14个方格不能剪成由相邻的两个小方格组成的小长方形。例2：一串数排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，到这串数的第100个数为止，共有多少个偶数？分析：首先分析这串数的组成规律和奇偶数情况。11=2，23=5，35=8，58=13，这串数的规律是：从第三项起，每一个数等于前两个数的和。根据奇偶数的加法性质，可以得出这串数的奇偶性：奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，容易看出，这串数是按：“奇，奇，偶，”每三个数为一组周期变化的。1003=331，这串数的前100个数有33组又一个数，每组的三个数中有一个偶数，并且是第三个数，所以这

27、串数到第100个数时，共有33个偶数。解：共有33个偶数。点睛：例1通常利用涂色的方法，按奇、偶性来分析解答。例2先找出数列的排列规律，然后再求出问题。现在，你知道前面的游戏能成功吗？不能使每个同学都能找到位置。【挑战自我】1、教室里有5排椅子，每排有5张，每张椅子上坐一个同学。一周后，每个学生都必须和他相邻的（前、后、左、右）的某一同学交换座位。问：能不能换成？为什么？ 2、数列1，3，4，7，11，18，中第160个数是奇数还是偶数？这160个数中一共有多少个偶数？3、房间里有5盏灯，全部关着。每次拉两盏灯的开关，这样做若干次后，有没有可能使5盏灯全都亮着？4、100个自然数，它们的和是1

28、0000。在这些数里，奇数的个数比偶数的个数多。问：这些数里最多有多少个偶数？5、房间里有9盏灯，其中5盏是灭的，4盏是亮的，若规定每次必须拉两下灯绳，问能否使这9盏灯都亮着？综合练习二1、10011002100320062007的和是奇数还是偶数？2、五位数35A2A能被3整除，它的最末三个数字组成的三位数A2A能被2整除，求这个五位数。3、有一个四位数94，能同时被5和6整除，这个数最大是多少？4、在内填上合适的数，使六位数2002既能被8整除又能被9整除，这个六位数是多少？5、在43的右面补上三个数字，组成一个五位数，但它能分别被3、4、5整除，并且使这个数尽可能小，这个五位数是多少？6

29、、九位数A0AA6A0AA能被9整除，求A。7、333333999999最后的积中有多少个数字是奇数？多少个数字是 2008个 2008个偶数？8、200个自然数，它们的和是20000，在这些数里，奇数的个数比偶数的个数多。这些数里至多有多少个偶数？9、16位小朋友坐在各自的位置上（四行四列）开始做换位置的游戏，能不能使每个学生都和他相邻（前后左右）的某小朋友换座？为什么？10、某村有一块地（如图）分给农民承包，每小格表示1亩，每户都计划分2亩，而且每户的地都是连着的（即两个方格有公共边），村长怎么也分不好，这是怎么回事？9 数学皇冠上的明珠【智力热身】早在二百多年前，德国数学家哥德巴赫发现了

30、这样一个事实：每一个大于4的偶数，都是两个奇素数的和。几百年来很多人通过举例检验这个推理是充分可信的，但却无人能证明这个“哥德巴赫猜想”，直到20世纪60年代，我国著名的数学家陈景润经过长期的研究，终于向世人证明：每一个大偶数都能够表示为一个素数与一个不超过两个素数的乘积的和，这就是为国际数学界称为“12”定理。同学们，你理解“12”定理吗？【经典例题】例1：判断193、299两个数是素数还是合数。分析：对于一个不太大的数A，要判断它是否是素数，可以先找出一个大于A且最接近于A的平方数B2，然后观察小于B的所有素数中，是否有某个素数能整除A，有则A是合数，若一个也没有，则A是素数。解：因为19

31、3142，14以内的素数有2、3、5、7、11、13，经逐一判断或试除，可知这6个都不能整除193，所以193是素数。 因为299182，18以内的素数有2、3、5、7、11、13、17，经逐一判断或试除，可知29913=23，所以299是合数。例2：连续九个自然数中至多有几个素数？为什么？分析：如果这九个连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多的有4个素数（如19中有4个素数：2、3、5、7），如果这连续的九个自然数都大于10，那么其中的偶数显然都为合数。而其中的奇数的个数最多有5个，这5个奇数中必有一个个位数字是5，这个数肯定是5的倍数（超过1倍）也就是合数，这样，至多有4个素数。

32、解：连续九个自然数中至多有4个素数。理由如上所述。点睛：从上面的分析中，你知道怎样去判断一个数是否是素数？ 关键是要找出一个略大一点的平方数（如B2），然后用小于B的素数一一试除。 【挑战自我】1、判断下列各数是素数还是合数。 173、269、437、359、461 2、已知A是素数，且（A10）和（A14）也是素数，则A是多少。3两个素数的和是40，这两个素数的乘积最大可能是多少？4、用1、3、4三个数码，可以组成哪些三位数的素数？5、某素数加6或减6得到的数仍是素数，在50以内你能找出几个这样的素数？并把它们写出来。10 小英的名次【智力热身】小英参加学校举行的数学竞赛，她说：“我得的成绩

33、和我的岁数以及我得的名次乘起来是3916，满分是100分。”你知道小英的年龄、考试成绩及名次？【经典例题】例1：实验学校举行团体操表演，有1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100至200之间，共有几种分法？分析：按题意，每队人数队数=1430，每队人数在100至200之间，所以问题相当于求1430有多少个在100至200之间的约数。为此，先把1430分解质因数，得 1430=251113从这四个素数中选若干个，使其乘积在100到200之间，这是每队人数，其余的质因数之积便是队数。解：2511=110， 13；2513=130， 11；1113=143， 25=10。所以共

34、有三种分法，即分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每队143人。例2：把一个三位数个位上的数字与百位上的数字对调，得到另一个三位数，这两个三位数之积为20502，求这两个三位数之和。分析：要求出两个三位数之和，就要求出这两个三位数各是多少，已知两个三位数的积是20502，所以可将20502分解质因数，然后根据题意把全部质因数分成两组，分别求出乘积，使得一个三位数刚好是另一个三位数的倒转数：20502=231767=（367）（2317）=201102201102=303解：所以这两个三位数的和为303。点睛：通过上述两题的分析解答，你得到哪些启示？凡涉及积与因数关系

35、的问题，往往可以运用质因数分解和再按要求合成数的方法找到答案。现在，你知道小英的年龄、考试成绩和名次了吗？根据3916=221189，可以判断出：小英11岁；考到89分，第4名。【挑战自我】1、爷孙两人今年的年龄的乘积是693，4年前他们的年龄都是素数。爷孙两人今年的年龄各是多少岁？ 2、某车间有216个零件，如果平均分成若干份，分的份数在5至20之间，那么有多少种分法？3有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大一岁，他们的年龄相乘的积是5040，他们的年龄各是多少岁？4、将14、33、35、30、75、39、143、169八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等，可以怎样分？5、今年祖孙两人

36、的年龄数是合数，明年他们的岁数相乘是1610，祖孙两人今年的年龄各是多少岁？11 截铁丝【智力热身】劳动课上，每个小组发到三根铁丝，长度分别是180厘米、300厘米、120厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每段最长是多少厘米？通过讨论，测量，第一小组最先完成，你知道他们为什么这样快吗？【经典例题】例1：把一块长60厘米，宽48厘米的长方形铁片截成边长是整数厘米，面积都相等的正方形铁片，恰无剩余，至少要截成多少块？分析：把长方形铁片截成边长是整数厘米，面积都相等的正方形铁片，则正方形的边长是长方形长和宽的公约数，又要求至少截多少块，则正方形的边长应是长方形长和宽的最大公约数。

37、解： 60与48的最大公约数是12 （6048）（1212）=20（块）答：至少要截成20块。例2：两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？分析：因为25228=9，说明252还有因数9，这个9应该是另一个数的因数，同时两个数的最大公约数是4，也就是另一个数有因数4，因此另一个数是49=36。从中我们发现两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积就等于这两个数的乘积。解：252428=36答：另一个数是36。点睛：解这类题一定要认真分析，例1是求最大公约数的问题，例2要掌握两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积就等于这两个数的积。 现在你知道第一小组为什么这么快了

38、吗？180、120、300的最大公约数是60，因此，每段最长是60厘米。180603006012060=10（根）。 【挑战自我】1、有三根钢管，分别长200厘米、240厘米、360厘米。现在要把这三根钢管截成尽可能长而且相等的小段，一共能截成多少段？ 2、将长45分米，宽20分米的长方形铁皮截成尽可能大的正方形，不能有剩余，每个正方形的面积是多少？一共可以截成多少块？3一块长方形地面，长120米，宽48米，要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少？4、甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公约数是4，乙数是多少？5、现有四个不同的自

39、然数，它们的和是1111。这四个自然数的公约数最大是多少？12 生产调度员【智力热身】一天，机械厂车间黄主任交给技术员小李一项任务：厂里新接到加工一批零件的任务，加工这种零件需要经过三道工序，第一道工序每个工人每小时可以完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可以完成12个零件，第三道工序每个工人每小时可以完成5个零件，要使流水线能正常生产，不做无用功，各道工序安排几个工人最合理。你能帮助小李吗？【经典例题】例1：火车站有四条公共汽车路线通往不同的地方，第一条路线每隔3分发一次车；第二条路线每隔5分发一次车；第三条路线每隔6分发一次车；第四条路线每隔9分发一次车。四条路线的公共汽车在同一时间发车

40、以后，至少再过多少分又在同一时间发车？分析：火车站发出的四条路线的公共汽车，从第一次同时发车后又同时发车的间隔时间必须是3、5、6、9的公倍数，因为问题是至少再过多少分钟又在同一时间发出四条路线的公共汽车，所以最少的间隔时间必须是3、5、6、9的最小公倍数。解：3、5、6、9的最小公倍数是90。答：四条路线的公共汽车同时发车后至少再过90分钟再同时发车。例2：上面的“智力热身”题。分析：要使流水线能正常生产，不做无用功，那么，每道工序生产的零件个数应该相同。求每道工序生产的零件总数，实际上就是求3、12和5的最小公倍数是多少，然后再求出每道工序各需要安排多少个工人。解：3、12和5的最小公倍数

41、是60。第一道工序所需人数：603=20（人）第二道工序所需人数：6012=5（人）第三道工序所需人数：605=12（人）答：第一道工序安排20人、第二道工序安排5人、第三道工序安排12人最合理。点睛：通过以上两个例题的分析解答，你发现其中的规律了吗？利用求最小公倍数的知识可以直接解决一些实际问题，但不要看到题中出现“至少”、“最小”就认为是求最小公倍数，一定要根据具体情况来分析。【挑战自我】1、某公共汽车站有三条公共汽车线路。第一条线路每隔5分钟发车一次，第二条每隔6分钟发车一次，第三条线路每隔8分钟发车一次。9点时三条线路同时发车，下一次同时发车是什么时间？ 2、一条汽车生产线有三道工序。

42、一个人做：第一道工序每小时做12个，第二道工序每小时可以做15个，第三道工序每小时可以做10个。问这三道工序至少要配置几人才能不窝工？3、港口上停着A、B、C、D四只轮船，同一天离开港口，A船每隔4星期回港一次，B船每隔6星期回港一次，C船每隔8星期回港一次，D船每隔12星期回港一次，这四只轮船第一次重新会合在港口应过几个星期？4、某筐苹果，三人平分剩一个，四人分着吃也剩一个，五人分着吃也剩一个，而苹果数在180至200间，求该筐苹果的个数。5、爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？综合练习三1、

43、P是质数，P43也是质数，求P53的值。2、两个数的最大公约数是3，最小公倍数是60，其中一个数为12，另一个数是多少？3、用1、3、5、7四个数字可以组成哪些两位数的质数？（数字可以重复使用）4、五年级有学生84人，分成人数相等的小组（每组至少2人），一共有多少种分法？5、某数是5个2、3个3、2个5、1个7的连乘积，这个数有许多约数是两位数，在这些两位数中最大的是多少？6、在100到200之间，找出两个整数，使它们的积同35与561的积相等。7、有连环画216本，如果平均分成若干份，每份不得少于10本，也不得多于70本，那么有几种分法？8、小于1000能被7整除，或能被11整除的数共有多少

44、个？9、把一块长252厘米、宽120厘米的长方形铁皮截成边长是整厘米数、面积都相等的正方形铁皮，恰无剩余，至少要截多少块？10、大雪后的一天，大亮和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同。大亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人的脚印有重合，所以，雪地上只留下60个脚印，求这个花圃的周长。13 请你当裁判【智力热身】今天，小白兔和乌龟进行100米赛跑，这次小白兔吸取了上次失败的教训，决定慢慢地往前走，且每走到除以4余1的地方休息玩耍4分钟后继续走，乌龟仍不休息，不停地往前爬，乌龟每分钟爬0.5米，小白兔每分走2米，这次谁先到终点？【经典例题】例1：从4到100的自

45、然数中，除以4余数是1的数一共有多少个？其中最小的是几？最大的是几？分析：先逐一计算：44余0，54余1，64余2，74余3，84余0，94余1，104余2，114余3从这里可以看出除以4余1的数是每四个数中出现一次，所以从4100这97个的数中除以4余1的数有974=24（个）1，其中最小的是411=5，最大的是4241=97。解：（10041）4=241，411=5，4241=97答：从4到100的自然数中，除以4余1的数一共有24个，其中最小的是5，最大的是97。例2：一个两位数除321，余数是48，求这个两位数。分析：根据“被除数=商除数余数”这一关系，用321减去48可以求出去掉余数

46、后的被除数273，这样所求的这个两位数必能整除273，也就是说，所求的这个两位数是273的一个因数，由此可以用分解质因数的方法求出。解：32148=273，273=3713273的因数中是两位数的有13、21、39、91，因为除数应大于余数，而在以上四个两位数中，只有91大于48，所以91是所求的两位数。点睛：通过上述两题的分析，你能解答这样的题吗？解余数问题，离不开基本关系式“被除数=商除数余数”及“余数小于除数”的规定，解题时只要认真分析推敲，就能找出思路。小白兔和乌龟赛跑，谁先到终点呢？乌龟不停地爬，共需1000.5=200（分），小白兔在5米、9米、13米、97米处休息玩耍4分钟，共休

47、息了24次用去96分，行走用去1002=50分，小白兔共用去9650=146分，所以小白兔先到终点。 【挑战自我】1、有一个有余数的除数算式（ ）32=6（ ），适合条件的被除数有多少个？ 2、5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。3、求150的自然数中，被3除余1的所有数的和。4、甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。5、一个数去除229、152和86，余数相同，求这个数。14 五树梅花廿一枝【智力热身】我国古代著名的数学书孔子算经中，有这样一道有名的题目：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何。用现代的话来说就是：现在

48、有许多物品不知多少，三个三个地数余二个，五个五个地数余三个，七个七个地数余二个，问物品有多少。你能解答吗？【经典例题】例1：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合这条件的最小数。分析：我们可以先找出满足“除以3余2”的数：5、8、11、14、17、20、23、26、29、32、35、。再在上面的数中找满足“除以5余3”的数：8、23、38、53、。发现同时满足“除以3余2”和“除以5余3”的数依次相差3和5的最小公倍数15。最后，再找满足“除以7余2”的数，可以找到23，且加上或者减去3、5、7的最小公倍数105后，仍然满足这三个条件。现在，23比105小，不能再减了，所以，23就是

49、满足这三个条件的最小数。解：除以3余2的数有：5、8、11、14、17、20、23、26、29、32其中满足除以5余3的数有：8、23、38、53、68、83其中再满足除以7余2的数有：23、12823是适合条件的最小数。例2：一户有祖父、父亲、孙女三人组成的人家，他们三人的年龄正好都是除以2余1，除以3余2，除以5余3，求他们三人各多少岁？分析：与例1一样，我们先找出满足除以2余1的数：1、3、5、7、9、11；再从中找出满足除以3余2的数：5、11、17、23、29、35；然后，再从中找出满足除以5余3的数：23、53、83、。最后，根据实际情况，推出祖父83岁，父亲53岁，孙女23岁。解

50、：祖父83岁，父亲53岁，孙女23岁。点睛：在例1例2中，各有三个约束条件，我们先解除两个约束条件，求只满足一个约束条件的数，然后再逐步加上第二个、第三个约束条件，最终求出了了满足全部三个约束条件的数。这种先放宽条件，再逐步增加条件的解题方法，叫做逐步约束法。我们除了可以逐步列举外，还有多种解法。古代数学家把它的一种解法写成口诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。有兴趣的同学不妨去探究探究。【挑战自我】1、一个数除以5余1，除以6余3，除以7余6，这个数最小是几？ 2、学校将五年级学生分组开展课外活动，每组5人多2人，每组6人多1人，每组7人少2人。参加课外活动的

51、学生至少有多少人？3、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小数。4、有一个数，除以3余2，除以4余1。问：这个数除以12余多少？5、求出除以7余5，除以5余2，除以3余1的所有三位数的和。15 书签的位置【智力热身】李明与王强都在学校图书馆里借了一本格林童话，有一天，李明问王强昨天看了几页，王强说：“昨天我只看了两页书，这两页的中间夹了一个书签，这两页的页码和为213。”聪明的小朋友，请你帮李明算算王强昨天看的是哪两页的书？【经典例题】例1：15个网球分成数量不同的4堆，数量最多的一堆至少有多少个球？分析与解：此题实际是求出15可以分拆多少种4个互不相同的数之和，因为：15

52、=1239=1248=1257=1347=1356=2346，所以最多一堆的球数可能是9、8、7、6，其中至少有6个。例2：将25拆成若干个自然数的和，这若干个自然数的积最大是多少？分析与解：不妨从小的数开始算起，5=23=122=14，显然2312214，这里23的积最大。6=33=15=24=222中，33的积最大。7=43=223=16=25，223的积最大，14=33332=77=6833332=162最大，由此可知，将一个自然数分拆成若干个自然数的和，只有当这些自然数全是2或3，且2至多两个时，这些自然数的积最大。那么25=333333322，这些自然数的积为3722=8748最大。

53、点睛：例1很容易错误地认为答案为9，究其原因，主要是审题不严，看到最高就以为答案是9，而没有考虑到至少。解这些题时，一定要认真审题、仔细思考，从易到难，逐步摸索，以达到最终目的。现在你知道王强昨天看的是哪两页了吧，相邻两页的页码和为213，只有106和107且偶数在前，奇数在后。所以，王强昨天看的是106页和107页。【挑战自我】1、将18分拆成若干个自然数的和，这若干个自然数相乘的积最大是多少？ 2、10000分拆成100个自然数，要求奇数比偶数多，那么奇数最少有多少个？3、七个不同自然数（0除外）的和是2008，其中从小到大排列的第五个数尽可能大，第五个数最大是多少？4、将23分拆成几个自

54、然数之和，要使这几个自然数的乘积最大，应如何分拆？这个最大的积是多少？5、各位数字之和等于52的六位数有多少个？16 鸡舍的面积【智力热身】王大伯的家庭较贫困，为了摆脱穷帽子，村领导决定扶助他养鸡。王大伯买来了16米长的篱笆，想利用一段墙壁围成一个养鸡场（如图），请你帮他设计一下，怎样围养鸡场的面积最大？【经典例题】例1：在一片草原上要开垦一块长方形园地种植珍贵花草，围墙造价每米80元，现有资金28800元用于建造围墙，那么这块园地的面积最大可以围多少平方米？分析：通过许许多多事实可以说明在长方形周长一定的条件下长与宽差得越少，相应的面积越大，那么长与宽相等，即正方形时的面积就最大，当然围墙的

55、总长又受资金的限制。解：围墙总长2880080=360（米）取长、宽相等的长方形，每边长3604=90（米）最大面积为9090=8100（平方米）答：这块园地的面积最大为8100平方米。例2：甲乙两个自然数（0除外），如果甲的10倍与乙的3倍相等，那么甲、乙两数之和的最小值是多少？分析与解：根据题意得：甲10=乙3为了使两数之和尽可能小，自然必须使甲数与乙数自身尽可能小，当然，甲、乙数都是自然数，甲数就应该是3的倍数，乙数应该是10的倍数，因此，甲最小为3，乙最小为10，这时它们的和为最小，所以甲、乙两数的最小值为310=13。点睛：通过上面两题的分析解答，你发现了什么规律吗？ 解题时要看清题

56、意，两数和一定，当两数相等时，乘积最大。现在，你知道该怎样设计养鸡场了吧！根据题意可知：长2个宽=16，故当长=2个宽时，面积最大，因此，长为8米，宽为4米。【挑战自我】1、用长64厘米的铁丝做一个四边形，围成怎样的图形面积最大？这个面积是多少？ 2、和为10的两个自然数，当两个自然数取何值时，其乘积最大？3、A、B两个自然数，AB=36，那么A和B各等于多少时，它们的和最小？4、用1到8这8个数字分别组成两个四位数，使这两个四位数的乘积最大，这两个四位数分别是多少？5、从1、2、3、4、5、6、7、99、100这100个数中，至多可以选出多少个数，使它们当中的每一个数都不是另一个数的倍数？综合练习四1、1122除以一个两位数，余数是77，求这个两位数。2、求满足除以6余3，除以8余5，除以9余6的最小自然数。3、有一个有余数的除法算式（ ）15=6（ ）适合条件的被除数有多少个？它们的和是多少？4、各位数字之和等于35的四位数有几个？5、六个不同的自然数（0除外）的和是309，其中从小到大排列的第4个数尽可能大，第4个数最大是多