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1、1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性思考思考1:这两个函数的图象有何共同特征？这两个函数的图象有何共同特征？xyoxyo观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象：(1)(2)(1)(2)关于关于Y Y轴对称轴对称 思考思考2:2:对于上述两个函数，对于上述两个函数，f(1)f(1)与与f(-1)f(-1)，f(2)f(2)与与f(-2)f(-2)，f(a)f(a)与与f(-a)f(-a)有什么关系？有什么关系？f(-1)=f(1)f(-1)=f(1)，f(-2)=f(2)f(-2)=f(2)，f(-a)=f(a)f(-a)=f(a)1.1.偶函数偶函数 如果对于函数f(x)定义域内的任意
2、任意一个x，都都有有f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)成立，则称函数f(x)为偶函数.思考思考3:3:函数函数 是偶函数吗？是偶函数吗？偶函数的定义域有什么特征？偶函数的定义域有什么特征？不是不是偶函数的定义域关于原点对称偶函数的定义域关于原点对称偶函数的定义：偶函数的偶函数的图象关于图象关于y轴轴对称，对称，是是不是不是不是不是练练1 1：判断下列函数是否为偶函数？（口答）：判断下列函数是否为偶函数？（口答）观察函数观察函数f(x)=x和和f(x)=1/x的图象的图象(下图下图)，你能发现，你能发现两个函数图象两个函数图象有什么共同特征有什么共同特征吗？吗？f(-3)=-3=-f(3)
3、f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)f(-3)=-1/3=-f(3)f(-2)=-1/2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)2奇函数奇函数 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的的定义域内的任意任意一个一个x，都有都有f(x)=f(x)，那么，那么f(x)就叫做就叫做奇函数奇函数 奇函数奇函数图象关于图象关于原点原点对称对称（奇函数的定义域关于原点对称）（奇函数的定义域关于原点对称）3 3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若若f(x)f(x)为奇函数，则为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立有成立.若若f(x)f(x)
4、为偶函数，则为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立有成立.2 2、由函数的奇偶性定义可知，、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性函数具有奇偶性的一个的一个必要条件必要条件是，是，对于定义域内的任意一个对于定义域内的任意一个x，则，则x也一定是定义域内的一个自变量也一定是定义域内的一个自变量（即（即必须定义域关于原点对称必须定义域关于原点对称）1 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的数的整体性质整体性质；注意：注意：是是不是不是不是不是练练2 2：判断下列函数是否为奇函数？（口答）：判断下列函数是否为奇函数？
5、（口答）P35例5、判断下列函数的奇偶性：(1)解：定义域为R f(-x)=(-x)4=f(x)即f(-x)=f(x)f(x)偶函数(2)解：定义域为R f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x)即f(-x)=-f(x)f(x)奇函数(3)解：定义域为x|x0 即f(-x)=-f(x)f(x)奇函数(4)解：定义域为x|x0 即f(-x)=f(x)f(x)偶函数 (5).f(x)=x2 x-1,3解:（5）定义域不关于原点 对 称 f(x)为非奇非偶函数 ox -13y解析：解析：当当x0时，时，x0f(x)x2f(x)当当x0f(x)(x)2x2f(x)当当x0时，时，f(x)0f(x)总有
6、f(x)f(x)f(x)是偶函数是偶函数例2练习3.利用定义判断下列函数的奇偶性(2).f(x)=-x2+1(4).f(x)=x2+x既奇又偶函数偶函数奇函数非奇非偶函数(3).f(x)=0非奇非偶函数 奇函数奇函数 偶函数偶函数 既奇又偶函数既奇又偶函数 非奇非偶函数非奇非偶函数 根据奇偶性根据奇偶性,函数可划分为四类函数可划分为四类:既是奇函数又是偶函数的函数是函既是奇函数又是偶函数的函数是函数值为数值为0的常值函数的常值函数.（前提是定义域关于原点对称前提是定义域关于原点对称.）（小结）用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；、先求定义域，看是否关于原点对称；
7、(2)、再判断、再判断f(-x)=-f(x)或或f(-x)=f(x)是否恒成立是否恒成立.注意：注意：（3 3）、）、下下结论结论:是是奇奇函数还是函数还是偶偶函数函数若可以作出函数图象的，根据奇偶函数图像的特若可以作出函数图象的，根据奇偶函数图像的特征去判断函数的奇偶性。征去判断函数的奇偶性。.判断函数的奇偶性。判断函数的奇偶性。.简化函数图象的画法。简化函数图象的画法。.求函数的解析式求函数的解析式 .判断函数的单调性判断函数的单调性（第（第2课时）课时）奇偶函数图象的性质可用于：奇偶函数图象的性质可用于：例例1、已知函数、已知函数y=f(x)是是偶偶函数，它在函数，它在y轴右边的图象如下
8、图，画出轴右边的图象如下图，画出在在y轴左边的图象轴左边的图象.xy0解：画法略相等相等xy0相等相等例例2、已知函数、已知函数y=f(x)是是奇奇函数，它在函数，它在y轴右边的图轴右边的图象如下图，画出在象如下图，画出在y轴左边的图象轴左边的图象.练习4：P36第2题具有奇偶性的函数的单调性的特点：具有奇偶性的函数的单调性的特点：(1)奇函数在奇函数在a，b和和b，a上上具有相同的单调性具有相同的单调性(2)偶函数在偶函数在a，b和和b，a上上具有相反的单调性具有相反的单调性P45B组第6题；结论：xyO 321如图，给出了偶函数如图，给出了偶函数yf(x)的局部的局部图象，试比较图象，试比较f(1)与与 f(3)的大小的大小.练练 习习5小结1、两个定义：对于、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个定义域内的任意一个x,如果都有如果都有f(x)=f(x)f(x)为奇函数为奇函数 如果都有如果都有f(x)=f(x)f(x)为偶函数为偶函数2、两个性质：两个性质：一个一个函数为奇函数函数为奇函数 它的图象关于它的图象关于原点原点对称对称 一个一个函数为偶函数函数为偶函数 它的图象关于它的图象关于y轴轴对称对称作业：练习5：P36第1题练习5：P36第1题偶函数偶函数奇函数奇函数
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