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1、襄阳四中义教部13.4 课题学习 最短路径问题（第1课时）执笔：郭彩庆 指导：黄晓波学习目标： 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想学习重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题教学过程一、引入新知：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”二、探索新知 问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一
2、位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：BAl从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马 问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？BA将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地
3、到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）lBA问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？lCBlA 追问1对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB的长度相等？ 追问2你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B吗？ 作法：（1）作点B 关于直线l 的对称 点B；（2）连接AB，与直线l 相交 于
4、点C 则点C 即为所求问题3你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BCBC 由轴对称的性质知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC即AC +BC 最短追问1证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），证明AC +BC AC+BC？这里的“C”的作用是什么？若直线l 上任意一点（与点C 不重合）与A，B 两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？ 三、新知运用练习如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径BlABC四、归纳小节 （1）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称在所研究问题中起什么作用？五、作业布置课本复习题13第15题
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