函数图像的切线问题

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1、高二数学 学案 编号 函数图像的切线问题要点梳理归纳1.求曲线yf(x)的切线方程的三种类型及其方法(1)已知切点P(x0，f(x0)，求yf(x)在点P处的切线方程：切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0).(2)已知切线的斜率为k，求yf(x)的切线方程：设切点为P(x0，y0)，通过方程kf(x0)解得x0，再由点斜式写出方程.(3)已知切线上一点(非切点)A(s,t)，求yf(x)的切线方程：设切点为P(x0，y0)，利用导数将切线方程表示为yf(x0)f(x0)(xx0)，再将A(s,t)代入求出x0.2两个函数图像的公切线函数y=f(x)与函数y=g(x) 存在公切线，若切点为

2、同一点P(x0，y0)，则有 若切点分别为(x1,f(x1),(x2,g(x2),则有. 题型分类解析题型一 已知切线经过的点求切线方程例1.求过点与已知曲线相切的切线方程.解：点不在曲线上.设切点的坐标，则，函数的导数为，切线的斜率为，点在切线上，又，二者联立可得相应的斜率为或切线方程为或.例2. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线方程为_解析：由切线过可得：，所以，另一方面，且，所以，从而切线方程为：例3. 已知直线与曲线切于点，则的值为_解析：代入可得：，所以有，解得题型二 已知切线方程（或斜率），求切点坐标（或方程、参数）例4.已知函数，则：（1）在曲线上是否存在一点，

3、在该点处的切线与直线平行（2）在曲线上是否存在一点，在该点处的切线与直线垂直解：设切点坐标为 由切线与平行可得： 切线方程为：（2）设切点坐标 ，直线的斜率为 而不在定义域中，舍去不存在一点，使得该点处的切线与直线垂直例5.函数上一点处的切线方程为，求的值思路：本题中求的值，考虑寻找两个等量条件进行求解，在直线上，即，得到的一个等量关系，在从切线斜率中得到的导数值，进而得到的另一个等量关系，从而求出解：在上，又因为处的切线斜率为 , 例6.设函数，若曲线的斜率最小的切线与直线平行，求的值思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为，进而可得导函数的最小值为，便可求出的值解： 直线的

4、斜率为，依题意可得： 题型三 公切线问题例7.若存在过点(1,0)的直线与曲线和都相切,则等于() A.或 B. 或 C. 或 D. 或思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线含有参数，所以考虑先从常系数的曲线入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线求出的值.设过的直线与曲线切于点 ,切线方程为，即，因为在切线上，所以解得：或，即切点坐标为或.当切点时，由与相切可得，同理，切点为解得答案：A小炼有话说：（1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系（2）在利用切线与求的过程中，由于曲线为抛物线，所以

5、并没有利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的来求解，减少了运算量.通过例7，例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面，求有关导数的问题时可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时，若曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线）例8.若曲线与曲线存在公切线，则的最值情况为（ ）A最大值为 B最大值为 C最小值为 D最小值为解析：设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，由可得：，所以有，所以，即，设，则.可知在单调递增，在单调递减，所以 题型四 切线方程的应用例9.已知直线与曲线有公共点，则的最大值为 .解：根据题意画出右图，由图可知，当直线

6、和曲线相切时，取得最大值.设切点坐标为，则， ，切线方程为，原点在切线上， 斜率的最大值为.例10.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A. B. C. D. 思路： 由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切线方程 所以切线方程为：即，与两坐标轴的交点坐标为 例11.一点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是( ) A. B. C. D. 思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来.，对于曲线上任意一点，斜率的范围即为导函数的值域：，所以倾斜角的范围是.答案：B例12.已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围思路：由于并不知

7、道3条切线中是否存在以为切点的切线，所以考虑先设切点，切线斜率为，则满足 ，所以切线方程为，即，代入化简可得：，所以若存在3条切线，则等价于方程有三个解，即与有三个不同交点，数形结合即可解决解：设切点坐标，切线斜率为，则有： 切线方程为：因为切线过，所以将代入直线方程可得： 所以问题等价于方程，令即直线与有三个不同交点令解得 所以在单调递减，在单调递增 所以若有三个交点，则 所以当时，过点存在3条直线与曲线相切例13. 已知曲线C:x2=y，P为曲线C上横坐标为的点，过P作斜率为k(k0)的直线交C于另一点Q，交x轴于M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN

8、与曲线C相切？若存在，求出K的值，若不存在，说明理由.思路：本题描述的过程较多，可以一步步的拆解分析.点，则可求出，从而与抛物线方程联立可解得，以及点坐标，从而可写出的方程，再与抛物线联立得到点坐标.如果从坐标入手得到方程，再根据相切求，方法可以但计算量较大.此时可以着眼于为切点，考虑抛物线本身也可视为函数，从而可以为入手点先求出切线，再利用切线过代入点坐标求，计算量会相对小些.解：由在抛物线上，且的横坐标为1可解得 设化简可得： 消去： 设直线即 联立方程： 由可得： 切线的斜率 代入得：, 小炼有话说：（1）如果曲线的方程可以视为一个函数（比如开口向上或向下的抛物线，椭圆双曲线的一部分），

9、则处理切线问题时可以考虑使用导数的方法，在计算量上有时要比联立方程计算简便（2）本题在求点坐标时，并没有对方程进行因式分解，而是利用韦达定理，已知的横坐标求出的横坐标.这种利用韦达定理求点坐标的方法在解析几何中常解决已知一交点求另一交点的问题.例14.设函数f(x)x32ax2bxa，g(x)x23x2，其中xR，a、b为常数，已知曲线yf(x)与yg(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；(2)若方程f(x)g(x)mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1x2，且对任意的xx1，x2，f(x)g(x)0，即m.又对任意的xx1，x2，f(x)g(

10、x)m(x1)恒成立特别地，取xx1时，f(x1)g(x1)mx1m成立，得m0，x1x22m0，故0x10，则f(x)g(x)mxx(xx1)(xx2)0，又f(x1)g(x1)mx10，所以函数f(x)g(x)mx在xx1，x2的最大值为0.于是当m0时，对任意的xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立综上，m的取值范围是.例15.如图31，有一正方形钢板ABCD缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC是以直线AD为对称轴，以线段AD的中点O为顶点的抛物线的一部分工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF，可使剩余的直角梯形的面积

11、最大？并求其最大值解法一：以O为原点，直线AD为y轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意，可设抛物线弧OC的方程为yax2(0x2)，点C的坐标为(2,1)，22a1，a，故边缘线OC的方程为yx2(0x2)，要使梯形ABEF的面积最大，则EF所在的直线必与抛物线弧OC相切，设切点坐标为P(0t2)，yx，直线EF的方程可表示为yt2(xt)，即ytxt2.由此可求得E，F.|AF|1t2，|BE|t2t1.设梯形ABEF的面积为S(t)，则S(t)(t1)2，当t1时，S(t)，故S(t)的最大值为2.5，此时|AF|0.75，|BE|1.75.答：当AF0.75 m，BE1.75 m时，可使

12、剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5 m2.解法二：以A为原点，直线AD为y轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线的方程为yax21(0x2)点C的坐标为(2,2)，22a12，a，故边缘线OC的方程为yx21(0x2)要使梯形ABEF的面积最大，则EF所在的直线必与抛物线弧OC相切，设切点坐标为P(0t2)，yx，直线EF的方程可表示为yt21t(xt)，即ytxt21，由此可求得E，F.|AF|1t2，|BE|t2t1，设梯形ABEF的面积为S(t)，则S(t)|AB|(|AF|BE|)1t2t2t2(t1)2.当t1时，S(t)，故S(t)的最大值为2.5.此时|AF|0.75，|BE|1.75.答：当AF0.75 m，BE1.75 m时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5 m2.【点评】 与切线有关的多边形的最值问题，首先应该面积建立关于动点P的函数，再选择相关的方法求解所得函数的最值，复杂函数可以用求导进行研究12