二次函数知识小结教案

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1、 二次函数中考复习专题教学重点u 二次函数的三种解析式形式u 二次函数的图像与性质教学难点u 二次函数与其他函数共存问题u 根据二次函数图像，确定解析式系数符号u 根据二次函数图像的对称性、增减性解决相应的综合问题教学过程一、 数学知识及要求层次数学内容维度数学内容子维度数学能力维度二次函数1、 二次函数的意义了解2、 二次函数表达式掌握3、 二次函数图象及其性质灵活应用4、 根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴灵活应用5、用二次函数及其图象解决简单的实际问题灵活应用6、利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解灵活应用二、 近年二次函数考题及分值分布情况知识模块考察知识点分值题型命题预计二

2、次函数图像与性质二次函数表达式、顶点坐标、开口方向、最值、对成型等2-3分选择、填空继续考察二次函数的图形与基本性质、利用待定系数法求解二次函数解析式；可能会更注重二次函数与方程、不等式、图形的相似、圆等知识点的综合考查二次函数图像的平移、二次函数、二次方程、不等式等综合运用5-8分解答题二次函数的应用二次函数解决简单实际问题、二次函数与几何、三角函数的综合应用10分解答题可能仍重视对二次函数的建模应用、二次函数中的动态问题与存在性问题探索性研究纵观近两年调考，样卷及中考试卷，可以发现中考中二次函数的题型有如下一些特点：1、 综合性强。初中阶段所有的知识点几乎都可以与二次函数联系起来，特别是与

3、一元二次方程，几何图形、实际问题的联系更紧密些。2、 分值较重。从07年到08年，二次函数的分值逐年加大。3、 覆盖面广。二次函数的图象性质在调考、样题、中考中都出现了。三、 二次函数知识点1. 二次函数的定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.例：如果函数y=(m2)x是二次函数, 求常数m的值.【思路点拨】该函数是二次函数, 那么m2+m4=2, 且m20解: y=(m2)x是二次函数m2+m4=2, 即m2+m6=0 解这个一元二次方程, 得m1=3, m22当m=3时, m2=50, 符合题意当m=2时, m20, 不合题意.常数m的值为3.同类练习：已知：函数（m是常数）. m

4、为何值时，它是二次函数？2. 二次函数的解析式三种形式一般式 ： y=ax2 +bx+c(a0) 顶点坐标（）顶点式 ： 二次函数用配方法可化成：的形式（），其中. 顶点坐标（h, k） 交点式 对称轴例：1.将二次函数yx22x3，化为y(xh)2k的形式，结果为（ ）Ay(x1)24 By(x1)24Cy(x1)22 D y(x1)222若二次函数配方后为则、的值分别为（ ）A、0.5 B、0.1 C、4.5 D、4.13. 二次函数图像与性质（1）抛物线中，的作用1）决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.yxO2）和共同决定抛物线对称轴的

5、位置：对称轴：a与b同号（即ab0） 对称轴在y轴左侧 a与b异号（即ab0） 对称轴在y轴右侧 3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： ，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴.总结：以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .（中考非常喜欢考查根据图像判断a、b、c的符号或者反过来根据a、b、c符号来判断图像。）例1：已知=次函数yax+bx+c的图象如图则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a2b+c， 2a+b，2ab中，其值大于0的个数为（ ） A2 B 3 C、4 D、5点拨：本题考查二次函数图像性质

6、，a的符号由开口方向确定，b的符号由对称轴和a共同决定，c看其与y轴的交点坐标，a+b+c，4a2b+c看x取某个特殊值时y的值可从图像中直观发现例2：（2009湖北省荆门市）函数y=ax1与y=ax2bx1（a0）的图象可能是（ ）A B C D点拨：本题考查函数图象与性质，当时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D是错的，函数y=ax1与y=ax2bx1（a0）的图象必过（0，1），所以C是正确的，故选C-1yx5x=22O课堂练习：1、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么下列判断不正确的是（ ）Aac0 Cb= -4a D关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=1

7、,x2=52、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：ac0；a+b=0；4acb2=4a；a+b+c0.其中正确的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 43. 二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是（ ）（2）抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 1）决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. 2）求抛物线的顶点、对称轴的方法：1)公式法：，顶点是，对称轴是直线.2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是.3)运用抛物线

8、的对称性：当横坐标为x1, x2 ，其对应的纵坐标相等，那么对称轴例1：.二次函数的图像的顶点坐标是（ ） A（-1，8） B.（1，8） C（-1，2） D（1，-4）点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式例2：二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）A 开口向下、对称轴为、顶点坐标（2，9） B开口向下、对称轴为，顶点坐标（2，9）C开口向上，对称轴为，顶点坐标（2，9） D开口向上，对称轴为，顶点坐标（2，9）例3：已知抛物线与轴的交点都在原点右侧，则点M（）在第 象限例4：二次函数的图象上有两点(3，8)和(5，8)，则此拋物线的对称轴是（ ）Ax4 B. x3 C. x

9、5 D. x1。例5：(2007佛山中考题)已知二次函数（是常数），与的部分对应值如下表，则当满足的条件是 时，；当满足的条件是 时，。（当x=4时，y= ）0123020（3）增减性，最大或最小值当a0时，在对称轴左侧（当时），y随着x的增大而减少；在对称轴右侧（当时），y随着x的增大而增大；当a0时，函数有最小值，并且当x=，；当a0时，函数有最大值，并且当x=，；例1: 已知二次函数y=x2+2x+1. (1) 写出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (2) 当x为何值时, y随x的增大而减小? 当x为何值时, y随x的增大而增大? (3) 该函数是有最大值还是最小值? 此时x的值为多

10、少?【思路点拨】利用公式法求顶点坐标和对称轴.解: (1) 0, 函数图像开口向上. 2, 1.函数图象的对称轴是直线x=2, 顶点坐标是(2, 1). (2) 由(1) 可知: 当x2时, y随x的增大而减小; 当x2时, y随x的增大而增大. (3) 由0知, 该函数有最小值. 由(1)可知当x2时, 函数有最小值1.【方法点评】(1) 求二次函数图象的对称轴、顶点坐标可用配方法和公式法两种方法, 本例运用公式法. (2) 讨论二次函数的性质时, 可先求出其图象对称轴和顶点坐标, 并明确图明的开口方向. 再画出草图, 然后根据草图说明性质, 也可不画草图, 直接说明.例2：阅读下列材料,

11、探究问题.已知正方形的周长为4a, 面积为S. (1) 求S与a的函数关系式; (2) 画出它的图象, 求出S6cm2时, 正方形的周长; (4) 根据函数图象, 求出a取何值时, S.解: (1) 正方形的周长为4a, 其边长为a.正方形的面积为Sa2.(2) 列表a3210123S9410149画出图象如图所示(3) 当S=6cm2时, a=cm,故正方形的周长为4cm.(4) 当a=cm时, S=cm2, 且此函数在其取值范围内, S随a的增大而增大.当a或a时, S.请你就上述材料谈谈你的感受, 并与同伴交流从中获利的启迪【思路点拨】上述问题是二次函数y=x2的实际应用题. 在解题过程

12、中, 由于忽视了对自变量a的取值范围的讨论, 致使整个过程发生错误. 作为几何量, 边长a应是个正数, 即a0, 所以图象只是抛物线S=a2的一部分, 且不包括最低点(0, 0).正确解法如下:(1) 正方形的周长为4a, 其边长为a.正方形的面积Sa2(a0).(2) 列表:a123S149画出图象如图所示.(3) 当S6cm2, a=cm(acm不合题意, 舍去). 故正方形的周长为4cm.(4) 当a=cm时, S=cm2, 且函数在取值范围内S随a的增大而增大, 当acm时, Scm2.【方法点评】上述问题是一个实际应用题, 所以注意自变量a的取值范围, 运用图象来解决问题.例3：若二

13、次函数的图像开口向上，与x轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时时，对应的y1 与y2的大小关系是（ ）Ay1 y2 D.不确定点拨：本题可用两种解法 解法1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y随x的变化规律确定：a0时，抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；a0时，抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大 解法2：求值法：将已知两点代入函数解析式，求出a，b的值 再把横坐标值代入求出y1 与y2 的值，进而比较它们的大小变式1：已知二次函数上两点，试比较的大小变式2：已知二次函数上两点，试比较的大小变式3：已知二次函数的图像与的图像关于y轴对称，是

14、前者图像上的两点，试比较的大小（1,-2）-1练习：1.如图，已知二次函数的图象经过点（1，0），（1，2），当随的增大而增大时，的取值范围是 2. 已知二次函数y=x22x3, 则函数值y0时, 对应x取值范围是.3. 二次函数有（ ）A 最大值B 最小值C 最大值D 最小值4. 求二次函数y=3x2+12x-29的最小值。 若二次函数的图像开口向上，与x轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时时，对应的y1 与y2的大小关系是（ ）Ay1 y2 D.不确定5.（烟台市2009年中考题）p67如图，在一块三角形区域ABC中，C=90，边AC=8m，BC=6m，

15、现要在ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上。 求ABC中AB边上的高h；设DG=x,当x取何值时，水池DEFG的面积(S)最大？答案：h=4.8m x=2.4m S有最大值12m2（4）几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴)(0,0)(轴)(0, )(,0)(,)()(5)图像的平移步骤：1）配方 ，确定顶点（h,k）；2）对x轴 左加右减；对y轴 上加下减。例：二次函数y=ax2+bx+c的图象向左平移2个单位, 再向上平移3个单位, 得二次函数y=x22x+1, 求b和c.【思路点拨】本题原函数解析式中的

16、一次项系数b, 常数项c是待定的. 解题关键是需先求抛物线的顶点坐标, 根据两个抛物线的平移情况, 可确定其顶点坐标.解: y=x22x+1=(x1)2,抛物线y=x22x+1的顶点是B(1, 0), 根据题意知: 把抛物线向下平移3个单位,再向右平移2个单位, 就得到抛物线y=x2+bx+c, 这时由顶点B(1, 0)平移到A(3, 3)处, 所以抛物线y=x2+bx+c的顶点是(3, 3).y=x2+bx+c=(x3)23=x26x+6.b=6, c=6.【方法点评】本题根据抛物线的顶点的移动变化确定函数解析式, 从图象顶点的变化直观地找到解题思路, 体现了数形结合的基本思想, 这是一个基

17、本的解题途径, 也是一条行之有效的坦途.方法二：函数y=ax2+bx+c的图象向左平移2个单位后得函数解析式为，再向上平移3个单位，得函数解析式为化简后得依题平移后函数解析式应为y=x22x+1得随堂练：1. 把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是则原二次函数的解析式为2.将函数y=3x2平移到顶点为（1,2）处，请问怎么平移？3.把抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）（A）=3(x+3)2-2 （B）=3(x+2)2+2 （C）=3(x-3)2-2 （D）=3(x-3)2+2（6）二次函数图象的画

18、法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点。随堂练：请画出二次函数y=3x2+12x -29的图像练习：（2009年佛山中考题）（1）请在坐标系中画出二次函数y=-x2+2x的大致图象；（2）在同一个坐标系中画出y=-x2+2x的图象向上平移两个单位后的图象；（3）直接写出平移后的图象的解析式注：图中小正方形网格的边长为17

19、.二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况。二次函数图象与轴的交点个数：（1） 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根这两点间的距离 （2） 当时，图象与轴只有一个交点； （3）当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有练习：1. 二次函数的值永远为负值的条件是 0， 02. 函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）A BC D8. 用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式

20、. (2)顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.例1.（2011年佛山中考题）如图，已知二次函数的图像经过、；（1）求二次函数的解析式；（2）画出二次函数的图像；1. 二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=3，最小值为2，且过（0，1），求此函数的解析式。3. 已知抛物线开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，3）两点。（1）若抛物线的对称轴为直线1，求此抛物线的解析式；（2）如果抛物线的对称轴在轴的左侧，试求的取值范围；4. 如图，抛物线y=x2+bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）求抛物线的

21、解析式及顶点D的坐标；判断ABC的形状，证明你的结论；5. (中考变式）如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。交Y轴于C,求该抛物线的解析式与ABC的面积。9. 代数与几何的综合例1：你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、25 m处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是15 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( )A15 m B1625 m C166 m D167 m答案：B例2：已知抛物

22、线与轴交于点A，与轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，SABC=3，则= ，= 练习：已知二次函数（）的图象经过点，直线（）与轴交于点（1）求二次函数的解析式；（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由点拨：本类题主要考察二次函数表达式的求法，二次函数与几何知识的运用。面广，知识综合性强。复习时要着重深究点、线、面中所包含的隐含条件，要用运动、发展、全面的观点去分析图形，并注意到图形运动过程中的

23、特殊位置。总扩展练习：例（拓展，2008年武汉市中考题，12）下列命题中正确的是若b24ac0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3若b24ac=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。当c=5时，不论b为何值，抛物线y=ax2+bx+c一定过y轴上一定点。若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点，则方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根。若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点A、B，与y轴交于c点，c=4，SABC=6，则抛物线解析式为y=x25x+4。若抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点在x轴

24、下方，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。若抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过原点，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为0。若ab+c=2，则抛物线y=ax2+bx+c（a0）必过一定点。若b23ac，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴一定没有交点。若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx2+bx+a的图象与x轴必有两个交点。若b=0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。点拨：本题主要考查二次函数图象及其性质，一元二次方程根与系数的关系，及二次函数和一元二次方程二者之间的联系。复习时，抓住系数

25、a、b、c对图形的影响的基本特点，提升学生的数形结合能力，抓住抛物线的四点一轴与方程的关系，训练学生对函数、方程的数学思想的运用。【巩固提高训练】一、选择题1. (2009年四川省内江市)抛物线的顶点坐标是（ ）A（2，3） B（2，3） C（2，3） D（2，3）2.（2009年桂林市、百色市）二次函数的最小值是（ ） A2 B1 C3 D 3.(2009年上海市)抛物线（是常数）的顶点坐标是（ ）ABCD4.(2009年陕西省)根据下表中的二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴【 】x1012y12A只有一个交点B有两个交点，且它们分别在y轴两侧C有两个交点，且它们

26、均在y轴同侧xyO15.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：；方程的两根之和大于0；随的增大而增大；，其中正确的个数（）A4个 B3个 C2个 D1个6. 二次函数的图象如图2所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A B C D不能确定1Oxy7. （2009烟台市）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）yxOyxOBCyxOAyxOD8.（2009年台湾）向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高

27、的？ (A) 第8秒 (B) 第10秒 (C) 第12秒 (D) 第15秒 。9. (2009年南充)抛物线的对称轴是直线（ ）ABCD10. （2009年遂宁）把二次函数用配方法化成的形式 A. B. C. D. 二、填空题11. （2009年甘肃庆阳）图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是_图6（1） 图6（2）12. (2009年上海市) 把抛物线yax+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是yx3x+5，则a+b+c=_13. （2009年

28、淄博市） 请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 过点；当时，y随x的增大而减小；当自变量的值为2时，函数值小于214.（2009年娄底）如图7，O的半径为2，C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=-x2的图象，则阴影部分的面积是 .15. （2009白银市）抛物线的部分图象如图8所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论：，（对称轴方程，图象与x正半轴、y轴交点坐标例外）16. （2009年包头）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2 17. （2009年黄石市）若抛物线与的两交点关于原点对称，则分别为

29、18、（2009年兰州）二次函数的图象如图12所示，点位于坐标原点， 点， 在y轴的正半轴上，点， 在二次函数位于第一象限的图象上，若,，都为等边三角形，则的边长 . 三、解答题19. （2009年内蒙古包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，（1）求一次函数的表达式；（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围20. ( 安徽省)心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0x30)。y值越大，表示接受能力越强。 (1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ (2)第10分时，学生的接受能力是什么？ (3)第几分时，学生的接受能力最强？ 21. （2009仙桃）如图，已知抛物线yx2bxc经过矩形ABCD的两个顶点A、B，AB平行于x轴，对角线BD与抛物线交于点P，点A的坐标为(0，2)，AB4(1)求抛物线的解析式；(2)若SAPO，求矩形ABCD的面积XVII