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1、第八章 直线回归与相关 变量间的关系有两类 一类是函数关系 ,变量间存在着完全 确定 性的关系 ，可以用精确的数学表达式来表 示，如长方形的面积（ S）与长（ a）和宽 （ b）的关系可以表达为： S=ab。它们之间 的关系是确定性的，只要知道了其中一个 变量的值就可以精确地计算出另一个变量 的值，这类变量间的关系称为函数关系。 另一类是 相关关系 ,变量间关系不存在完全的确 定性关系，不能用精确的数学公式来表示。 如人的身高与体重的关系；仔猪初生重与断奶重 的关系；猪瘦肉率与背膘厚度、眼肌面积、胴体 长等的关系等等，这些变量间都存在着十分密切 的关系，但不能由一个或几个变量的值精确地求 出另
2、一个变量的值。 像这样一类关系在生物界中是大量存在的，统计 学中把这些变量间的关系称为 相关关系 ，把存在 相关关系的变量称为相关变量。 对于两个相关变量（也称协变量） 关系一般分为 两种 一种是 因果关系 ，即一个变量的变化受另一个或 几个变量的影响，如仔猪的生长速度受遗传、营 养、饲养管理等因素的影响，子女的身高受父母 身高的影响； 另一种是 平行关系 ，即两个以上变量之间共同受 到另外因素的影响，如人的身高和体重之间的关 系，兄弟身高之间的关系等都属于平行关系。变 量间的关系及分析方法归纳如下： 对于两个相关变量（也称协变量），一个 变量用符号 x表示，另一个变量用 y表示，如 果通过试
3、验或调查获得两个变量的成对观 测值，可表示为（ x1， y1），（ x2， y2）， - ，（ xn， yn）。为了直观地看出 x和 y间 的变化趋势，可将每一对观测值在平面直 角坐标系描点，作出散点图（见图 9-1）。 图 9-1 （ x， y） 的散点图 从散点图（图 9-1）可以看出： 两个变量间关系的性质（是正相关还是 负相关）和程度（是相关密切还是不密 切）； 两个变量间关系的类型，是直线型还是 曲线型； 是否有异常观测值的干扰。散点图直观 地、定性地表示了两个变量之间的关系。 为了探讨它们之间的规律性，还必须根据 观测值将其内在关系定量地表达出来 统计学上一般采用回归分析（ reg
4、ression analysis） 研究呈因果关系的相关变量间的关系 。 表示原因的变量称为自变量，表示结果的变量称 为依变量。 研究“一因一果”，即一个自变量与一个依变量 的回归分析称为 一元回归分析 ；研究“多因一 果”，即多个自变量与一个依变量的回归分析称 为 多元回归分析 。 一元回归分析又分为直线回归分析与曲线回归分 析两种；多元回归分析又分为多元线性回归分析 与多元非线性回归分析两种 回归分析的任务是揭示出呈因果关系的相 关变量间的联系形式，建立它们之间的回 归方程，利用所建立的回归方程，由自变 量（原因）来预测、控制依变量（结果） 。 统计学上一般采用相关分析 (correlat
5、ion analysis) 研究呈平行关系的相关变量之间的关系 。 对两个变量间的直线关系进行相关分析称为 简单 相关分析 （也叫直线相关分析）；对多个变量进 行相关分析时， 研究一个变量与多个变量间的线性相关称为 复相 关分析 ；研究其余变量保持不变的情况下两个变 量间的线性相关称为 偏相关分析 。 在相关分析中，变量无自变量和依变量之分。相 关分析只能研究两个变量之间相关的程度和性质 或一个变量与多个变量之间相关的程度，不能用 一个或多个变量去预测、控制另一个变量的变化， 这是回归分析与相关分析区别的关键所在。 但是二者也不能截然分开，因为由回归分析可以 获得相关的一些重要信息，由相关分析
6、也能获得 回归的一些重要信息。 第一节 直线回归 一、直线回归方程的建立 直线回归是回归分析中最基本 、 最简单的一种 ， 故又称为简单回归 。 回归关系是对每一个 x的取值 xi， 都有 y的一个分 布与之对应 ， 而不是一个确定的 yi与之相对应 。 但是 ， 当 x xi时 ， yi的平均数 y/x xi是与之相 对应的 ， y/x xi称为 y的条件平均数 。 在这种 情况下 ， 我们可以用直线回归方程来描述 x与 y的 关系 ， 其一般形式为： (i=1,2, , n) （ 9 1） 其中， x是自变量，是与 x值相对应的倚变量 y的条件 平均值的点估计。 bxay 回归直线在平面坐
7、标系中的位置取决于 a、 b的取值，为了使能最好地反应 y和 x两变量 间的数量关系， 根据最小二乘法， a、 b应 使回归估计值与观测值的偏差平方和最小， 即： 最小。 22 )()( bxayyyQ 根据微积分学中的极值原理 ， 令 Q对 a、 b 的一阶偏导数等于 0， 即： 整理得关于 a、 b的 正规方程组： 0)(2 bxayaQ 0)(2 xbxaybQ yxban xyxbxa 2 a叫做样本回归截距，是回归直线与 y轴交点 的纵坐标，当 x=0时， =a； b叫做样本回归 系数 ，表示 x改变一个单位， y平均改变的数 量； b的符号反映了 x影响 y的性质， b的绝 对值大
8、小反映了 x影响 y的程度。 图 9-2 直线回归方程 的图象 a和 b均可取正值 ， 也可取负值 ， 因具体资 料而异 ， 由图 9-2可以看出 ， a0， 表示回归 直线在第一象限与 y轴相交； a0， 表示 y随 x 的增加而增加； b0；表示 y随 x的减少而减 少； b=0或与 0差异不显著时 ， 表示 y的变化 与 x的取值无关 ， 两变量间不存在直线回归 关系 。 这只是对 a和 b的统计学解释 ， 对于 具体资料 ， a和 b往往还有专业上的实际意 义 。 叫做回归估计值 ，是当 x在在其研究范围 内取某一个值时， y值平均数估计值。 y 可发现回归方程的三个基本性质： F检验
9、的结果与 t检验的结果一致。事实上， 统计学已证明，在直线回归分析中，这二 种检验方法是等价的，可任选一种进行检 验。 由于孵化历期平均温度（ x）与历期天数 （ y）之间存在显著的直线关系。因此，可 以通过黏虫孵化历期平均温度（ x）对孵化 历期天数（ y）作出预测或控制。 特别要指出的是： 利用直线回归方程进行 预测或控制时，一般只适用于原来研究的 范围，不能随意把范围扩大 ，因为在研究 的范围内两变量是直线关系，这并不能保 证在这研究范围之外仍然是直线关系。 *四 、 直线回归的区间估计 前面已求出了总体回归截距 a、 回归系数 和 x 所对应的 y值总体平均数 a+x的估计值 a， b
10、 和 。 这仅是一种点估计 。 下面在一定置信 度下对 、 以及 +x作出区间估计 。 y 12 14 16 18 20 10 15 20 25 30 x y 由 图 9-5可以看出，单个 y的置信带要比 的置信带宽， x偏离越远，置信带越宽，预 测效果越差。 通过 图 9-5中与单个 y的 95 置信带 ， 就可 由黏虫孵化历期平均温度对孵化历期天数 直接作出预报 。 y 第二节 直线相关 如果两个变量间呈线性关系，又不需要 由 x来估计 y，只需要了解 x和 y的相关程 度以及相关性质，就可以直线相关分析。 进行直线相关分析的基本任务在于根据 x、 y的实际观测值，计算表示两个相关变量 x、 y间线性相关程度和性质的统计量 相关系数 r并进行显著性检验。 一 相关系数和决定系数 设有一双变量总体资料 ， 总体个数为 N， 这 N对观测值在平面直角坐标系中可用坐 标点表示 。 表示两个变量直线相关的 相 关程度和性质可用乘积和来表示 。 但是 ， 不同的双变量资料其乘积和无可 比性 ， 因为 x和 y的变异程度及其度量单 位 、 N的大小都会影响乘积和 。 要消除这 种影响 ， 可将离均差转换成以各自的标 准差为单位 ， 使之成为标准离差 ， 再以 N 除之 。
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