第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第2讲 函数的单调性与最值（精品）

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1、第2讲函数的单调性与最值【2013年高考会这样考】1考查求函数单调性和最值的基本方法2利用函数的单调性求单调区间3利用函数的单调性求最值和参数的取值范围【复习指导】本讲复习首先回扣课本，从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念，复习中重点掌握：(1)函数单调性的判断及其应用；(2)求函数最值的各种基本方法；对常见题型的解法要熟练掌握基础梳理1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f

2、(x1)f(x2)，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件.对于任意xI，都有f(x)M；对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M存在x0I，使得f(x0)M.结论M为最大值M为最小值一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制例如函数y分别在(，0)，(0，)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(

3、，0)(0，)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(，0)和(0，)，不能用“”连接两种形式设任意x1，x2a，b且x1x2，那么0f(x)在a，b上是增函数；0f(x)在a，b上是减函数(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是减函数两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值四种方法函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函

4、数(3)导数法：利用导数研究函数的单调性(4)图象法：利用图象研究函数的单调性双基自测1设f(x)为奇函数，且在(，0)内是减函数，f(2)0，则xf(x)0的解集为()A(2,0)(2，) B(，2)(0,2)C(，2)(2，) D(2,0)(0,2)答案C2(2011湖南)已知函数f(x)ex1，g(x)x24x3.若有f(a)g(b)，则b的取值范围为()A2，2 B(2，2)C1,3 D(1,3)解析函数f(x)的值域是(1，)，要使得f(a)g(b)，必须使得x24x31.即x24x20，解得2x2.答案B3(2012保定一中质检)已知f(x)为R上的减函数，则满足f1，不等式等价于

5、解得1x1，且x0.答案C4(2011江苏)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_解析要使ylog5(2x1)有意义，则2x10，即x，而ylog5u为(0，)上的增函数，当x时，u2x1也为增函数，故原函数的单调增区间是.答案5若x0，则x的最小值为_解析x0，则x2 2 当且仅当x，即x 时，等号成立，因此x的最小值为2 .答案2 考向一函数的单调性的判断【例1】试讨论函数f(x)的单调性审题视点 可采用定义法或导数法判断解法一f(x)的定义域为R，在定义域内任取x1x2，都有f(x1)f(x2)，其中x1x20，x10，x10.当x1，x2(1,1)时，即|x1|1，|x2|1，

6、|x1x2|1，则x1x21,1x1x20，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)为增函数当x1，x2(，1或1，)时，1x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)为减函数综上所述，f(x)在1,1上是增函数，在(，1和1，)上是减函数法二f(x)，由f(x)0解得1x1.由f(x)0解得x1或x1，f(x)在1,1上是增函数，在(，1和1，)上是减函数 判断(或证明)函数单调性的主要方法有：(1)函数单调性的定义；(2)观察函数的图象；(3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则；(4)利用函数的导数等【训练1】 讨论函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性解设1

7、x1x20时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0)在(2，)上递增，求实数a的取值范围审题视点 求参数的范围转化为不等式恒成时要注意转化的等价性解法一设2x1x2，由已知条件f(x1)f(x2)(x1x2)a(x1x2)0恒成立即当2x1a恒成立又x1x24，则0a4.法二f(x)x，f(x)10得f(x)的递增区间是(，)，(，)，根据已知条件2，解得0a4. 已知函数的解析式，能够判断函数的单调性，确定函数的单调区间，反之已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值或范围，可通过列不等式或解决不等

8、式恒成立问题进行求解【训练2】 函数y在(1，)上单调递增，则a的取值范围是()Aa3 Ba3 Ca3 Da3解析y1，需即a3.答案C考向三利用函数的单调性求最值【例3】已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，f(1).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值审题视点 抽象函数单调性的判断，仍须紧扣定义，结合题目作适当变形(1)证明法一函数f(x)对于任意x，yR总有f(x)f(y)f(xy)，令xy0，得f(0)0.再令yx，得f(x)f(x)在R上任取x1x2，则x1x20，f(x1)f(x2)f(x

9、1)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)因此f(x)在R上是减函数法二设x1x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上为减函数(2)解f(x)在R上是减函数，f(x)在3,3上也是减函数，f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2. 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定

10、义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)f(x2)与0的大小，或与1的大小有时根据需要，需作适当的变形：如x1x2或x1x2x1x2等【训练3】 已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足ff(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)1，求f(x)在2,9上的最小值解(1)令x1x20，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区

11、间(0，)上是单调递减函数(3)f(x)在0，)上是单调递减函数f(x)在2,9上的最小值为f(9)由ff(x1)f(x2)得，ff(9)f(3)，而f(3)1，所以f(9)2.f(x)在2,9上的最小值为2.规范解答2如何解不等式恒成立问题【问题研究】 在恒成立的条件下，如何确定参数的范围是历年来高考考查的重点内容，近年来在新课标地区的高考命题中，由于三角函数、数列、导数知识的渗透，使原来的分离参数法、根的分布法增添了思维难度，因而含参数不等式的恒成立问题常出现在综合题的位置.【解决方案】 解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题，或者区间根的分布问题，进而运用

12、最值原理或者区间根原理使问题获解，常用方法还有函数性质法，分离参数法等.【示例】(本题满分12分)已知函数f(x)x22ax2，当x1，)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围 利用函数性质求f(x)的最值，从而解不等式f(x)mina，得a的取值范围解题过程中要注意a的范围的讨论解答示范 f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa(1分)(1)当a(，1)时，f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)2a3.(3分)要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得a3，即3a1.(6分)(2)当a1，)时，f(x)minf(a)2a2.(8分)要使f(x)a恒成

13、立，只需f(x)mina，即2a2a(10分)解得2a1，即1a1.(11分)综上所述，实数a的取值范围为3,1(12分) 本题是利用函数的性质求解恒成立问题，主要的解题步骤是研究函数的性质，由于导数知识的运用，拓展了这类问题深度和思维的广度，因此，解答问题时，一般的解题思路是先通过对函数求导，判断导函数的符号，从而确定函数在所给区间上的单调性，得到区间上对应的函数最值【试一试】 当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_解析法一当x(1,2)时，不等式x2mx40可化为：m5，则m5.法二设g(x)x2mx4当，即m3时，g(x)g(2)82m，当，即m3时，g(x)g(1)5m由已知条件可得：或解得m5答案(，5.精品资料。欢迎使用。高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u.精品资料。欢迎使用。高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u