1987年第二届华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛试卷(小学组)及答案

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1、第二届华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛1试题（小学组）1.计算：(.25+0.125）（.5.25015）2.有三张卡片,在它们上面各写有一种数字（下图)。从中抽出一张、二张、三张,按任意顺序排起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数。请你将其中的素数都写出来。3有大、中、小三个正方形水池,它们的内边长分别是6米、3米、2米。把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里,两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米?在一种圆圈上有几十个孔(不到10个）,如图。小明像玩跳棋那样,从孔出发沿着逆时针方向，每隔几种孔跳一步,但愿一圈后来能跳回到A孔。

2、她先试着每 隔孔跳一步,成果只能跳到B孔。她又试着每隔孔跳一步,也只能跳到B孔。最后她每隔6孔跳一步,正好跳回到A孔。你懂得这个圆圈上共有多少个孔吗?5.试将，2,3，4,5,6,分别填入下图的方框中，每个数字只用一次:使得这三个数中任意两个都互质。其中一种三位数已填好,它是71。6下图是一张道路图,每段路上的数字是小王走这段路所需的分钟数。请问小王从A出发走到B，最快需要几分钟？梯形BC的中位线E长5厘米(见图），ABC=E=90,G是上的一点。如果三角形AB的面积是梯形AB面积的,那么EG的长是几厘米?8有三堆砝码,第一堆中每个法码重3克，第二堆中每个砝码重克，第三堆中每个砝码重克。请你取

3、至少个数的砝码，使它们的总重量为30克写出的取法：需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几种?9有5块圆形的花圃,它们的直径分别是3米、4米、5米、8米、9米；请将这5块花圃提成两组，分别交给两个班管理,使两班所管理的面积尽量接近。0.一串数排成一行，它们的规律是这样的:头两个数都是1，从第三个数开始,每一种数都是前两个数的和,也就是：1,2，3，8，3，21,，5,问：这串数的前00个数中(涉及第100个数）有多少个偶数?11王师傅驾车从甲地开乙地交货。如果她来回都以每小时60公里的速度行驶，正好可以准时返回甲地。可是，当达到乙地时、她发现她从甲地到乙地的速度只有每小时55公里,如果

4、她想准时返回甲地,她应以多大的速度往回开？12.如图，大圈是400米跑道，由A 到B的跑道长是200米,直线距离是50米。父子俩同步从A点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿于跑大圈，爸爸每跑到点便沿各直线跑。爸爸每10米用20秒,儿子每100米用 9秒。如果她们按这样的速度跑,儿子在跑第几圈时，第一次与爸爸再相遇? 第二届华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛1试题参照答案1 2共有五个质数：2,1，,31 3 91个 5.(见下)6.48分钟.厘米 8.（见下） 9（见下) 10.（见下) 1.66千米小时12儿子在跑第3圈时,第一次与爸爸再相遇1.【解】原式=（）248(42+1）4772.【解】

5、由于三张卡片上的数字和为6,能被3整除,因此用这三个数字任意排成的三位数都能被整除，因此不也许是质数再看二张卡片的情形。由于23,根据同样的道理，用12，构成的二位数也能被3整除,因此也不是质数.这样剩余要讨论的二位数只有13、3、32这四个了,其中13，31和都是质数，而32不是质数最后，一位数有三个:，2,3。1不是质数,和3都是质数因此，本题中的质数共有五个:2，1，3,31答:共有五个质数：2,3，1，23，1。3.【解】把碎石沉没在水中,水面升高所增长的体积就等于所沉入的碎石的体积.因此,沉入在水池中的碎石的体积是：33.60.54(米3)，而沉入小水池中的碎石的体积是:20.04=

6、016(米3）,这两堆碎石的体积一共是：.54+0.1=0.7(米)把它们都沉入大水池里，大水池的水面升高所增长的体积也就是0.7米,而大水池的底面积是：66=36(米),因此大水池的水面升高了:.7=(米)=(厘米)=(厘米）答:大水池的水面升高了厘米。4.【解】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A孔编号为1,然后沿逆时针方向顺次编号为2,3，4，B孔的编号就是圆圈上的孔数,每隔孔跳一步,跳在1，4，7,0,上。最后跳到B孔，因此总孔数是3的倍数加1,同样道理，每隔孔跳一步最后跳到孔，就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A，就意味着总孔数是的倍数。如果将孔数减,那么得数既

7、是的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数。这个1的倍数加上1就等于孔数,并且能被整除。注意:1被除余1,因此156被7除余6，的6倍加1正好被7整除。我们还可以看出，15的其她(不不小于7的）倍数加1都不能被7整除，而1571已经不小于1007以上的倍数都不必考虑,因此,圆圈上总孔数是16十19答:圆圈上共有91个孔。.【解】14=2371.由此可以看出，要使最下面方框中的数与14互质,在剩余未填的数字,，6中只能选5,也就是说,第三行的一位数只能填。目前来讨论第二行的三个方框中应当如何填2，3，6这三个数字。由于任意两个偶数均有公约数，而714是偶数,因此第二行的三位数不能是偶数，因此个位数字

8、只能是3这样一来，第二行的三位数只能是3或62.但是623能被7整除，因此62与714不互质.最后来看263这个数通过检查可知：14的质因数，3,7和17都不是263的因数,因此714与3这两个数互质,显然,26与5也互质.因此71,263和5这三个数两两互质。于是填法是:.【解】为论述以便,我们把每个路口都标上字母，如图a、图b所示一方面我们将道路图逐渐简化。从出发通过C到的路线都要通过和GC。面从A到C有两条路线可走：ADC需时间1+13=7（分钟）；AG需时间51=26（分钟）。我们不会走前一条路线，因此可将DC这段路抹去。但要注意,AD不能抹去,由于从A到B尚有别的路线(例如AB)通过

9、AD，需要进一步分析。由到E也有两条路线可走:CC需1分钟,GIE也是16分钟。我们可以选择其中的任一条路线，例如选择前一条,抹掉E。(也可以选择后一条而抹掉C。但不能抹掉C,由于尚有别的路线通过它。）这样,道路图被简化成图49的形状。在图b中,从到F有两条路线,通过H的一条需1+617(分钟），通过的一条需15+1+10=（分钟），我们又可以将前一条路线抹掉(图c)。图中，从C到也有两条路线,比较它们需要的时间，又可将通过E的一条路线抹掉。最后,剩余一条最省时间的路线(图d）,它需要15+1111248（分钟）。【又解】要抓住核心点C。从A到B的道路如果通过C点,那么,从A到C的道路中选一条

10、最省时间的,即AGC；从C到B的道路中也选一条最省时间的,即FB。因而从到B通过的所有道路中最省时间的就是这两条道路接起来的，即GFB。它的总时间是48分钟。剩余的只要比较从A到B而不通过C点的道路与道路ACFB,看那个更省时间。不通过C点的道路只有两条:ADHFB，它需要分钟；AGIEB，它也需要9分钟。因此,从A到最快需要48分钟。答：最快需要8分钟。7.【解】梯形ABC的面积等于EFAB,而三角彤ABG的面积等于EGAB,因此三角形G和梯形ABCD的面积比等于EG与EF的比.由题目的条件,三角形ABG的面积是梯形ABC的面积的,即EG是F的.由于E长1厘米，E的长就是：15=（厘米）答：

11、EG长6厘米8.【解】为了使问题简化,我们一方面分析一下这三堆砝码之间的关系。很明显,一种3克的砝码加上一种7克的砝码正好等于两个5克的砝码（都是10克)，因此，如果用一种3克的砝码和一种7克的砝码去替代两个5克的砝码，砝码的个数及总重量都保持不变.这样一来，我们就可以把5克砝码两个两个地换掉,直到只剩余一种克的砝码或者没有5克砝码为止。问题归结为下面两种情形:(1）所取的砝码中没有5克砝码。很明显，为了使所取的砝码个数尽量少，应当尽量少取克砝码.而0克减去克砝码的总重量应当是7克的倍数。计算一下就可以懂得，取0个、个、个、3个、4个、5个3克砝码，所余下的重量都不是7克的倍数。如果取6个克砝

12、码，那么13克3克611克7克16。于是可以取16个克砝码和个3克砝码,总共2个砝码(2)所取的砝码中有一种5克的。那么克和克砝码的总重量是13克5克125克和第一种情形类似,可以算出应取2个3克砝码和17个7克砝码,这样总共有721=个砝码比较上面两种情形,我们得知至少要取2个砝码。取法可以就像后一种情形那样：2个克的，1个5克的,17个7克的,固然也可以用两个5克砝码换掉一种3克和1个7克的砝码，例如可以取个5克的和15个7克的.9.【解】我们懂得，每个圆的面积等于直径的平方乘以(/）。目前要把5个圆分组，两组的总面积要尽量接近,或者说;两组总面积的比尽量接近1.由于每个圆面积均有因子（/

13、 )。而我们关怀的只是面积的比,因此可把这个共同的因子都去掉,使问题简化为：将5个圆公成两组，使两组圆的直径的平方和尽量接近。5个圆的直径的平方分别是9，16,5,64，1.这个数的和是19.由于195是奇数,因此不也许把这5个数提成两组,使它们的和相等.另一方面,1十16=9，9+256498，两者仅相差1.因此，应当把直径4米和9米的两个花圃交给一种班管理，其他三个花圃交给另一种班管理.答:应当把直径4米和9米的两个花圃交给一种班管理,其他三个花圃交给另一种班管理。0.【解】观测一下已经写出的数就会发现，每隔两个奇数就有一种偶数。这个规律是不难解释的:由于两个奇数的和是偶数,因此两个奇数背

14、面一定是偶数。另一方面，一种奇数和一种偶数的和是奇数,因此偶数背面一种是奇数,再背面一种还是奇数。这样,一种偶数背面一定有持续两个奇数，而这两个奇数背面一定又是偶数，等等。因此,偶数出目前第三、第六、第九第九十九个位子上。因此偶数的个数等于10以内3的倍数的个数，即等于9933,于是,这串数的前1个数中共有3个偶数。本题给出的这串数叫做“菲波那西数列”，又叫“兔子数列”。答：这串数的前10个数中共有3个偶数。11【解】王师傅每两千米应行2（小时）,现来时每千米行小时，因此返回时每1千米应行：2=(小时)即应以每小时66千米的速度往回开.【又解】根据题意,如果王师傅来回都以每小时60公里的速度行

15、驶,正好准时返回甲地也就是说，按筹划行驶1公里的时间是小时.而王师傅从甲地到乙地的实际行驶速度只有55公里/小时，这样一来、实际行驶1公里所耗费的时间是小时,比筹划多用小时，为了能准时返回甲地,王师傅从乙地返回甲地时，行驶1公里所花的时间必须比原筹划时间少小时.也就是说,只能花=（小时)。因此王师傅往回开的速度应是公/小时。答：王师傅应以6公里小时的速度往回开。12.【解】一方面我们要注意到:爸爸和儿子只能在由A沿逆时针方向到B这一段跑道上相遇,并且儿子比爸爸跑得快,因此相遇时一定是儿子从背面追上爸爸儿子跑一圈所用的时间是9（400100）7(秒），也就是说,儿子每过7秒达到点一次。同样道理,爸爸每过0秒达到A点一次。在从A到B逆时针方向的一段跑道上,儿子要跑9(210)=38(秒),爸爸要跑2(20000）0(秒)。因此，只要在爸爸达到A点后的2秒之内，儿子也达到点，儿子就能从背面追上爸爸。于是，我们需要找6的一种整数倍(这个倍数是父子相遇时儿子跑完的圈数)，它比50的一种整数倍大，但至多大。即要找76的一种倍数,它除以50的余数在0到之间，这试一下就可以了:650余26,76250余2.正合我们的规定。（在一般状况下，应当先看看76的倍数除以5的余数有什么规律）因此，在父子第一次相遇时，儿子已跑完圈,也就是正在跑第3圈答：儿子在跑第3圈时,第一次再与爸爸相遇。