2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程课件10 新人教B版选修1-1

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1、2.2.1 2.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程1.1.双曲线的定义双曲线的定义(1)(1)前提要素前提要素:平面内平面内,一个动点一个动点M M，两个，两个_F_F1 1,F,F2 2,一个常数一个常数2a.2a.(2)(2)满足关系满足关系:_.:_.(3)(3)限制条件限制条件:_.:_.(4)(4)相关概念：两个定点相关概念：两个定点F F1 1,F,F2 2叫做双曲线的叫做双曲线的_，两个定点之，两个定点之间的距离间的距离|F|F1 1F F2 2|叫做双曲线的叫做双曲线的_._.定点定点|MF1 1|-|-|MF2 2|=2|=2a 2 2a|F1 1F2 2|焦点焦点

2、焦距焦距2.2.双曲线的标准方程双曲线的标准方程焦点在焦点在x x轴上轴上焦点在焦点在y y轴上轴上标准方程标准方程_焦点坐标焦点坐标_a,b,c关系关系c c2 2=_=_（-c,0,0）,(,(c,0),0)(0,-(0,-c),(0,),(0,c)a2 2+b2 21.1.双曲线中双曲线中a，b，c的关系跟椭圆中的关系跟椭圆中a，b，c的关系有何区别的关系有何区别？提示：提示：双曲线中的双曲线中的a，b，c满足满足a2 2+b2 2=c2 2，而椭圆中，而椭圆中a，b，c满满足足a2 2=b2 2+c2 2，双曲线中，双曲线中c最大最大,而椭圆中而椭圆中a最大最大.2.2.要写出双曲线的

3、标准方程需要确定哪些条件？要写出双曲线的标准方程需要确定哪些条件？提示：提示：要写出双曲线的标准方程需要确定要写出双曲线的标准方程需要确定a,b的值，最关键的的值，最关键的还要确定焦点的位置还要确定焦点的位置.3.3.a=3,=3,且焦点为且焦点为F1 1（-5-5，0 0）、）、F2 2（5 5，0 0）的双曲线的标准方）的双曲线的标准方程是程是_._.【解析解析】根据题意可得根据题意可得a=3,=3,c=5,=5,且焦点在且焦点在x x轴上轴上,又又b2 2=c2 2-a2 2=25-9=16,=25-9=16,所以所求双曲线的标准方程为所以所求双曲线的标准方程为答案：答案：1.1.对双曲

4、线定义的理解对双曲线定义的理解双曲线的定义揭示了双曲线的图形特征双曲线的定义揭示了双曲线的图形特征,定义是判断动点轨迹定义是判断动点轨迹是否是双曲线的重要依据是否是双曲线的重要依据.设集合设集合P=M|MF1 1|-|-|MF2 2|=2|=2a,|F1 1F2 2|=2|=2c,其中其中a,c均为大于均为大于0 0的常数的常数.当当2 2a2 2c时，集合时，集合P为双曲线；为双曲线；当当2 2a=2=2c时，集合时，集合P为以为以F1 1，F2 2为端点的两条射线；为端点的两条射线；当当2 2a2 2c时，集合时，集合P为空集，即动点为空集，即动点M的轨迹不存在的轨迹不存在.2.2.对双曲

5、线标准方程的认识对双曲线标准方程的认识(1)(1)标准方程的代数特征标准方程的代数特征:方程右边是方程右边是1,1,左边是关于左边是关于x，y的平方的平方差差,并且分母大小关系不确定并且分母大小关系不确定.(2)(2)a，b，c三个量的关系：三个量的关系：标准方程中的两个参数标准方程中的两个参数a和和b,确定了双曲线的形状和大小确定了双曲线的形状和大小,是双是双曲线的定形条件曲线的定形条件,这里这里b2 2=c2 2-a2 2,与椭圆中与椭圆中b2 2=a2 2-c2 2相区别相区别,且椭且椭圆中圆中ab0,0,而双曲线中而双曲线中,a,b大小不确定大小不确定.题目类型一、双曲线的定义题目类型

6、一、双曲线的定义【技法点拨技法点拨】双曲线定义中的限制条件双曲线定义中的限制条件（1 1）动点到两定点的距离之差；）动点到两定点的距离之差；（2 2）强调差的绝对值是常数；）强调差的绝对值是常数；（3 3）常数小于两定点间的距离）常数小于两定点间的距离.只要上述三个条件有一个不满足，动点的轨迹就不是双曲线只要上述三个条件有一个不满足，动点的轨迹就不是双曲线.典例分析典例分析1.1.已知已知M(-2,0),(-2,0),N(2,0),|(2,0),|PM|-|-|PN|=3,|=3,则动点则动点P的轨迹为的轨迹为_._.2.2.动点动点P到点到点M(1,0)1,0)的距离与到点的距离与到点N(3

7、,0)(3,0)的距离之差为的距离之差为2 2，则点，则点P的轨迹是的轨迹是_._.1.1.由已知动点由已知动点P到两定点到两定点M,N的距离之差是常数的距离之差是常数3 3，且，且3 3|MN|=4,|=4,所以动点所以动点P的轨迹是双曲线的一支，的轨迹是双曲线的一支，又又|PM|-|-|PN|0 0，所以动点，所以动点P的轨迹是以的轨迹是以M，N为焦点的双曲线为焦点的双曲线的右支的右支.答案：答案：以以M，N为焦点的双曲线的右支为焦点的双曲线的右支2.2.由已知由已知|PM|PN|2 2|MN|，所以点，所以点P的轨迹不是双曲线，的轨迹不是双曲线，而是一条以而是一条以N为端点的射线为端点的

8、射线答案：答案：以以N N为端点的射线为端点的射线【思考思考】双曲线定义中去掉双曲线定义中去掉“绝对值绝对值”号，动点的轨迹有何变号，动点的轨迹有何变化？第化？第1 1题中如何具体判断是双曲线的哪一部分？题中如何具体判断是双曲线的哪一部分？提示：提示：（1 1）若将双曲线定义中的绝对值号去掉，动点的轨迹）若将双曲线定义中的绝对值号去掉，动点的轨迹成为双曲线中的一支成为双曲线中的一支.（2 2）当去掉绝对值号时，要分清动点到两个焦点距离的远与）当去掉绝对值号时，要分清动点到两个焦点距离的远与近，此时动点的轨迹是近距离焦点所对应的双曲线的一支近，此时动点的轨迹是近距离焦点所对应的双曲线的一支.题目

9、类型二、双曲线标准方程的求法题目类型二、双曲线标准方程的求法【技法点拨技法点拨】1.1.双曲线标准方程的两种求法双曲线标准方程的两种求法(1)(1)定义法定义法:定义是研究双曲线问题的基础和根本定义是研究双曲线问题的基础和根本,根据双曲线根据双曲线的定义得到相应的的定义得到相应的a,b,c，再写出双曲线的标准方程，再写出双曲线的标准方程.(2)(2)待定系数法待定系数法:先设出双曲线的标准方程先设出双曲线的标准方程 或或 (a，b均为正数）均为正数）,然后根据条件求出待定的系数代入方然后根据条件求出待定的系数代入方程即可程即可.2.2.求双曲线标准方程的两个关注点求双曲线标准方程的两个关注点（

10、1 1）定位：）定位：“定位定位”是指确定与坐标系的相对位置是指确定与坐标系的相对位置,在在“标准标准方程方程”的前提下的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形以判断方程的形式式;（2 2）定量：）定量：“定量定量”是指确定是指确定a2 2,b2 2的具体数值的具体数值,常根据条件列常根据条件列方程求解方程求解.【典例训练典例训练】1.1.已知双曲线已知双曲线C：的焦距为的焦距为1010，点，点P（2,12,1）在）在C的渐近线上，则的渐近线上，则C的方程为的方程为()()(A)(B)(A)(B)(C)(D)(C)(D)2.2.求适合下列条件的双曲线的标准方程

11、求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)(1)a4 4，且经过点，且经过点(2)(2)焦点在坐标轴上，且过点焦点在坐标轴上，且过点【解析解析】1.1.选选A.A.由焦距为由焦距为1010，知，知2 2c=10=10，c=5.=5.将将p（2,12,1）代入）代入 得得a=2=2b.a2 2+b2 2=c2 2,5,5b2 2=25,=25,b2 2=5,=5,a2 2=4=4b2 2=20=20，所以方程为，所以方程为2.(1)2.(1)若所求双曲线的标准方程为若所求双曲线的标准方程为则将则将a4 4代入，得代入，得又又点点 在双曲线上，在双曲线上，由此得由此得b2 200，不合题意，舍去不合题

12、意，舍去若所求双曲线方程为若所求双曲线方程为 则将则将a4 4代入得代入得 代入点代入点 得得b2 29 9，双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为（2 2）解题流程）解题流程:设方程设方程设所求双曲线方程为设所求双曲线方程为mx2 2+ny2 2=1(=1(mn0)0)列方程组列方程组点点 在双曲线上，在双曲线上，求解求解 结论结论解得解得双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为【总结总结】（1 1）双曲线焦点的判断方法）双曲线焦点的判断方法;（2 2）在双曲线焦点位置不明确的情况下）在双曲线焦点位置不明确的情况下,双曲线标准方程的求双曲线标准方程的求解方法解方法.提示：提示：（1 1）双曲线的标

13、准方程根据焦点位置不同有两种形式）双曲线的标准方程根据焦点位置不同有两种形式,观察双曲线的标准方程观察双曲线的标准方程,x2 2,y2 2中哪一项的系数为正，焦点就落中哪一项的系数为正，焦点就落在哪个轴上在哪个轴上.（2 2）当双曲线的焦点位置不确定时）当双曲线的焦点位置不确定时,求双曲线的标准方程有两求双曲线的标准方程有两种思路种思路:一是分别讨论焦点在一是分别讨论焦点在x轴，轴，y y轴的情况，求解时要注意轴的情况，求解时要注意检验；二是设为一般形式检验；二是设为一般形式Ax2 2+By2 2=1(=1(AB0)0)，这样求解时既，这样求解时既避免了分类讨论，又简化了运算过程避免了分类讨论

14、，又简化了运算过程.【变式训练变式训练】根据下列条件，求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程:（1 1）双曲线的中心在原点，焦点在）双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，且经过点（轴上，且经过点（0 0，2 2）与与（2 2）经过点（经过点（-5-5，2 2），焦点在），焦点在x x轴上轴上.【解题指南解题指南】根据焦点位置设出相应的双曲线方程形式根据焦点位置设出相应的双曲线方程形式,再利再利用待定系数法求标准方程用待定系数法求标准方程.【解析解析】（1 1）因为双曲线的中心在原点，焦点在）因为双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，所以轴上，所以可设双曲线的方程为可设双曲线的方程为又双曲线

15、经过点（又双曲线经过点（0 0，2 2）与）与所以所以所以双曲线方程为所以双曲线方程为（2 2）焦点在焦点在x x轴上，轴上，设所求双曲线方程为设所求双曲线方程为 （其中（其中0 06 6）.双曲线经过点（双曲线经过点（-5-5，2 2），），=5=5或或=30=30（舍去）（舍去）.所求双曲线方程是所求双曲线方程是1.1.双曲线的两焦点坐标是双曲线的两焦点坐标是F1 1(3,0)(3,0)，F2 2(3,0)3,0)，b2 2，则双曲，则双曲线的标准方程是线的标准方程是()()(A)(B)(A)(B)(C)(D)(C)(D)【解析解析】选选A.A.由题知由题知b=2,=2,c=3.=3.a2

16、 2=c2 2-b2 2=5.=5.又焦点在又焦点在x轴上，故选轴上，故选A.A.2.2.双曲线方程为双曲线方程为x2 22 2y2 21 1，则它的右焦点坐标为，则它的右焦点坐标为()()(A)(B)(A)(B)(C)(D)(C)(D)【解析解析】选选C.C.将双曲线方程化为标准形式将双曲线方程化为标准形式所以所以右焦点坐标为右焦点坐标为3.3.设设是三角形的一个内角，且是三角形的一个内角，且 则方程则方程 所表示的曲线为所表示的曲线为()()(A)(A)焦点在焦点在x轴上的椭圆轴上的椭圆(B)(B)焦点在焦点在y轴上的椭圆轴上的椭圆(C)(C)焦点在焦点在x轴上的双曲线轴上的双曲线(D)(D)焦点在焦点在y轴上的双曲线轴上的双曲线【解析解析】选选C.C.由由 得得sinsincoscos0,0,又又为三角形的一个内角为三角形的一个内角,sinsin0,cos0,cos0,0,方程表示的是焦点在方程表示的是焦点在x轴上的双曲线，故选轴上的双曲线，故选C.C.4.4.焦点在坐标轴上，中心在原点，且经过点焦点在坐标轴上，中心在原点，且经过点 和和 的双曲线方程是的双曲线方程是_._.【解析解析】设双曲线的方程为设双曲线的方程为mx2 2ny2 21(1(mn0)0)，把，把P，Q两点两点的坐标代入，得的坐标代入，得 解得解得所以双曲线的标准方程是所以双曲线的标准方程是答案：答案：