时间序列数据的平稳检验

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1、1 第五章 时间序列数据的平稳性检验 2 本章要点 平稳性的定义 平稳性的检验方法（ ADF检验） 伪回归的定义 协整的定义及检验方法（ AEG方法） 误差修正模型的含义及表示形式 3 第一节 随机过程和平稳性原理 一、随机过程 一般称依赖于参数时间 t的随机变量集合 为随 机过程。 例如，假设样本观察值 y1， y2,y t是来自无穷随机 变量序列 y -2, y-1,y0 ,y1 ,y2 的一部分，则这个 无穷随机序列称为随机过程。 ty 4 随机过程中有一特殊情况叫白噪音，其定义 如下：如果随机过程服从的分布不随时间改 变，且 ( ) 0tEy （对所有 t） 22 yv a r ( )

2、 ( )tty E y 常数 （对所有 t） c o v ( , ) ( * ) 0t s t sy y E y y （ ） ts 那么，这一随机过程称为白噪声。 5 二、平稳性原理 如果一个随机过程的均值和方差在时间过程上都 是常数，并且在任何两时期的协方差值仅依赖于 该两时期间的距离或滞后，而不依赖于计算这个 协方差的实际时间，就称它为平稳的。 6 平稳随机过程的性质： 均值 （对所有 t） 方差 （对所有 t） 协方差 （对所有 t） 其中 即滞后 k的协方差 或自 (身 )协方差 ， 是 和 ，也就是相隔 k期的两值之间的协方差。 ()tEy 22v a r ( ) ( )tty E

3、y ( ) ( ) k t t kE y y k ty tky 7 三、伪回归现象 将一个随机游走变量（即非平稳数据）对另一个 随机游走变量进行回归可能导致荒谬的结果，传 统的显著性检验将告知我们变量之间的关系是不 存在的。 有时候时间序列的高度相关仅仅是因为二者同时 随时间有向上或向下变动的趋势，并没有真正的 联系。这种情况就称为“伪回归”（ Spurious Regression）。 8 第二节 平稳性检验的具体方法 一、单位根检验 （一）单位根检验的基本原理 David Dickey和 Wayne Fuller的单位根检验 （ unit root test）即迪基 富勒（ DF）检验，

4、是在对数据进行平稳性检验中比较经常用到的一 种方法。 9 DF检验的基本思想： 从考虑如下模型开始： 1t t tY Y u （ 5.1） 其中 即前面提到的白噪音（零均值、恒定方 差、非自相关）的随机误差项。 tu 10 由式 (5.1),我们可以得到： 1 2 1t t tY Y u (5.2) 2 3 2t t tY Y u (5.3) T T - 1 Tt t tY Y u (5.4) 11 依次将式 (5.4)(5.3) 、 (5.2)代入相邻的上式，并 整理，可得： T 2 Tt T 1 2 T.t t t t tY Y u u u u （ 5.5） 根据 值的不同，可以分三种情况

5、考虑： （ 1）若 1，则当 T 时， 0，即对 序列的冲击将随着时间的推移其影响逐渐减弱， 此时序列是稳定的。 T 12 （ 2）若 1，则当 T 时， ，即对序列 的冲击随着时间的推移其影响反而是逐渐增大的， 很显然，此时序列是不稳定的。 （ 3 ）若 =1，则当 T 时， =1，即对序列 的冲击随着时间的推移其影响是不变的，很显然， 序列也是不稳定的。 T T 13 对于式（ 5.1）， DF检验相当于对其系数的显著 性检验，所建立的零假设是： H0 ： 如果拒绝 零假设，则称 Yt没有单位根，此时 Yt是平稳的； 如果不能拒绝零假设，我们就说 Yt具有单位根， 此时 Yt被称为随机游走

6、序列（ random walk series）是不稳定的。 1 14 方程（ 5.1）也可以表达成： 11( 1 )t t t t tY Y u Y u （ 5.6） 其中 = - ， 是一阶差分运算因子。 此时的零假设变为： H0： =0。注意到如果不 能拒绝 H0，则 = 是一个平稳序列，即 一阶差分后是一个平稳序列，此时我们称一阶 单整过程（ integrated of order 1）序列，记为 I (1)。 tY tY 1tY tY tu tY 15 I (1)过程在金融、经济时间序列数据中是最普遍 的，而 I (0)则表示平稳时间序列。 从理论与应用的角度， DF检验的检验模型有如

7、下 的三个： 11( 1 )t t t t t tY Y u Y Y u 即 （ 5.7） 1 1 1 1( 1 )t t t t t tY Y u Y Y u 即 （ 5.8） 1 2 1 1 2 1( 1 )t t t t t tY t Y u Y t Y u 即 （ 5.9） 16 其中 t是时间或趋势变量，在每一种形式中，建 立的零假设都是： H0： 或 H0： ，即存在 一单位根。（ 5.7 ）和另外两个回归模型的差别 在于是否包含有常数（截距）和趋势项。如果误 差项是自相关的，就把（ 5.9）修改如下： 1 0 1 2 1 1 m t t i t i t i Y t Y Y （ 5

8、.10） 17 式（ 5.10）中增加了 的滞后项，建立在式 （ 5.10）基础上的 DF检验又被称为增广的 DF检 验（ augmented Dickey-Fuller，简记 ADF）。 ADF检验统计量和 DF统计量有同样的渐近分布， 使用相同的临界值。 tY 18 （二） ADF检验模型的确定 首先，我们来看如何判断检验模型是否应该包 含常数项和时间趋势项。解决这一问题的经验 做法是：考察数据图形 其次，我们来看如何判断滞后项数 m。在实证 中，常用的方法有两种： 19 （ 1）渐进 t检验。该种方法是首先选择一个较 大的 m值，然后用 t检验确定系数是否显著，如 果是显著的，则选择滞后

9、项数为 m;如果不显著， 则减少 m直到对应的系数值是显著的。 （ 2）信息准则。常用的信息准则有 AIC信息准 则、 SC信息准则，一般而言，我们选择给出了 最小信息准则值的 m值 20 二、非平稳性数据的处理 一般是通过差分处理来消除数据的不平稳性。 即对时间序列进行差分，然后对差分序列进行 回归。对于金融数据做一阶差分后，即由总量 数据变为增长率，一般会平稳。但这样会让我 们丢失总量数据的长期信息，而这些信息对分 析问题来说又是必要的。这就是通常我们所说 的时间序列检验的两难问题。 21 第三节 协整的概念和检验 一、协整的概念和原理 有时虽然两个变量都是随机游走的，但它们的某 个线形组

10、合却可能是平稳的。在这种情况下，我 们称这两个变量是协整的。 比如：变量 Xt和 Yt是随机游走的，但变量 Zt=Xt+Yt可能是平稳的。在这种情况下，我们称 Xt和 Yt是协整的，其中 称为协整参数 （ cointegrating parameter）。 22 为什么会有协整关系存在呢？ 这是因为虽然很多金融、经济时间序列数据都是 不平稳的，但它们可能受某些共同因素的影响， 从而在时间上表现出共同的趋势，即变量之间存 在一种稳定的关系，它们的变化受到这种关系的 制约，因此它们的某种线性组合可能是平稳的， 即存在协整关系。 23 假如有序列 Xt和 Yt，一般有如下性质存在： (1) 如果 X

11、t I (0)，即 Xt是平稳序列，则 a+bXt也 是 I (0)； (2) 如果 Xt I (1)，这表示 Xt只需经过一次差分就 可变成平稳序列。那么 a+bXt也是 I (1)； (3) 如果 Xt和 Yt都是 I (0)，则 aXt+bYt是 I (0) ； 24 （ 4）如果 Xt I (0)， Yt I (1)，则 aXt+bYt是 I (1)， 即 I (1)具有占优势的性质。 （ 5）如果 Xt和 Yt都是 I (1)，则 aXt+bYt一般情况下 是 I (1)，但不保证一定是 I (1)。如果该线性组合是 I (0)， Xt和 Yt就是协整的， a、 b就是协整参数。 2

12、5 二、协整检验的具体方法 （一） EG检验和 CRDW检验 假如 Xt和 Yt都是 I (1)，如何检验它们之间是否存 在协整关系，我们可以遵循以下思路： 首先用 OLS对协整回归方程 进 行估计。 然后，检验残差 是否是平稳的。因为如果 Xt和 Yt没有协整关系，那么它们的任一线性组合都是 非平稳的，残差 也将是非平稳的。 te te t t tyx 26 检验 是否平稳可以采用前文提到的单位根检 验，但需要注意的是，此时的临界值不能再用 (A)DF检验的临界值，而是要用恩格尔和格兰杰 （ Engle and Granger）提供的临界值，故这种 协整检验又称为（扩展的）恩格尔格兰杰检验

13、(简记 (A)EG检验）。 te 27 此外，也可以用协整回归的 Durbin-Watson统计 检验（ Cointegration regression Durbin-Watson test,简记 CRDW）进行。 CRDW检验构造的统计 量是： 2 1 2 () () tt t eeDW e 对应的零假设是： DW=0 28 若 是随机游走的，则 的数学期望为 0， 所以 Durbin-Watson统计量应接近于 0，即不能拒 绝零假设；如果拒绝零假设，我们就可以认为变 量间存在协整关系。 上述两种方法存在如下的缺点： （ 1） CRDW检验对于带常数项或时间趋势加上 常数项的随机游走是不

14、适合的，因此这一检验一 般仅作为大致判断是否存在协整的标准。 （ 2）对于 EG检验，它主要有如下的缺点： te 1()ttee 29 当一个系统中有两个以上的变量时，除非我们 知道该系统中存在的协整关系的个数，否则是很 难用 EG法来估计和检验的。因此，一般而言， EG检验仅适用于包含两个变量、即存在单一协整 关系的系统。 仿真试验结果表明，即使在样本长度为 100时， 协整向量的 OLS估计仍然是有偏的，这将会导致 犯第二类错误的可能性增加，因此在小样本下 EG 检验结论是不可靠的。 30 （二） Johansen协整检验。 （ 1） Johansen协整检验的基本思想 其基本思想是基于

15、VAR模型将一个求极大似然 函数的问题转化为一个求特征根和对应的特征向 量的问题。 下面我们简要介绍一下 Johansen协整检验的基 本思想和内容： 31 对于如下的包含 g个变量， k阶滞后项的 VAR模型： t 1 t- 1 2 t- 2 k t- k ty y + y +. y +u （ 5.11） 假定所有的 g个变量都是 I(1)即一阶单整过程。其 中， yt、 yt-1 yt-k为 g 1列向量， 12k为 g g系 数矩阵， 为白噪音过程的随机误差项组成的 g 1 列向量。 tu 32 对式 5.11做适当的变换，可以得到如下的以 VECM形式表示的模型： t t- k 1 t

16、- 1 2 t- 2 k- 1 t- ( k- 1) ty y + y + y + . y + u （ 5.12） 其中 ， Ig为 g阶单位矩阵， k ig j1 ( ) I i i j g j1 ( ) I 33 我们所感兴趣的是 系数矩阵，它可以看作 是一个代表变量间长期关系的系数矩阵。因为 在长期达到均衡时，式 5.12所有的差分变量都 是零向量， 中随机误差项的期望值为零，因 此我们有 =0，表示的是长期均衡时变量间 的关系。 tu t-ky 34 对变量之间协整关系的检验可以通过计算 系数矩阵的秩及特征值来判断。将 系数矩 阵的特征值按照从大到小的顺序排列， 即： 。如果变量间不存

17、在协整 关系（即长期关系），则的秩就为零 。 1 2 g. 35 Johansen协整检验有两个检验统计量： 迹检验统计量 ： ，其中 r为假设的协整关系的 个数， 为 的第 i个特征值的估计值（下同）。 对应的零假设是： H0：协整关系个数小于等于 r； 被择假设： H1：协整关系个数大于 r。 最大特征值检验统计量 ： 对应的零假设： H0：协整关 系个数等于 r；相应的被择假设： H1:协整关系个数 为 r+1。 trace g tr a c e i i= r + 1 =- T l n( 1- ) i max m a x r + 1( r , r + 1 ) = - Tl n ( 1 -

18、 ) 36 首先看 ， 迹检验实际上是一个联合检验： ， 因为当 时， 也为零，且在 范围内， 越大， 越小， 越大。如果 大于临界 值，则拒绝零假设，说明存在的协整个数大于 r， 这时应继续检验新的零假设：协整关系个数小于等 于 r+1 直至 小于临界值。 trace r + 1 r + 2 g= = = 0 .= i=0 iln( 1- ) i0 1 i iln( 1- ) tracetrace trace 37 再来看 。当 大于临界值时，我们拒绝协 整关系个数等于 r的原假设，然后继续检验新的 假设：协整关系个数为 r+1， ，直到 小于 临界值 。 max max max Johan

19、sen协整检验的临界值已由 Johansen给出。 在实际应用中，上述两个检验可以同时使用，一 般而言，两种检验给出的结果是相同的，但也可 能会给出不同的结论。 38 （ 2） Johansen协整检验模型形式的确定。 Johansen协整检验方程形式的确定包括两部分： 一是确定 VECM模型和 是否应包含常数项 和时间趋势项；二是确定滞后项数（即 k值）。 对于前者，我们可以根据变量的数据图形来检验 （同 ADF检验）；对于后者，我们可以利用前面 ADF检验中提到的渐进 t检验和信息准则法。 t-ky 39 （ 3）如何在 Eviews软件中做 Johansen协整检 验 下面我们通过一个例

20、子说明如何在 Eviews软 件中做 Johansen协整检验。 例 5.1：对我国货币政策传导机制信贷渠道的 实证检验 40 利用我国的数据对信贷渠道进行实证分析，来 看变量之间是否存在长期稳定的关系，即协整 关系。我们以货币供应量 M1和 M2作为货币政 策的起始变量，以金融机构贷款余额 (DEBT) 表示信贷量，以其作为中间变量，以 GDP和 零售物价指数（ CPI）作为货币政策的效果变 量。 41 1、对原始数据进行适当的处理，如季节调整、 对数化等。 2、 对变量进行平稳性检验。 3、 如果变量水平值是不平稳的，我们就要对 它的一阶差分进行平稳性检验 。 4、进行协整检验 ，并进行济

21、济学意义上的分 析。 42 第四节 误差修正模型 Engle和 Granger于 1987年提出了误差修正模型 的完整定义并加以推广。 假设 Yt和 Xt之间的长期关系式为： 1 ttY K X （ 5.13） 式中， K和 为估计常量。例如， Y可以是商品 的需求量， X则是价格。 就是 Y对 X的长期弹 性。 1 1 43 对式（ 5.13）两边取对数可得： 所以当 y不处在均衡值的时候，等式两边就会 有一个差额存在，即 （ 5.15） 来衡量两个变量之间的偏离程度。当 X、 Y处于 均衡的时候，这时误差值为零。 *1 0 1l n l n l nt t tY K X x t 或 y （

22、5.14） 我们用小写字母表示对数，其中 =ln(K)。但 是这种均衡情况在经济体系中是很少存在的。 *0 * 01ttyx 44 由于 X和 Y通常处于非均衡状态，可以建立一个 包含 X和 Y滞后项的短期或非均衡关系，假设采 取如下形式： 0 1 2 1 1t t t t ty b b x b x y 01 （ 5.16） （ 5.16）式是基础的形式，只包括一阶滞后项， 说明对于变量 X的变化，变量 Y需要一段时间进 行调整。 45 在对（ 5.16）进行估计的时候，其中的变量可 能是不平稳的，不能运用 OLS估计，否则将出 现伪回归现象。对此，重新进行转化。两边分 别减去 yt-1 ：

23、得 并进一步进行变化： 即， （ 5.18） 1 0 1 2 1 1( 1 )t t t t t ty y b b x b x y （ 5.17） 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1( 1 )t t t t t t t ty y b b x b x b x b x y 0 1 1 2 1 1()t t t t ty b b x b b x y 46 并进一步进行变化： 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1( 1 )t t t t t t t ty y b b x b x b x b x y ，即： 0 1 1 2 1 1()t t t t ty b b x b b x y （ 5.18）

24、 在这里 。我们对上式进行重新整理， 得到： (1 ) 47 在这里 。我们对上式进行重新整理， 得到： 0 1 1 1 1()t t t t ty b b x y x （ 5.19） 其中定义新变量 1=（ b1+b2） / ，并进 一步进行变换得到： 1 1 0 1 1()t t t t ty b x y x （ 5.20） 其中定义第二个新变量 0=b0/ 。 (1 ) 48 根据式（ 5.20）， Y的当前变化决定于 X的变换 以及前期的非均衡程度，也就是说前期的误差 项对当期的 Y值进行调整。所以（ 5.20）就是 一阶误差修正模型，也是最简单的形式。 表示系统对均衡状态的偏离 程度

25、，可以称之为“均衡误差”。 在模型（ 5.20）中， 描述了对 均衡关系偏离的一种长期调解。这样在误差修 正模型中，长期调节和短期调节的过程同样被 考虑进去。因而，误差修正模型的优点在于它 提供了解释长期关系和短期调节的途径。 1 1 0 1 1t t tyx 1 0 1 1ttyx 49 当 且 的时候，后者意味着 比 均衡值高出太多。由于 ，那么 ， 因此 。换句话说，如果 高于均衡值 水平，那么在下一个时间段， 会开始下降， 误差值就会被慢慢修正，这就是所说的误差修 正模型。当 ，则是完全相反的情况， 整个机制是相同的。 0tx 1 0t 1ty 0 1 0t 0ty 1ty 1ty 1

26、 0t 50 误差修正模型包含了长期和短期的信息。长期 的信息包含在 项里，因为 仍然是长期乘数， 且误差项来自 x和 y的回归方程。短期信息一部 分显示在均衡误差项中，即当 y处于非均衡状 态时，在下一期里会由于误差项的调整慢慢向 均衡值靠拢；另一部分信息来自 Xt，解释变 量的概括。这一项表明，当 x发生变化， y也会 相应的发生变化。 1t 51 第五节 因果检验 因果关系检验主要有两种：格兰杰（ Granger） 因果检验和希姆斯（ Sims）检验 一、格兰杰因果检验 该理论的基本思想是：变量 x和 y，如果 x的变 化引起了 y的变化， x的变化应当发生在 y的变 化之前。即如果说“

27、 x是引起 y变化的原因”， 则必须满足两个条件： 52 第一， x应该有助于预测 y，即在 y关于 y的过去 值的回归中，添加 x的过去值作为独立变量应 当显著的增加回归的解释能力。 第二， y不应当有助于预测 x，其原因是如果 x 有助于预测 y， y也有助于预测 x，则很可能存 在一个或几个其他的变量，它们既是引起 x变 化的原因，也是引起 y变化的原因。 53 要检验这两个条件是否成立，我们需要检验一 个变量对预测另一个变量没有帮助的原假设。 首先，检验“ x不是引起 y变化的原因”的原假 设，对下列两个回归模型进行估计： 无假设条件回归： 有假设条件回归： 11 mm i t i i

28、 t i t ii Y Y X （ 5.21） 1 m i t i t i YY （ 5.22） 54 然后用各回归的残差平方和计算 F统计值，检 验系数 1， 2， ， m是否同时显著的不为 0。 如果是这样，我们就拒绝 “ x不是引起 y变化的 原因 ” 的原假设。 55 其中 F统计值的构成为： () ()R U R UR RSS RSSF N K q RSS （ 5.23） 其中 和 分别为有限制条件回归和无 限制条件回归的残差平方和； N是观察个数； K 是无限制条件回归参数个数； q是参数限制个 数。该统计量服从 F(q, N-K)分布。 RRSS URRSS 56 显然，如果 F

29、统计值大于临界值，我们就拒绝 原假设，得到 x是引起 y变化的原因。反之，接 受原假设。 接下来，检验“ y不是引起 x变化的原因”的原 假设，做同样的回归估计，但是交换 x与 y，检 验 y的滞后项是否显著的不为 0。 要得到 x是引起 y变化的原因的结论，我们必须 拒绝原假设“ x不是引起 y变化的原因”，同时 接受原假设“ y不是引起 x变化的原因”。 57 需要注意的是，格兰杰因果检验的结果对式 （ 5.21）中滞后项数 m是非常敏感的， m值不 同，得到的结果也有可能不同。为保证结果的 正确性，一般来说，最好多试验几个不同的 m 值，以保证结果不受 m选择的影响。还要注意 这个因果关

30、系检验的一个不足之处是第三个变 量 z也可能是引起 y变化的原因，而且同时又与 x 相关。 58 二希姆斯检验 希姆斯检验的思想是认为未来发生的变化不能 影响现在。和格兰杰检验一样，有着比较直观 的解释。其非限制性方程如下： 0 11 () nm t i t i j t j m j t j ij X X Y Y （ 5.24） 注意上式中 X是因变量而非自变量。其中零假 设是 Y不是 X的原因，采用了 ，若 Y 是 X 的原因，则 不成立。希 姆斯检验方法的缺点在于 m的确定， m多增加 一个，自由度就会相应减少一个。 12, .ttYY 12 . . . . . . 0j 59 第六节 实例

31、 金融数据的平稳性检验 下面我们借用 Eviews来分析一下上海证券市场 A股成份指数（简记 SHA）和深圳证券市场 A 股成份指数（简记 AZA）之间的关系，同时也 通过这个实例来回顾一下 Eviews的使用。 60 步骤如下： 1、对数据进行平稳性检验 2、协整检验 3、因果检验 4、误差纠正机制 ECM（ error correction mechanism） 5、经济学分析 61 本章小节 本章主要介绍了经济时间序列存在的不平稳性， 并提供了 DF和 ADF两种检验平稳性的方法。不平 稳的序列容易导致伪回归问题，为解决伪回归问 题引出了协整检验，详细介绍了协整的概念和具 体的协整检验过程。协整描述了变量之间的长期 关系，为了进一步研究变量之间的短期均衡的存 在，介绍了误差纠正模型。在讨论变量之间的因 果关系的时候，介绍了格兰杰和希姆斯因果检验 两种方法。