第五节数列求和

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1、第五节数列求和第五节数列求和基础梳理基础梳理数列求和的常用方法(1)公式法 直接用等差、等比数列的求和公式 掌握一些常见的数列的前n项和 123n_；135(2n1)_.n2(2)倒序相加法如果一个数列an，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和就可用倒序相加法，如_数列的前n项和就是用此法推导的等差(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如_数列的前n项和就是用此法推导的等比(4)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和常见的拆项公式

2、有：_；_；_.(5)分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即先分别求和，然后再合并，形如：anbn，其中an是等差数列，bn是等比数列；an 基础达标基础达标1.(原创题)数列1,0，3，n22n，的前n项和为_解析：Sn10(3)n22n(32)(44)(58)(n22n)(345n2)(2482n)n(n5)2n12.2.(必修5P40引例改编)若x1x21，且f(x1)f(x2)则fff_.解析：x1x21，f(x1)f(x2)又 令S S 2S(n1)S 3.(必修5P62复习题7改编)数列an的前n项和为Sn，

3、若an 则S5_.解析：an S5 4.(必修5P54例3改编)_.(x0，y1，x1)解析：x0，x1，y1，5.(必修5P58习题6改编)求数列1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1，(a0)的前n项和解析：当a1时，数列变为1,3,5,7，(2n1)，Sn1357(2n1)当a1时，有Sn13a5a27a3(2n1)an1，aSna3a25a37a4(2n1)an，令，得SnaSn12a2a22a32a42an1(2n1)an，即(1a)Sn12 (2n1)an.1a0，Sn经典例题经典例题题型一利用错位相减法求和【例1】(2011扬州中学高三上学期期中考试)已知数列an的前n项和S

4、nn22n，设数列bn满足anlog2bn.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列bn的前n项和Tn;(3)设Gna1b1a2b2anbn，求Gn.分析(1)由Sn与an的关系求出an的通项公式；(2)可证数列bn是等比数列，直接用等比数列的前n项和公式求解；(3)由Gna1b1a2b2anbn的特点可知，应用错位相减法求和解：(1)Snn22n，当n2时，anSnSn12n1；当n1时，a1S13，也满足上式，综上所述，an2n1.(2)由anlog2bn得bn2an22n1，数列bn是等比数列，其中b18，q4.Tn232522n1(3)Gn323525(2n1)22n1，4Gn3255

5、27(2n1)22n1(2n1)22n3，两式相减得：3Gn323(225227222n1)(2n1)22n3；24 (2n1)22n3即3Gn24(262822n2)(2n1)22n3 变式11(2010四川)已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(4an)qn1(q0，nN N*)，求数列bn的前n项和Sn.解析：(1)设an的公差为d，由已知得解得a13，d1.故an3(n1)4n.(2)由(1)的解答可得，bnnqn1，于是Sn1q02q13q2nqn1，若q1，将上式两边同乘以q有qSn1q12q2(n1)qn1nqn，两式相减得(q1

6、)Snnqn1q1q2qn1nqn 于是Sn 若q1，则Sn123n 所以Sn 题型二利用裂项相消法求和【例2】(2010山东)已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN N*)，求数列bn的前n项和Tn.分析本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟悉数列的基础知识是解答好本题的关键 解：(1)设等差数列an的公差为d，因为a37，a5a726，所以有 解得a13，d2，所以an32(n1)2n1；Sn3n 2n22n.(2)由(1)知an2n1，所以bn 所以Tn 变式21 已知在等比数列an中，a12

7、，公比q2，又在等差数 列bn中，b2a1，b8a3.(1)求数列bn的通项公式bn及前n项和Sn；(2)若cn 求数列cn的前n项和Tn.解析：(1)由已知a3a1q28，则 设bn的首项为b1，公差为d，则 解得b11，d1，故bn1(n1)1n，Snn1 1(2)由(1)知cn Tnc1c2cn2 题型三倒序相加法求和的图象上有两点P1(x1，y1)，【例3】设函数f(x)P2(x2，y2)，若P为P1P2的 中点，且P点的横坐标为(1)求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值；(2)求的值 分析(1)由已知函数图象上两点P1，P2，可得 设P(x，y)，根据中点坐标公式去求y(2)根据(

8、1)的结论：若x1x21，则由f(x1)f(x2)1，可以得到 利用倒序相加法求解解：(1)点P为P1P2的中点，x1x21，yP又y1y2 yP(2)由x1x21，得y1y2f(x1)f(x2)1，f(1)设Sn 又Sn 2Sn 2f(1)n2 即Sn 变式31如果函数f(x)满足：对任意的实数m、n都有f(m)f(n)f(mn)且f(1005)2，求f(2)f(4)f(6)f(2008)的值解析：由f(x)对任意实数m、n都有f(m)f(n)f(mn)，得f(1005)f(1005)f(2010)224；f(2)f(2008)f(2010)4；f(1004)f(1006)4.令Sf(2)f

9、(4)f(6)f(2008)，又Sf(2008)f(2006)f(2)，所以2Sf(2)f(2008)f(4)f(2006)f(2008)f(2)41 0044016，故S 40162008.题型四分组法求和【例4】(2011南京师大附中模拟)各项均为正数的数列an 的前n项和为Sn，Sn an2 an(nN N*)(1)求an的通项公式；(2)令bn cnb2n4(nN N*)，求cn的前n项和Tn.分析(1)根据an与Sn的关系求解(2)n3时，cn2n12，故求cn的前n项和使用分组法求和解：(1)a1S1 a1 a10，a10，a12；当n2时，anSnSn1 an an1，(anan

10、1)0，即(anan1)(anan12)0an0，anan12，an为等差数列，an2n(nN N*)(2)c1b6b3a36，c2b8b4b2b1a12，n3时，cnb2n4b2n12b2n21a2n212n12，此时，Tn8(222)(232)(2n12)2n2n；Tn 变式41 求和：Sn 解析：当x1时，当x1时，Sn4n.链接高考链接高考(2010重庆)已知an是首项为19，公差为2的等差数列，Sn为an的前n项和(1)求通项an及Sn；(2)设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式及其前n项和Tn.知识准备：1.要熟悉等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式；2.熟悉数列求和的分组法求和(1)因为an是首项为a119，公差d2的等差数列，所以an192(n1)2n21，Sn19n (2)n220n.(2)由题意bnan3n1，所以bn3n12n21，所以TnSn(133n1)n220n