《量子力学》题库

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1、量子力学题库一、 简答题1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义答：微观粒子的能量和动量分别表示为：其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。等式左边的能量和动量是描述粒子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。2 简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。按这种解释，描写粒子的波是几率波。3 根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在

2、空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。4 设描写粒子状态的函数可以写成，其中和为复数，和为粒子的分别属于能量和的构成完备系的能量本征态。试说明式子的含义，并指出在状态中测量体系的能量的可能值及其几率。答：的含义是：当粒子处于和的线性叠加态时，粒子是既处于态，又处于态。或者说，当和是体系可能的状态时，它们的线性叠加态也是体系一个可能的状态；或者说，当体系处在态时，体系部分地处于态、中。在状态中测量体系的能量的可能值为和

3、，各自出现的几率为和。5 什么是定态？定态有什么性质？答：定态是指体系的能量有确定值的态。在定态中，所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。6 什么是全同性原理和泡利不相容原理？两者的关系是什么？答：全同性原理是指由全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。泡利不相容原理是指不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。两者的关系是由全同性原理出发，推论出全同粒子体系的波函数有确定的交换对称性，将这一性质应用到费米子组成的全同粒子体系，必然推出费米不相容原理。7 试简述波函数的标准条件。答：波函数在变量变化的全部区域内应满足三个条件：有限性、连续性和单值性。

4、8 为什么表示力学量的算符必须是厄米算符？答：因为所有力学量的数值都是实数。而表示力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值，所以表示力学量的算符的本征值必须是实数。厄米算符的本征值必定是实数。所以表示力学量的算符必须是厄米算符。9 请写出微扰理论适用条件的表达式。答：， 10 试简述微扰论的基本思想。答：复杂的体系的哈密顿量 分成 与 两部分。 是可求出精确解的，而 可看成对 的微扰。只需将精确解加上由微扰引起的各级修正量，逐级迭代，逐级逼近，就可得到接近问题真实的近似解。11 简述费米子的自旋值及其全同粒子体系波函数的特点，这种粒子所遵循的统计规律是什么？答：由电子、质子、中子这些自旋为的粒

5、子以及自旋为的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的，这类粒子服从费米(Fermi) 狄拉克 (Dirac) 统计，称为费米子。12 通常情况下，无限远处为零的波函数所描述的状态称为什么态？一般情况下，这种态所属的能级有什么特点？答：束缚态，能级是分立的。13 简述两个算符存在共同的完备本征态的充要条件，并举一例说明（要求写出本征函数系）。在这些态中，测量这两个算符对应的力学量时，两个测量值是否可以同时确定？答：两个算符存在共同的完备本征函数系的充要条件是这两个算符对易。例如，这两个算符有共同的完备本征函数系。14 若两个力学量的算符不对易，对这两个力学量同时进行测量时，一般地它们是

6、否可以同时具有确定值？它们的均方偏差之间有什么样的关系？答：不可能同时具有确定值。它们的均方偏差之间满足海森堡不确定性关系。15 请写出线性谐振子偶极跃迁的选择定则。答： 16 指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。 ； ； 解：是线性算符 不是线性算符 是线性算符 17 指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。 18 下列函数哪些是算符的本征函数，其本征值是什么？ ， ， ， 解： 不是的本征函数。 不是的本征函数，其对应的本征值为1。 可见，是的本征函数，其对应的本征值为1。 是的本征函数，其对应的本征值为1。 是的本征函数，其对应的本征值为1。 19 问下列算符是否是厄米算符： 解： 因

7、为 不是厄米算符。 是厄米算符。20 全同粒子体系的波函数应满足什么条件？答：描写全同粒子体系的波函数只能是对称的或是反对称的，且它们的对称性不随时间改变。二、 证明题1 已知粒子在中心力场中运动，试证明（角动量在方向的分量）是守恒量。证：因为粒子在势函数为的中心力场中运动时，哈密顿算答是 因为与、有关而与无关，且所以，2 试证：对于一维运动，设有两个波函数及是对应于同一级量E的解，则常数。其中，“”是对x的微商。证：因为，所以凑全微分得：积分得： 常数3 试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。证明：设和是对应于同一能级E的不同本征态，则常数。在特例下，令0，即由此得： 所以和描述同一个态。4

8、 试在一维情况下证明哈密顿算符是厄米算符。证明：考虑一维情况 为厄密算符, 为厄密算符, 为实数 为厄密算符 为厄密算符5 已知轨道角动量的两个算符 和 共同的正交归一化本征函数完备集为 ,取 试证明: 也是 和 共同本征函数, 对应本征值分别为: 。证。 是 的对应本征值为 的本征函数 是 的对应本征值为 的本征函数6 .证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于定态，可令 可见无关。7 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。 证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为 将式中的代换，得 利用，得 比较、式可知，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数

9、。由于它们描写的是同一个状态，因此之间只能相差一个常数。方程、可相互进行空间反演 而得其对方，由经反演，可得， 由再经反演，可得，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 乘 ，得 可见， 当时，具有偶宇称， 当时，具有奇宇称， 当势场满足时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。8 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 证：电子的电流密度为 在球极坐标中为 式中为单位矢量 中的和部分是实数。 可见， 9 如果算符满足关系式，求证 证： 10 证明：证：由对易关系 及对易关系 ， 得 上式两边乘，得 11 证明和组成的正交归一系。证： = 1= 0 = 0同理可证其它的正交归一关系

10、。 12 对于无限深势阱中运动的粒子（如图所示）证明 并证明当时上述结果与经典结论一致。解写出归一化波函数： （1）先计算坐标平均值：利用公式： （2）得 （3）计算均方根值用以知，可计算利用公式 （5） （6） 在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度。故当时二者相一致。13 设是的可微函数，证明下述各式：一维算符（1）（证明）根据题给的对易式及（2）（证明）同前一论题（3）证明同前一题论据：（4）证明根据题给对易式外，另外应用对易式 （5）（证明）论据同（4）：（6）（证明）论据同（4）：14 设算符A，B与它们的

11、对易式A，B都对易。证明(甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下：按题目假设重复运算n-1次以后，得15 证明 是厄密算符证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。另一方法是根据厄密算符的定义：用于积分最后一式：前式=说明题给的算符满足厄密算符定义。16 定义（反对易式）证明： 其中，与，对易。（证明）第一式等号右方第一式等号左方第二式等号右方因，与，对易，前式17 证明力学量（不显含）的平均值对时间的二次微商为：（是哈密顿量）（解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学

12、量 不显含，有（）将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量的平均值，则有：（）此式遍乘即得待证式。18 试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。证明：设和是对应于同一能级E的不同本征态，则常数。在特例下，令0，即由此得： 所以和描述同一个态。19 证明泡利矩阵满足关系。【证】. 20 试在一维情况下证明哈密顿算符是厄米算符。证明：考虑一维情况 为厄密算符, 为厄密算符, 为实数 为厄密算符 为厄密算符21 已知轨道角动量的两个算符 和 共同的正交归一化本征函数完备集为 ,取 试证明: 也是 和 共同本征函数, 对应本征值分别为: 。证。 是 的对应本征值为 的本征函数 是 的对应本征值为 的

13、本征函数22 22 证明：描写全同粒子体系的波函数的对称性不随时间改变证明：设时刻波函数是对称的，用表示， 因为是对称的，所以在时刻也是对称的，由 知，在时刻也是对称的，故在下一时刻的态函数：也是对称的以此类推，波函数在以后任意时刻都是对称的。同理可证，若某一时刻波函数反对称，则以后任一时刻的波函数都是反对称的。三、 计算题1 由下列定态波函数计算几率流密度： 从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内(即向原点) 传播的球面波。 解：在球坐标中 同向。表示向外传播的球面波。 可见，反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。2 一粒子在一维势场 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：无关，

14、是定态问题。其定态S方程 在各区域的具体形式为 ： ： ：由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必须 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为 令，得 其解为 根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 由归一化条件 得 由 可见E是量子化的。对应于的归一化的定态波函数为 3 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。 解： 令，得 由的表达式可知，时，。显然不是最大几率的位置。 可见是所求几率最大的位置。4 一维谐振子处在基态，求： (1)势能的平均值； (2)动能的平均值； (3)动量的几率分布函数。解：(1) (2) 或 (3) 动量几率分布函数为 5 氢原子处

15、在基态，求： (1)r的平均值； (2)势能的平均值； (3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。 解：(1) (3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为 令 当为几率最小位置 是最可几半径。 (4) (5) 动量几率分布函数 6 设t=0时，粒子的状态为 求此时粒子的平均动量和平均动能。解： 可见，动量的可能值为 动能的可能值为 对应的几率应为 上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得 动量的平均值为 7 设氢原子处于状态 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 解：在此能量中，氢原子能量有确定值 角动量平方有确定

16、值为 角动量Z分量的可能值为 其相应的几率分别为 ， 其平均值为 8 试求算符的本征函数。 解：的本征方程为 （的本征值）9 设波函数，求解： 10 证明：如果算符和都是厄米的，那么 (+)也是厄米的 证： +也是厄米的。11 求 解： = 0 12 求 解： = 0 13 求在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。 解： 14 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。解：基矢： 能量：对角元： 当时， 15 求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。 解： 16 求连续性方程的矩阵表示 解：连续性方程为 而 写成矩阵形式为 17 设一体系未受微扰作用时有两个能级：，现在受到微扰的作用

17、，微扰矩阵元为；都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。 解：由微扰公式得 得 能量的二级修正值为 18 计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。 解： 由选择定则，知是禁戒的 故只需计算的几率 而 2p有三个状态，即 (1)先计算z的矩阵元 (2)计算x的矩阵元 (3)计算的矩阵元 (4)计算 19 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则 解： 由 时， 即选择定则为 20 一维无限深势阱中的粒子受到微扰 作用，试求基态能级的一级修正。 解：基态波函数（零级近似）为 能量一级修正为 21 求在自旋态中，和的测不准关系： 解：在表象中、的矩阵表示分别为 在态中 讨论：由、的对易关系 ，要求 在态中

18、， 可见式符合上式的要求。22 求的本征值和所属的本征函数。解：的久期方程为 的本征值为。设对应于本征值的本征函数为 由本征方程 ，得 由归一化条件 ，得即 对应于本征值的本征函数为 设对应于本征值的本征函数为 由本征方程 由归一化条件，得 即 对应于本征值的本征函数为 同理可求得的本征值为。其相应的本征函数分别为 23 求自旋角动量方向的投影 本征值和所属的本征函数。 在这些本征态中，测量有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？的平均值是多少？解：在 表象，的矩阵元为其相应的久期方程为 即： 所以的本征值为。设对应于的本征函数的矩阵表示为，则由归一化条件，得取 ，得 可见， 的可能值为

19、相应的几率为 同理可求得 对应于的本征函数为在此态中，的可能值为 相应的几率为 24 设氢的状态是 求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值； 求总磁矩 的 z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。解：可改写成 从的表达式中可看出的可能值为 0相应的几率为 的可能值为 相应的几率为 25 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为，则体系可能的状态为26 设体系处于态，求（1）的可能测值及其平均值。（2）的可能测值及相应的几率。（3），的可能测值。（解）

20、（1）按照习惯的表示法表示角量子数为，磁量子数m的，的共同本征函数，题材给的状态是一种的非本征态，在此态中去测量都只有不确定，下面假定 从看出，当体系处在态时，的测值，处在态时，的测值为零。 在态中的平均值 （2）又从波函数看出，也可以有两种值，体系处态中时测值为 当体系处在态时的测值为 相应的几率即表示该态的展开式项系数的复平方：， 的并态中的平均值(3)关于在态中，的可能测值可以从对称性考虑来确定，当使用直角坐标表示算符时，有轮换对称性，由于在态中可有二种量子数所以将轮换的结果，知道的可能测值只能是 ，0，同理，的可能测值也是这此值 ，0，27 设粒子处在宽度为的无限深势阱中，求能量表象中

21、粒子坐标和动量的矩阵表示。解一维无限深方势阱的归一化波函数是： 这波函数是能量本征函数，任何力学量的矩阵元是： 此公式用于坐标矩阵： 此式不适用于对角矩阵元，后者另行推导。当m=n时，得对角矩阵元： 动量矩阵元（非对角的） 28 粒子在二维无限深势阱中运动，已知写出第一激发态的能级；问第一激发态的能级是否简度，若是简并，是几重简并？以下的线不知如何去掉？解：（1）二维无限深势阱中运动的粒子，其能级为，所以其基态能级为，而第一激发态能级为， （2）粒子的波函数为所以，第一激发态是二重简并的。29 求一维谐振子的坐标及Hamilton量在能量表象中的矩阵表示。提示：可利用公式：及 解：线性谐振子的

22、能级为 对应的能量本征函数 ， 利用公式(1) （2）30 质量为的粒子在一维势场中运动。设状态由波函数 描述。求（1）粒子能量的可能值及相应的几率；（2）粒子的平均能量；（3）写出状态在能量表象中的波函数。（1）而一维无限深势场中的能量本征函数为，对应的本征值为所以本题中，粒子的能量的可能值是，出现的几率均为1/2。（2）（也可由求出）（3）由（1）得， 所以，在能量表象中， 31 设在 （无微扰时的哈密顿算符）表象中， 的矩阵表示为其中 , 试用微扰论求能级二级修正。解：在 表象中， 32 求在状态 中算符的本征值。解： 所以，算符的本征值为33 已知厄密算符和是二行二列矩阵，且 ， （1

23、） 求算符 的本征值，（2）在A 表象下求算符 的矩阵表示。解：（1） 设 的本征值为 ,本征函数为 , 则 又 同理算符 的本征值也为 .（2） 在A表象，算符 的矩阵为一对角矩阵,对角元素为本征值，即 设 利用 B为厄密算符 即 又 取： 34 （1）粒子在二维无限深方势阱，请写出能级和能量本征函数；（2）加上微扰，求最低能级的一级微扰修正。解： （1）无微扰时， （2）最低能级为基态能级。基态非简并，所以 35 试在为对角的表象中，（1）求的本征值和所属的本征函数；（2）在的本征值为的本征态中，求的平均值；（3）在的本征值为的本征态中，测的可能值及相应的几率。解：（1）设的本征态及所属的

24、本征值为和，则由此可得：，由 得：当 时，当 时，（2） 的本征值为的本征态为所以，（3）将的本征值的本征态展开为：两边相等，得 所以，当时几率 当时几率36 (1)证明 是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在 态中的平均值。解： 即 是 的本征函数。本征值 37 一维谐振子在 时的归一化波函数为 所描写的态中式中， 是谐振子的能量本征函数，求（1） 的数值；（2）在 态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3） 时系统的波函数 。解(1) , 归一化， ， （2） ， ， ； ， ；， ； （3） 时， 所以： 38 已知体系的能量算符为 , 其中 , 为轨道的角动量算符。视 项为

25、微扰项，求能级至二级近似值。计算过程中可用公式： 的精确解为 本征函数 本征能量 按微扰论 利用了公式 能量二级修正为 在二级近似下 39 ，求的值解：由的归一化条件得：1=，所以，或40 求在球谐函数所描述的态中，力学量的平均值。解：因为 所以， 同理， 另解：令，得，所以，四 填空题1 为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率为 ，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率为 。2 ，为单位矩阵，则算符的本征值为_。3自由粒子体系，_守恒；中心力场中运动的粒子_守恒。4力学量算符应满足的两个性质是 。5厄密算符的本征函数具有 。6设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为_。7. _

26、； _； _。8如两力学量算符 有共同本征函数完全系，则 _。9坐标和动量的测不准关系是_。10在定态条件下，守恒的力学量是_。11隧道效应是指_。12量子力学中，原子的轨道半径实际是指_。13 为氢原子的波函数， 的取值范围分别为 。14对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为 ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 。 15设体系的状态波函数为 ，如在该状态下测量力学量 有确定的值 ，则力学量算符 与态矢量 的关系为_。16力学量算符 在态 下的平均值可写为 的条件为_。17量子力学中的态是希尔伯特空间的_；算符是希尔

27、伯特空间的_。18设粒子处于态 ， 为归一化波函数， 为球谐函数，则系数c的取值为 ， 的可能值为， 本征值为 出现的几率为 。 19原子跃迁的选择定则为 。20自旋角动量与自旋磁矩的关系为 。21 为泡利算符，则 ， ， 。22 为自旋算符，则 ， ， 。23乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是 _， _。24轨道磁矩与轨道角动量的关系是_;自旋磁矩与自旋角动量的关系是_。25费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有_,玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有_。26 考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为 （已归一化），则在态 下，自旋算符 对自旋的平均可表示为_；对坐标和自旋同时求平均的结果可表示为_。27 考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为 （已归一化），则 的意义为_；_。五 其它材料原子状态的四个量子数：主量子数n决定量子化的能量 En=E1/n2角量子数l=0,1,2,(n-1). 决定量子化的角动量 L=磁量子数ml=0,1, 2,l.决定角动量量子化的空间取向 Lz=mlh/(2p)自旋磁量子数ms=1/2说明自旋角动量在特定方向只能取两个值 Sz= msh/(2p)泡利不相容原理；量子数为n时,电子的量子态数(或第n壳层最多能容纳的电子数)为zn=