解直角三角形

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1、解直角三角形一、 选择题1. （2014湖南衡阳,第10题3分）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）A26米B28米C30米D46米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.分析：先根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD解答：解：坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，AE=1.5BE=18米，BC=10米，AD=2AE+BC=218+10=46米，故选D点评：此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题2. A9mB6mCmDm（2014

2、丽水，第5题3分）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是（）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.分析：在RtABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长解答：解：在RtABC中，BC=5米，tanA=1：；AC=BCtanA=3米，AB=6米故选B点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键3（2014四川绵阳,第8题3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位

3、于灯塔P的南偏东45方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）A40海里B40海里C80海里D40海里考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：根据题意画出图形，进而得出PA，PC的长，即可得出答案解答：解：过点P作PCAB于点C，由题意可得出：A=30，B=45，AP=80海里，故CP=AP=40（海里），则PB=40（海里）故选：A点评：此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，得出各角度数是解题关键4二、填空题1. （2014黑龙江龙东,第8题3分）ABC中，AB=4，BC=3，BAC=30，则ABC的面积为2+或2（答对1个给2分，多答或含有错误答案不得分）考点：

4、解直角三角形.专题：分类讨论分析：分两种情况：过点B或C作AC或AB上的高，由勾股定理可得出三角形的底和高，再求面积即可解答：解：当B为钝角时，如图1，过点B作BDAC，BAC=30，BD=AB，AB=4，BD=2，AD=2，BC=3，CD=，SABC=ACBD=（2+）2=2+；当C为钝角时，如图2，过点B作BDAC，交AC延长线于点D，BAC=30，BD=AB，AB=4，BD=2，BC=3，CD=，AD=2，AC=2，SABC=ACBD=（2）2=2点评：本题考查了解直角三角形，还涉及到的知识点有勾股定理、直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半2. （2014浙江绍兴,第

5、14题5分）用直尺和圆规作ABC，使BC=a，AC=b，B=35，若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是sin35=或ba考点：作图复杂作图；切线的性质；解直角三角形分析：首先画BC=a，再以B为顶点，作ABC=35，然后再以点C为圆心b为半径交AB于点A，然后连接AC即可，当ACBC时，当ba时三角形只能作一个解答：解：如图所示：若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是：当ACBC时，即sin35=当ba时故答案为：sin35=或ba点评：此题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一角等于已知角的方法3（2014江西，第13题3分）如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方

6、向分别旋转90，180，270后形成的图形。若，AB=2，则图中阴影部分的面积为_.【答案】 124.【考点】 菱形的性质，勾股定理，旋转的性质【分析】 连接AC、BD，AO、BO，AC与BD交于点E，求出菱形对角线AC长，根据旋转的性质可知AOCO。在RtAOC中，根据勾股定理求出AO=CO=，从而求出RtAOC的面积，再减去ACD的面积得阴影部分AOCD面积，一共有四个这样的面积，乘以4即得解。【解答】解：连接BD、AC，相交于点E，连接AO、CO。因为四边形ABCD是菱形，AC BD，ABAD2。BAD60，ABD是等边三角形，BDAB2，BAEBAD30，AEAC，BE=DE=BD=1

7、，在RtABE中，AE，AC2。菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向旋转90，180，270，AOC36090，即AOCO，AOCO在RtAOC中，AO=CO=。SAOC=AOCO=3，SADC=ACDE21,S阴影SAOC SADC=4（3）124所以图中阴影部分的面积为124。4三、解答题1. （2014海南,第22题9分）如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：1.414，1.732，2.236）考点：解直角三角形的应用

8、-仰角俯角问题.分析：首先作CEAB于E，依题意，AB=1000，EAC=30，CBE=45，设CD=x，则BE=x，进而利用正切函数的定义求出x即可解答：解：作CEAB于E，依题意，AB=1464，EAC=30，CBE=45，设CE=x，则BE=x，RtACE中，tan30=，整理得出：3x=1464+x，解得：x=732（）2000米，C点深度=x+600=2600米答：海底C点处距离海面DF的深度约为2600米点评：此题主要考查了俯角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解俯角的定义，然后利用三角函数和已知条件构造方程解决问题2. （2014莱芜，第20题9分）如图，一堤坝的坡角

9、ABC=62，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角ADB=50，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）（参考数据：sin620.88，cos620.47，tan501.20）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.分析：过A点作AECD于E在RtABE中，根据三角函数可得AE，BE，在RtADE中，根据三角函数可得DE，再根据DB=DCBE即可求解解答：解：过A点作AECD于E在RtABE中，ABE=62AE=ABsin62=250.88=22米，BE=ABcos62=250.47=11.75米，在RtADE中，ADB

10、=50，DE=18米，DB=DCBE6.58米故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米点评：考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点3 （2014青岛，第20题8分）如图，小明想测山高和索道的长度他在B处仰望山顶A，测得仰角B=31，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角ACE=39（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）（参考数据：tan31，sin31，tan39，sin39）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.分析：（1）过点A作ADBE于

11、D，设山AD的高度为xm，在RtABD和RtACD中分别表示出BD和CD的长度，然后根据BDCD=80m，列出方程，求出x的值；（2）在RtACD中，利用sinACD=，代入数值求出AC的长度解答：解：（1）过点A作ADBE于D，设山AD的高度为xm，在RtABD中，ADB=90，tan31=，BD=x，在RtACD中，ADC=90，tan39=，CD=x，BC=BDCD，xx=80，解得：x=180即山的高度为180米；（2）在RtACD中，ADC=90，sin39=，AC=282.9（m）答：索道AC长约为282.9米点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是利用仰角构造直角三角形

12、，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度4（2014山西，第21题7分）如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB、BC表示连接缆车站的钢缆，已知A、B、C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA，BB，CC分别为110米、310米、710米，钢缆AB的坡度i1=1：2，钢缆BC的坡度i2=1：1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？（注：坡度：是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.专题：应用题分析：过点A作AECC于点E，交BB于点F，过点B作BDCC于点D，分别求出AE、CE，利用勾股定理求解AC

13、即可解答：解：过点A作AECC于点E，交BB于点F，过点B作BDCC于点D，则AFB、BDC、AEC都是直角三角形，四边形AABF，BBCD和BFED都是矩形，BF=BBBF=BBAA=310110=200，CD=CCCD=CCBB=710310=400，i1=1：2，i2=1：1，AF=2BF=400，BD=CD=400，又EF=BD=400，DE=BF=200，AE=AF+EF=800，CE=CD+DE=600，在RtAEC中，AC=1000（米）答：钢缆AC的长度是1000米点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度坡角的定义，及勾股定理的表达式，难度一般5. （201

14、4乐山，第21题10分）如图，在梯形ABCD中，ADBC，ADC=90，B=30，CEAB，垂足为点E若AD=1，AB=2，求CE的长考点：直角梯形；矩形的判定与性质；解直角三角形.分析：利用锐角三角函数关系得出BH的长，进而得出BC的长，即可得出CE的长解答：解：过点A作AHBC于H，则AD=HC=1，在ABH中，B=30，AB=2，cos30=，即BH=ABcos30=2=3，BC=BH+BC=4，CEAB，CE=BC=2点评：此题主要考查了锐角三角函数关系应用以及直角三角形中30所对的边等于斜边的一半等知识，得出BH的长是解题关键6. （2014丽水，第22题10分）如图，已知等边ABC

15、，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DFAC，垂足为F，过点F作FGAB，垂足为G，连结GD（1）求证：DF是O的切线；（2）求FG的长；（3）求tanFGD的值考点：切线的判定；等边三角形的性质；解直角三角形.分析：（1）连结OD，根据等边三角形的性质得C=A=B=60，而OD=OC，所以ODB=60=C，于是可判断ODAC，又DFAC，则ODDF，根据切线的判定定理可得DF是O的切线；（2）先证明OD为ABC的中位线，得到BD=CD=6在RtCDF中，由C=60，得CDF=30，根据含30度的直角三角形三边的关系得CF=CD=3，所以AF=ACCF=9，然后在RtAF

16、G中，根据正弦的定义计算FG的长；（3）过D作DHAB于H，由垂直于同一直线的两条直线互相平行得出FGDH，根据平行线的性质可得FGD=GDH解RtBDH，得BH=BD=3，DH=BH=3解RtAFG，得AG=AF=，则GH=ABAGBH=，于是根据正切函数的定义得到tanGDH=，则tanFGD可求解答：（1）证明：连结OD，如图，ABC为等边三角形，C=A=B=60，而OD=OB，ODB是等边三角形，ODB=60，ODB=C，ODAC，DFAC，ODDF，DF是O的切线；（2）解：ODAC，点O为AB的中点，OD为ABC的中位线，BD=CD=6在RtCDF中，C=60，CDF=30，CF=

17、CD=3，AF=ACCF=123=9，在RtAFG中，A=60，FG=AFsinA=9=；（3）解：过D作DHAB于HFGAB，DHAB，FGDH，FGD=GDH在RtBDH中，B=60，BDH=30，BH=BD=3，DH=BH=3在RtAFG中，AFG=30，AG=AF=，GH=ABAGBH=123=，tanGDH=，tanFGD=tanGDH=点评：本题考查了切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可也考查了等边三角形的性质以及解直角三角形等知识7（2014黑龙江哈尔滨,第24题6分）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从

18、建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角EAC为30，测得建筑物CD的底部D点的俯角EAD为45（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）第1题图考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：（1）根据题意得：BDAE，从而得到BAD=ADB=45，利用BD=AB=60，求得两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，根据AF=BD=DF=60，在RtAFC中利用FAC=30求得CF，然后即可求得CD的长解答：解：（1）根据题意得：BDAE，ADB=EAD=45，ABD=90，BA

19、D=ADB=45，BD=AB=60，两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，AF=BD=DF=60，在RtAFC中，FAC=30，CF=AFtanFAC=60=20，又FD=60，CD=6020，建筑物CD的高度为（6020）米点评：考查解直角三角形的应用；得到以AF为公共边的2个直角三角形是解决本题的突破点8 （2014湖北黄冈,第23题7分）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号已知A、B两船相距100（+1）海里，船C在船A的北偏东60方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测

20、点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75方向上（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）来源:中&%国*教育#出版网（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：1.41，1.73）第2题图考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：（1）作CEAB，设AE=x海里，则BE=CE=x海里根据AB=AE+BE=x+x=100（+1），求得x的值后即可求得AC的长；过点D作DFAC于点F，同理求出AD的长；（2）作DFAC于点F，根据AD的长和DAF的度数求线段DF的长后与100比较即可得

21、到答案解答：解：（1）如图，作CEAB，由题意得：ABC=45，BAC=60，设AE=x海里，在RtAEC中，CE=AEtan60=x；在RtBCE中，BE=CE=xAE+BE=x+x=100（+1），解得：x=100AC=2x=200在ACD中，DAC=60，ADC=75，则ACD=45过点D作DFAC于点F，设AF=y，则DF=CF=y，AC=y+y=200，解得：y=100（1），AD=2y=200（1）答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200（1）海里（2）由（1）可知，DF=AF=100（1）127127100，所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有

22、触暗礁危险点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系解答9. （2014湖北荆门,第20题10分）钓鱼岛自古以来就是中国的领土如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59方向、位于B处北偏西44方向若甲、乙两船分别沿AC，BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处（参考数据：cos590.52，sin460.72）第3题图考点：解直角三角形的应用-方向角问

23、题分析：作CDAB于点D，由题意得：ACD=59，DCB=44，设CD的长为a海里，分别在RtACD中，和在RtBCD中，用a表示出AC和BC，然后除以速度即可求得时间，比较即可确定答案解答：解：如图，作CDAB于点D，由题意得：ACD=59，DCB=44，设CD的长为a海里，在RtACD中，=cosACD，AC=1.92a；在RtBCD中，=cosBCD，BC=1.39a；其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时，1.92a20=0.096a.1.39a18=0.077a，a0，0.096a0.077a，乙先到达点评：本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键在于设出未知数a，使得运

24、算更加方便，难度中等10（2014四川成都,第16题6分）如图，在一次数学课外实践活动，小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37，BC=20m，求树的高度AB（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：通过解直角ABC可以求得AB的长度解答：解：如图，在直角ABC中，B=90，C=37，BC=20m，tanC=，则AB=BCtanC=20tan37200.75=15（m）答：树的高度AB为15m点评：本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三

25、角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决11（2014四川广安,第23题8分）为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即BAC）为45，BCAC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE（下面两个小题结果都保留根号）（1）若修建的斜坡BE的坡比为：1，求休闲平台DE的长是多少米？（2）一座建筑物GH距离A点33米远（即AG=33米），小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角（即HDM）为30点B、C、A

26、、G，H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HGCG，问建筑物GH高为多少米？考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题分析：（1）由三角函数的定义，即可求得DF与BF的长，又由坡度的定义，即可求得EF的长，继而求得平台DE的长；（2）首先设GH=x米，在RtDMH中由三角函数的定义，即可求得GH的长解答：解：（1）FMCG，BDF=BAC=45，斜坡AB长60米，D是AB的中点，BD=30米，DF=BDcosBDF=30=30（米），BF=DF=30米，斜坡BE的坡比为：1，=，解得：EF=10（米），DE=DFEF=3010（米）；答：休闲平台DE的长是（3010）米；（2）设GH=

27、x米，则MH=GHGM=x30（米），DM=AG+AP=33+30=63（米），在RtDMH中，tan30=，即=，解得：x=30+21，答：建筑物GH的高为（30+21）米点评：此题考查了坡度坡角问题以及俯角仰角的定义此题难度较大，注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思想与方程思想的应用12（2014浙江绍兴,第21题10分）九（1）班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量（1）如图1，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到CDB=38，求护墙与地面的倾斜角的度数（2）如图2，第二小组用皮尺量的EF为16

28、米（E为护墙上的端点），EF的中点离地面FB的高度为1.9米，请你求出E点离地面FB的高度（3）如图3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P测得旗杆顶端A的仰角为45，向前走4米到达Q点，测得A的仰角为60，求旗杆AE的高度（精确到0.1米）备用数据：tan60=1.732，tan30=0.577，=1.732，=1.414考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题分析：（1）根据=2CDB即可得出答案；（2）设EF的中点为M，过M作MNBF，垂足为点N，过点E作EHBF，垂足为点H，根据EH=2MN即可求出E点离地面FB的高度；（3）

29、延长AE，交PB于点C，设AE=x，则AC=x+3.8，CQ=x0.2，根据=，得出x+3.8x0.2=3，求出x即可解答：解：（1）BD=BC，CDB=DCB，=2CDB=238=76（2）设EF的中点为M，过M作MNBF，垂足为点N，过点E作EHBF，垂足为点H，MNAH，MN=1.9，EH=2MN=3.8（米），E点离地面FB的高度是3.8米（3）延长AE，交PB于点C，设AE=x，则AC=x+3.8，APB=45，PC=AC=x+3.8，PQ=4，CQ=x+3.84=x0.2，tanAQC=tan60=，=，x=5.7，AE5.7（米）答；旗杆AE的高度是5.7米点评：此题考查了解直角

30、三角形的应用，用到的知识点是仰角的定义，能作出辅助线借助仰角构造直角三角形是本题的关键13（2014重庆A,第20题7分）如图，ABC中，ADBC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tanBAD=，求sinC的值考点：解直角三角形分析：根据tanBAD=，求得BD的长，在直角ACD中由勾股定理得AC，然后利用正弦的定义求解解答：解：在直角ABD中，tanBAD=，BD=ADtanBAD=12=9，CD=BCBD=149=5，AC=13，sinC=点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系14（2014江西，第21题8分）图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点

31、处依次串接而成，每相邻两个菱形均成30度的夹角，示意图如图2所示。在图2中，每个菱形的边长为10cm，锐角为60度。（1）连接CD、EB，猜想它们的位置关系并加以证明；（2）求A、B两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器）（参考数据：）【考点】 解直角三角形的应用；菱形的判定与性质【分析】 （1）连接DE根据菱形的性质和角的和差关系可得CDE=BED=90，再根据平行线的判定可得CD，EB的位置关系；（2）根据菱形的性质可得BE，DE，再根据三角函数可得BD，AD，根据AB=BD+AD，即可求解 【解答】 解：（1）CDEB连接DE中国结挂件是四个相同的菱形，每相邻两个菱形均成30的夹角，

32、菱形的锐角为60，CDE=6022+30=90，BED=6022+30=90，CDE=BED，CDEB（2）连接AD、BD.ACD= 90，AC=DC，DAC=ADC=45。同理可证，BDE=EBD=45，CDE=90，ADB=ADB+BDE+ CDE=180，即点A、D、B在同一直线上。BE2OE210cos3010cm，DEBE10cm，在RtBED中， cm，同理可得，AD=10 cm，AB=BD+AD=20=202.4549cm即A、B两点之间的距离大约为49cm【点评】此题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质和平行线的判定，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是运用数学知识解决实际问题15