13算法案例教案

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1、 1.3 算法案例整体设计教学分析 在学生学习了算法的初步知识，理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序三种不同方式以后，再结合典型算法案例，让学生经历设计算法解决问题的全过程，体验算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.三维目标1理解算法案例的算法步骤和程序框图.2引导学生得出自己设计的算法程序.3. 体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.重点难点教学重点：引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序.教学难点：体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.课时安排 3课时

2、教学过程第1课时 案例1 辗转相除法与更相减损术导入新课 思路1（情境导入） 大家喜欢打乒乓球吧，由于东、西方文化及身体条件的不同，西方人喜欢横握拍打球，东方人喜欢直握拍打球，对于同一个问题，东、西方人处理问题方式是有所不同的.在小学，我们学过求两个正整数的最大公约数的方法：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来. 当两个数公有的质因数较大时（如8 251与6 105），使用上述方法求最大公约数就比较困难.下面我们介绍两种不同的算法辗转相除法与更相减损术,由此可以体会东、西方文化的差异. 思路2（直接导入） 前面我们学习了算法步骤、程序框图和算法

3、语句.今天我们将通过辗转相除法与更相减损术来进一步体会算法的思想.推进新课新知探究提出问题（1）怎样用短除法求最大公约数？（2）怎样用穷举法（也叫枚举法）求最大公约数？（3）怎样用辗转相除法求最大公约数？（4）怎样用更相减损术求最大公约数？讨论结果：（1）短除法 求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.（2）穷举法（也叫枚举法） 穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数.（3）辗转相除法 辗转相除法求两个数的最大公约数，其

4、算法步骤可以描述如下： 第一步，给定两个正整数m，n. 第二步，求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中. 第三步，更新被除数和余数：m=n，n=r. 第四步，判断余数r是否为0.若余数为0，则输出结果；否则转向第二步继续循环执行. 如此循环，直到得到结果为止. 这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法.（4）更相减损术 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 九章算术是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”翻译为现

5、代语言如下： 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，执行第二步. 第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.应用示例例1 用辗转相除法求8 251与6 105的最大公约数,写出算法分析，画出程序框图，写出算法程序.解：用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数：8 251=6 1051+2 146.由此可得，6 105与2 146的公约数也是8 251与6 105的公约数，反过来，8 251与6 105的公约数也是6 105与

6、2 146的公约数，所以它们的最大公约数相等.对6 105与2 146重复上述步骤：6 105=2 1462+1 813.同理，2 146与1 813的最大公约数也是6 105与2 146的最大公约数.继续重复上述步骤：2 146=1 8131+333，1 813=3335+148，333=1482+37，148=374. 最后的除数37是148和37的最大公约数，也就是8 251与6 105的最大公约数. 这就是辗转相除法.由除法的性质可以知道，对于任意两个正整数，上述除法步骤总可以在有限步之后完成，从而总可以用辗转相除法求出两个正整数的最大公约数.算法分析：从上面的例子可以看出，辗转相除法

7、中包含重复操作的步骤，因此可以用循环结构来构造算法.算法步骤如下：第一步，给定两个正整数m，n.第二步，计算m除以n所得的余数为r.第三步，m=n，n=r.第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步.程序框图如下图：程序：INPUT m,nDO r=m MOD n m=n n=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND点评：从教学实践看，有些学生不能理解算法中的转化过程，例如：求8 251与6 105的最大公约数,为什么可以转化为求6 105与2 146的公约数.因为8 251=6 1051+2 146，可以化为8 251-6 1051=2 164，所以公约数能够整

8、除等式两边的数，即6 105与2 146的公约数也是8 251与6 105的公约数.变式训练 你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗？试画出程序框图和程序.解：当型循环结构的程序框图如下图：程序：INPUT m，nr=1WHILE r0 r=m MOD n m=n n=rWENDPRINT mEND例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，如下图所示.98-63=3563-35=2835-28=728-7=2121-7=1414-7=7所以，98和63的最大公约数等于7.点评：更相减损术与辗转相除法的比较：尽管两种算

9、法分别来源于东、西方古代数学名著，但是二者的算理却是相似的，有异曲同工之妙主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除；而更相减损术进行的是减法运算，即辗转相减，但是实质都是一个不断的递归过程变式训练 用辗转相除法或者更相减损术求三个数324,243,135的最大公约数.解：324=243181，243=8130，则324与243的最大公约数为81.又135=81154，81=54127，54=2720，则 81 与 135的最大公约数为27.所以,三个数324、243、135的最大公约数为27.另法：324243=81,24381=162,16281=81，则324与243的最大公约数

10、为81.13581=54,8154=27,5427=27，则81与135的最大公约数为27.所以，三个数324、243.135的最大公约数为27.例3 （1）用辗转相除法求123和48的最大公约数.（2）用更相减损术求80和36的最大公约数.解：（1）辗转相除法求最大公约数的过程如下：12324827，4812721，271216，21363，623+0，最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3.（2）我们将80作为大数，36作为小数，因为80和36都是偶数，要除公因数2.802=40，362=18.40和18都是偶数，要除公因数2.402=20，182=9.下面来求20与9的最大公约

11、数，209=11，119=2，92=7，72=5，52=3，32=1，21=1，可得80和36的最大公约数为221=4.点评：对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到达减数和差相等.变式训练 分别用辗转相除法和更相减损术求1 734，816的最大公约数解：辗转相除法：1 734=8162+102，816=1028（余0），1 734与816的最大公约数是102更相减损术：因为两数皆为偶数，首先除以2得到867，408，再求867与408的最大公约数867-408=459，459-408=51，408-51=357，357-51=306，306-51=255，255

12、-51=204，204-51=153，153-51=102，102-51=51.1 734与816的最大公约数是512=102利用更相减损术可另解：1 734816918，918816102，816102714，714102612，612102510，510102408，408102306，306102204，204102102.1 734与816的最大公约数是102知能训练 求319，377，116的最大公约数解：377=3191+58，319=585+29，58=292.377与319的最大公约数为29，再求29与116的最大公约数116=294.29与116的最大公约数为29.377，3

13、19，116的最大公约数为29.拓展提升 试写出利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的程序解：更相减损术程序：INPUT “m，n=”；m，nWHILE mnIF mn THENm-nELSEm=n-mEND IFWENDPRINT mEND课堂小结（1）用辗转相除法求最大公约数.（2）用更相减损术求最大公约数.思想方法：递归思想.作业 分别用辗转相除法和更相减损术求261，319的最大公约数.分析：本题主要考查辗转相除法和更相减损术及其应用使用辗转相除法可依据m=nq+r，反复执行，直到r=0为止；用更相减损术就是根据m-n=r，反复执行，直到n=r为止解：辗转相除法：319=2611+5

14、8,261=584+29,58=292.319与261的最大公约数是29更相减损术：319-261=58,261-58=203,203-58=145,145-58=87,87-58=29,58-29=29,319与261的最大公约数是29设计感想 数学不仅是一门科学，也是一种文化，本节的引入从东、西方文化的不同开始，逐步向学生渗透数学文化.从知识方面主要学习用两种方法求两个正整数的最大公约数，从思想方法方面，主要学习递归思想.本节设置精彩例题，不仅让学生学到知识，而且让学生进一步体会算法的思想，培养学生的爱国主义情操第2课时 案例2 秦九韶算法导入新课 思路1（情境导入） 大家都喜欢吃苹果吧，

15、我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？方法也是多种多样的，今天我们开始学习秦九韶算法. 思路2（直接导入） 前面我们学习了辗转相除法与更相减损术， 今天我们开始学习秦九韶算法.推进新课新知探究提出问题（1）求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值有哪些方法？比较它们的特点.（2）什么是秦九韶算法？（3）怎样评价一个算法的好坏？讨论结果：（1）怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？ 一个自然的

16、做法就是把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时，我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算. 另一种做法是先计算x2的值，然后依次计算x2x，（x2x）x，（x2x）x）x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算. 第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到结果.（2）上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶（约12021261）在他的著作数书九章中提出了下面的算法

17、： 把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0改写成如下形式：f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0=（anxn-1+an-1xn-2+a1）x+ a0=（anxn-2+an-1xn-3+a2）x+a1)x+a0=（anx+an-1）x+an-2）x+a1）x+a0.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1=anx+an-1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+an-2，v3=v2x+an-3，vn=vn-1x+a0，这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值.上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多

18、项式求值比较先进的算法.（3）计算机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论的算法.应用示例例1 已知一个5次多项式为f（x）=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8， 用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)=（(5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8，按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值：v0=5；v1=55+2=27;v2=275+3.5=138.5;v3

19、=138.55-2.6=689.9;v4=689.95+1.7=3 451.2;v5=3 415.25-0.8=17 255.2;所以，当x=5时，多项式的值等于17 255.2.算法分析：观察上述秦九韶算法中的n个一次式，可见vk的计算要用到vk-1的值，若令v0=an，我们可以得到下面的公式：这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现.算法步骤如下：第一步，输入多项式次数n、最高次的系数an和x的值.第二步，将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1.第三步，输入i次项的系数ai.第四步，v=vx+ai,i=i-1.第五步，判断i是否大于或等于0.若是，则返回第三步；否

20、则，输出多项式的值v.程序框图如下图：程序：INPUT “n=”；nINPUT “an=”；aINPUT “x=”；xv=ai=n-1WHILE i=0 PRINT “i=”；i INPUT “ai=”；a v=v*x+a i=i-1WENDPRINT vEND点评：本题是古老算法与现代计算机语言的完美结合，详尽介绍了思想方法、算法步骤、程序框图和算法语句,是一个典型的算法案例.变式训练 请以5次多项式函数为例说明秦九韶算法，并画出程序框图.解：设f（x）=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0首先，让我们以5次多项式一步步地进行改写：f（x）=（a5x4+a4x3+a3x2+a

21、2x+a1）x+a0=（a5x3+a4x2+ a3x+a2）x+a1）x+a0=（a5x2+a4x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0=（a5x+a4）x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0.上面的分层计算,只用了小括号，计算时，首先计算最内层的括号，然后由里向外逐层计算，直到最外层的括号，然后加上常数项即可.程序框图如下图：例2 已知n次多项式Pn(x)=a0xn+a1xn-1+an-1x+an，如果在一种算法中，计算（k=2，3，4，n）的值需要k1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P10(x0)的值共需要_次运算.下面给出一种减少运算次数的算法

22、：P0(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1（k0，1，2，n1）利用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算P10(x0)的值共需要_次运算.答案：65 20点评：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可到达，加法最多n次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次.例3 已知多项式函数f(x)=2x55x44x3+3x26x+7，求当x=5时的函数的值.解析：把多项式变形为：f(x)=2x55x44x3+3x26x+7=(2x5)x4)x+3)x6)x+7.计算的过程可以列表

23、表示为：最后的系数2 677即为所求的值.算法过程：v0=2；v1=255=5；v2=554=21；v3=215+3=108；v4=10856=534；v5=5345+7=2 677.点评：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计算.知能训练当x=2时，用秦九韶算法求多项式f(x)=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6的值解法一：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)=(3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=2时的值.v0=3;v1=v02+8=32+8=14;v2=v12-3=142-3=25;v3=v22+5=

24、252+5=55;v4=v32+12=552+12=122;v5=v42-6=1222-6=238.当x=2时，多项式的值为238.解法二：f(x)=(3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6，则f(2)=(32+8)23)2+5)2+12)26238拓展提升 用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值.解：f(x)=(7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)xv0=7；v1=73+6=27；v2=273+5=86；v3=863+4=262；v4=2623+3=789；v5=7893+2=2 369；v6=2 3693+1=7 10

25、8；v7=7 1083+0=21 324.f(3)=21 324.课堂小结1.秦九韶算法的方法和步骤.2.秦九韶算法的计算机程序框图.作业已知函数f(x)=x32x25x+8,求f(9)的值.解：f(x)=x32x25x+8=(x22x5)x+8=(x2)x5)x+8 f(9)=(92)95)9+8=530.设计感想 古老的算法散发浓郁的现代气息，这是一节充满智慧的课.本节主要介绍了秦九韶算法. 通过对秦九韶算法的学习，对算法本身有哪些进一步的认识？ 教师引导学生思考、讨论、概括，小结时要关注如下几点：（1）算法具有通用的特点，可以解决一类问题；（2）解决同一类问题，可以有不同的算法，但计算的

26、效率是不同的，应该选择高效的算法；（3）算法的种类虽多，但三种逻辑结构可以有效地表达各种算法等等.第3课时 案例3 进位制导入新课情境导入 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.今天我们来学习一下进位制.推进新课新知探究提出问题（1）你都了解哪些进位制？（2）举出常见的进位制.（3）思考非十进制数转换为十进制数的转化方法.（4）思考十进制数转换成非十进制数及非十进制之间的转换方法.活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学

27、生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路讨论结果：（1）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制等等.也就是说：“满几进一”就是几进制，几进制的基数（都是大于1的整数）就是几.（2）在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.（3）十进制使用09十个数字.计数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几，就表示几个一；第

28、二位是十位，十位上的数字是几，就表示几个十；接着依次是百位、千位、万位例如：十进制数3 721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一.于是，我们得到下面的式子：3 721=3103+7102+2101+1100.与十进制类似，其他的进位制也可以按照位置原则计数.由于每一种进位制的基数不同，所用的数字个数也不同.如二进制用0和1两个数字，七进制用06七个数字.一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式 anan-1a1a0（k）（0ank，0an-1，a1，a0k).其他进位制的数也可以表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形

29、式，如110 011（2）=125+124+023+022+121+120， 7 342（8）=783+382+481+280.非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可：anan-1a1a0(k)=ankn+an-1kn-1+a1k+a0.第一步：从左到右依次取出k进制数anan-1a1a0(k)各位上的数字，乘以相应的k的幂，k的幂从n开始取值，每次递减1，递减到0，即ankn,an-1kn-1,a1k,a0k0；第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数.（4）关于进位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其他进制之间的转换

30、.这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出.1十进制数转换成非十进制数把十进制数转换为二进制数，教科书上提供了“除2取余法”，我们可以类比得到十进制数转换成k进制数的算法“除k取余法”.2非十进制之间的转换一个自然的想法是利用十进制作为桥梁.教科书上提供了一个二进制数据与16进制数据之间的互化的方法，也就是先由二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化成为16进制数.应用示例思路1例1 把二进制数11

31、0 011(2)化为十进制数.解：110 011(2)=125+124+023+022+121+120=132+116+12+1=51.点评：先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果.变式训练设计一个算法，把k进制数a（共有n位）化为十进制数b.算法分析：从例1的计算过程可以看出，计算k进制数a的右数第i位数字ai与ki-1的乘积aiki-1，再将其累加，这是一个重复操作的步骤.所以，可以用循环结构来构造算法. 算法步骤如下：第一步，输入a，k和n的值.第二步，将b的值初始化为0，i的值初始化为1.第三步，b=b+aiki-1，i=i+1.第四步，

32、判断in是否成立.若是，则执行第五步；否则，返回第三步.第五步，输出b的值.程序框图如下图：程序：INPUT “a,k，n=”；a，k，nb=0i=1t=a MOD 10DO b=b+t*k（i-1） a=a10 t=a MOD 10 i=i+1LOOP UNTIL inPRINT bEND例2 把89化为二进制数.解：根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89或所得商，然后取余数.具体计算方法如下：因为89=244+1，44=222+0，22=211+0，11=25+1，5=22+1，2=21+0，1=20+1，所以89=2（2（2（2（22+1）+1）+0）+0）+1=2（2（2

33、（2（22+1）+1）+0）+0）+1=126+025+124+123+022+021+120=1 011 001(2).这种算法叫做除2取余法，还可以用下面的除法算式表示：把上式中各步所得的余数从下到上排列，得到89=1 011 001(2).上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法，称为除k取余法.变式训练 设计一个程序，实现“除k取余法”.算法分析：从例2的计算过程可以看出如下的规律： 若十制数a除以k所得商是q0，余数是r0，即a=kq0+r0，则r0是a的k进制数的右数第1位数. 若q0除以k所得的商是q1，余数是r1，即q0=kq1+r1，则r1是a的k进制数的左数第2位数

34、. 若qn-1除以k所得的商是0，余数是rn，即qn-1=rn，则rn是a的k进制数的左数第1位数. 这样，我们可以得到算法步骤如下： 第一步，给定十进制正整数a和转化后的数的基数k. 第二步，求出a除以k所得的商q，余数r. 第三步，把得到的余数依次从右到左排列. 第四步，若q0，则a=q，返回第二步；否则，输出全部余数r排列得到的k进制数. 程序框图如下图：程序：INPUT “a，k=”；a，kb=0i=0DO q=ak r=a MOD k b=b+r*10i i=i+1 a=qLOOP UNTIL q=0PRINT bEND思路2例1 将8进制数314 706(8)化为十进制数，并编写出

35、一个实现算法的程序.解：314 706(8)=385+184+483+782+081+680=104 902.所以，化为十进制数是104 902.点评：利用把k进制数转化为十进制数的一般方法就可以把8进制数314 706(8)化为十进制数.例2 把十进制数89化为三进制数，并写出程序语句.解：具体的计算方法如下：89=329+2，29=39+2，9=33+0，3=31+0，1=30+1，所以:89(10)=10 022(3).点评：根据三进制数满三进一的原则，可以用3连续去除89及其所得的商，然后按倒序的顺序取出余数组成数据即可.知能训练 将十进制数34转化为二进制数分析：把一个十进制数转换成

36、二进制数，用2反复去除这个十进制数，直到商为0，所得余数（从下往上读）就是所求解：即34(10)=100 010(2)拓展提升把1 234(5)分别转化为十进制数和八进制数解：1 234(5)=153+252+35+4194则1 234(5)=302(8)所以，1 234(5)=194302(8)点评：本题主要考查进位制以及不同进位制数的互化五进制数直接利用公式就可以转化为十进制数；五进制数和八进制数之间需要借助于十进制数来转化课堂小结（1）理解算法与进位制的关系.（2）熟练掌握各种进位制之间转化.作业 习题1.3A组3、4.设计感想 计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输

37、给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时，计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出.因此学好进位制是非常必要的，另外，进位制也是高考的重点，本节设置了多种题型供学生训练，所以这节课非常实用.第25页 共25页第三章 概率3.1 随机事件的概率3.1.1 随机事件的概率教学目标：1.通过在抛硬币等试验获取数据,了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念.2.通过获取数据,归纳总结试验结果,发现规律,正确理解事件A出现的频率的意义，真正做到在探索中学习,在探索中提高.3.通过数学活动,即自己动手、动脑和亲身试验来理解

38、概率的概念,明确事件A发生的频率fn（A）与事件A发生的概率P（A）的区别与联系,体会数学知识与现实世界的联系.教学重点：理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.教学难点：理解频率与概率的关系.教学方法：讲授法课时安排 1课时教学过程一、导入新课：在第二次世界大战中,美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力.这句话有一个非同寻常的来历.（故事略） 在自然界和实际生活中,我们会遇到各种各样的现象.如果从结果能否预知的角度来看,可以分为两大类：一类现象的结果总是确定的,即在一定的条件下,它所出现的结果是可以预知的,这类现象称为确定性现象；另一类现象的结果是无法预知的,即在一定的条件下

39、,出现那种结果是无法预先确定的,这类现象称为随机现象.随机现象是我们研究概率的基础,为此我们学习随机事件的概率.二、新课讲解：1、提出问题（1）什么是必然事件？请举例说明.（2）什么是不可能事件？请举例说明.（3）什么是确定事件？请举例说明.注：以上3问初中已经学习了.（4）什么是随机事件？请举例说明.（5）什么是事件A的频数与频率？什么是事件A的概率？（6）频率与概率的区别与联系有哪些?观察：（）掷一枚硬币,出现正面；（）某人射击一次,中靶；（）从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签；这三个事件在一定的条件下是或者发生或不一定发生的,是模棱两可的.、活动做抛掷一枚硬

40、币的试验,观察它落地时哪一个面朝上.通过学生亲自动手试验,突破学生理解的难点：“随机事件发生的随机性和随机性中的规律性”.通过试验,观察随机事件发生的频率,可以发现随着实验次数的增加,频率稳定在某个常数附近,然后再给出概率的定义.在这个过程中,重视了掌握知识的过程,体现了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法具体如下： 第一步每个人各取一枚硬币,做10次掷硬币试验,记录正面向上的次数和比例,填在下表：姓名试验次数正面朝上总次数正面朝上的比例思考： 试验结果与其他同学比较,你的结果和他们一致吗？为什么？ 第二步 由组长把本小组同学的试验结果统计一下,填入下表.组次试验总次数正面朝上总次数正面朝上

41、的比例思考： 与其他小组试验结果比较,正面朝上的比例一致吗？为什么？ 通过学生的实验,比较他们实验结果,让他们发现每个人实验的结果、组与组之间实验的结果不完全相同,从而说明实验结果的随机性,但组与组之间的差别会比学生与学生之间的差别小,小组的结果一般会比学生的结果更接近0.5. 第三步 用横轴为实验结果,仅取两个值：1（正面）和0（反面）,纵轴为实验结果出现的频率,画出你个人和所在小组的条形图,并进行比较,发现什么？ 第四步 把全班实验结果收集起来,也用条形图表示.思考： 这个条形图有什么特点？ 引导学生在每组实验结果的基础上统计全班的实验结果,一般情况下,班级的结果应比多数小组的结果更接近0

42、.5,从而让学生体会随着实验次数的增加,频率会稳定在0.5附近.并把实验结果用条形图表示,这样既直观易懂,又可以与第二章统计的内容相呼应,达到温故而知新的目的. 第五步 请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件发生的规律性.思考： 如果同学们重复一次上面的实验,全班汇总结果与这一次汇总结果一致吗？为什么？出现正面朝上的规律性：随着实验次数的增加,正面朝上的频率稳定在0.5附近.由特殊事件转到一般事件,得出下面一般化的结论：随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复实验后,随着次数的增加,事件A发生的频率会逐渐稳定在区间0,1中的某个常数上.从而得出频率、概率的定义,以及它们的关

43、系.3、讨论结果：（1）必然事件:在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件（certain event）,简称必然事件.（2）不可能事件：在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件（impossible event）,简称不可能事件.（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件.（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件（random event）,简称随机事件；确定事件和随机事件统称为事件,用A,B,C,表示.（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次

44、数na为事件A出现的频数（frequency）；称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率（relative frequency）;对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P（A）,称为事件A的概率（probability）.（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率,指此事件发生的次数与试验总次数n的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小.我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件

45、的概率. 频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.在实际问题中,通常事件的概率未知,常用频率作为它的估计值. 频率本身是随机的,在试验前不能确定.做同样次数的重复实验得到事件的频率会不同.概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关.比如,一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率就是0.5,与做多少次实验无关.三、课堂练习： 教材113页练习：1、2、3四、课堂小结：本节研究的是那些在相同条件下,可以进行大量重复试验的随机事件,它们都具有频率稳定性,即随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件A发生的频率逐渐稳定

46、在区间0,1内的某个常数上（即事件A的概率）,这个常数越接近于1,事件A发生的概率就越大,也就是事件A发生的可能性就越大.反之,概率越接近于0,事件A发生的可能性就越小.因此说,概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量.五、课后作业： 全优设计1、必然事件、不可能事件、随机事件3.1.1 随机事件的概率板书设计：2、频率与概率的区别与联系：教学反思：3.1.2 概率的意义教学目标：1.正确理解概率的意义；利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.2.通过对现实生活中的“掷币”、“游戏的公平性”、“彩票中奖”等问题的探究,感知应用数学知识解决数学问题的方法,理解逻辑推理的数学方法.3.通过对概

47、率的实际意义的理解,体会知识来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观,进而体会数学与现实世界的联系.教学重点：理解概率的意义.教学难点：用概率的知识解释现实生活中的具体问题.教学方法：讲授法课时安排 1课时教学过程：一、导入新课： 生活中,我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%,结果根本一点雨都没下,天气预报也太不准确了.”这是真的吗？为此我们必须学习概率的意义.二、新课讲解：1、提出问题：（1）有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面向上的概率为0.5,那么连续抛掷一枚硬币两次,一定是一次正面朝上,一次反面朝上,你认为这种想法正确吗？（2）如果某种彩票中奖的概率为,那么买1 000张

48、彩票一定能中奖吗？（3）在乒乓球比赛中,裁判员有时也用数名运动员伸出手指数的和的单数与双数来决定谁先发球,其具体规则是：让两名运动员背对背站立,规定一名运动员得单数胜,另一名运动员得双数胜,然后裁判员让两名运动员同时伸出一只手的手指,两个人的手指数的和为单数,则指定单数的运动员得到先发球权,若两个人的手指数的和为双数,则指定双数胜的运动员得到先发球权,你认为这个规则公平吗？（4）“天气预报说昨天降水概率为90%,结果根本一点雨都没下,天气预报也太不准确了.”学了概率后,你能给出解释吗？（5）阅读课本的内容了解孟德尔与遗传学.(6)如果连续10次掷一枚骰子,结果都是出现1点.你认为这枚骰子的质地

49、均匀吗?为什么?2、讨论结果：（1）这种想法显然是错误的,通过具体的试验可以发现有三种可能的结果：“两次正面朝上”“两次反面朝上”“一次正面朝上,一次反面朝上”,而且其概率分别为0.25,0.25,0.5.（2）不一定能中奖,因为买1 000张彩票相当于做1 000次试验,因为每次试验的结果都是随机的,即每张彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1 000张彩票中可能没有一张中奖,也可能有一张、两张乃至多张中奖.（3）规则是公平的.（4）天气预报的“降水”是一个随机事件,因此,“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的.（5）奥地利遗传学家（G.Mendel,1822188

50、4）用豌豆进行杂交试验,下表为试验结果（其中F1为第一子代,F2为第二子代）：性状F1的表现F2的表现种子的形状全部圆粒圆粒5 474皱粒1 850圆粒皱粒2.961茎的高度全部高茎高茎787矮茎277高茎矮茎2.841子叶的颜色全部黄色黄色6 022绿色2 001黄色绿色3.011豆荚的形状全部饱满饱满882不饱满299饱满不饱满2.951 孟德尔发现第一子代对于一种性状为必然事件,其可能性为100%,另一种性状的可能性为0,而第二子代对于前一种性状的可能性约为75%,后一种性状的可能性约为25%,通过进一步研究,他发现了生物遗传的基本规律.实际上,孟德尔是从某种性状发生的频率作出估计的.(

51、6)利用刚学过的概率知识我们可以进行推断,如果它是均匀的,通过试验和观察,可以发现出现各个面的可能性都应该是,从而连续10次出现1点的概率为()100.000 000 001 653 8,这在一次试验(即连续10次投掷一枚骰子)中是几乎不可能发生的.而当骰子不均匀时,特别是当6点的那面比较重时(例如灌了铅或水银),会使出现1点的概率最大,更有可能连续10次出现1点. 现在我们面临两种可能的决策:一种是这枚骰子的质地均匀,另一种是这枚骰子的质地不均匀.当连续10次投掷这枚骰子,结果都是出现1点,这时我们更愿意接受第二种情况:这枚骰子靠近6点的那面比较重.原因是在第二种假设下,更有可能出现10个1

52、点. 如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务,那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则,例如对上述思考题所作的推断.这种判断问题的方法称为极大似然法.极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一. 如果我们的判断结论能够使得样本出现的可能性最大,那么判断正确的可能性也最大.这种判断问题的方法称为似然法.似然法是统计中重要的统计思想方法之一.三、例题讲解：例1 为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法,先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如

53、500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾.试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数.分析：学生先思考,然后交流讨论,教师指导,这实际上是概率问题,即2 000尾鱼在水库中占所有鱼的百分比,特别是500尾中带记号的有40尾,就说明捕出一定数量的鱼中带记号的概率为,问题可解.解：设水库中鱼的尾数为n,A=带有记号的鱼,则有P(A)=. 因P(A)， 由得,解得n25 000.所以估计水库中约有鱼25 000尾.四、课堂练习：教材第118页练习：1、2、3、五、课堂小结： 概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学,正确理解概率的意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键,学习过程中应有意识形成

54、概率意识,并用这种意识来理解现实世界,主动参与对事件发生的概率的感受和探索.通过以上例题与练习可以感到,数学特别是概率正越来越多地应用到我们的生活当中.它们已经不是数学家手中的抽象理论,而成为我们认识世界的工具.从彩票中奖,到证券分析;从基因工程,到法律诉讼；从市场调查,到经济宏观调控;概率无处不在.六、课后作业： 习题3.1A组2、3.2、讨论结果：1、提出问题：3.1.2 概率的意义板书设计：教学反思：3.1.3 概率的基本性质教学目标：（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念；通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养学生的类比与归纳

55、的数学思想.（2）概率的几个基本性质：必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0P(A)1；当事件A与B互斥时,满足加法公式：P(AB)=P(A)+P(B)；若事件A与B为对立事件,则AB为必然事件,所以P(AB)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1-P(B).（3）正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系,通过数学活动,了解数学与实际生活的密切联系,感受数学知识应用于现实世界的具体情境,从而激发学习数学的情趣.教学重点：概率的加法公式及其应用.教学难点：事件的关系与运算.教学方法：讲授法课时安排 1课时教学过程一、导入新课： 全运会中某省派两名女乒乓球运动员参加单

56、打比赛,她们夺取冠军的概率分别是2/7和1/5,则该省夺取该次冠军的概率是2/7+1/5,对吗？为什么？为解决这个问题,我们学习概率的基本性质.二、新课讲解：、事件的关系与运算、提出问题 在掷骰子试验中,可以定义许多事件如：C1=出现1点,C2=出现2点,C3=出现3点,C4=出现4点,C5=出现5点,C6=出现6点,D1=出现的点数不大于1,D2=出现的点数大于3,D3=出现的点数小于5,E=出现的点数小于7,F=出现的点数大于6,G=出现的点数为偶数,H=出现的点数为奇数, 类比集合与集合的关系、运算说明这些事件的关系和运算,并定义一些新的事件.(1)如果事件C1发生,则一定发生的事件有哪

57、些？反之,成立吗？(2)如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着哪个事件发生？(3)如果事件D2与事件H同时发生,就意味着哪个事件发生？(4)事件D3与事件F能同时发生吗？(5)事件G与事件H能同时发生吗？它们两个事件有什么关系？、活动：学生思考或交流,教师提示点拨,事件与事件的关系要判断准确、讨论结果：(1)如果事件C1发生,则一定发生的事件有D1,E,D3,H,反之,如果事件D1,E,D3,H分别成立,能推出事件C1发生的只有D1.(2)如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着事件G发生.(3)如果事件D2与事件H同时发生,就意味着C5事件发生.(4)事件D3与事件F不能同时发

58、生.(5)事件G与事件H不能同时发生,但必有一个发生.、总结：由此我们得到事件A,B的关系和运算如下：如果事件A发生,则事件B一定发生,这时我们说事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）,记为BA（或AB）,不可能事件记为,任何事件都包含不可能事件.如果事件A发生,则事件B一定发生,反之也成立,（若BA同时AB）,我们说这两个事件相等,即A=B.如C1=D1.如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与B的并事件（或和事件）,记为AB或A+B.如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与B的交事件（或积事件）,记为AB或AB.如果AB为不可能事件（AB=）,那么称事件A与事件B互斥,即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.如果AB为不可能事件,AB为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生.、概率的几个基本性质、提出以下问题:（1）概率的取值范围是多少?（2）必然事件的概率是多少?（3）不可能事件的概率是多少?（4）互斥事件的概率应怎样计算?（5）对立事件的概率应怎样计算?、活动：学生根据试验的结果,结合自己对各种事件的理解,教师引导学生,根据概率的意义:（1）由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以,频率在01之间,因而概率的取值范围也在01之间.