笔算开立方和N次方

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1、今年在某次物理竞赛中忘了带计算器，需要计算开立方。当时不知道怎么笔算，所以只好一位一位地试。因此，我便想研究出一种开立方的笔算方法（我知道现在有，但是苦于找不到，所以只好自己来了）。 在刚开始研究是我不知道该如何入手，所以就去找了初二时候的代数书，里面有开平方笔算法和推导过程。它是这么写的： 在这里，我“定义”ab=a的b次方。 (10a+b)2 = 100a2+20ab+b2 = 100a2+b(20a+b) a代表的是已经计算出来的结果，b代表的是当前需要计算的位上的数。在每次计算过程中，100a2都被减掉，剩下b(20a+b)。然后需要做的就是找到最大的整数b使b(20a+b)9000,

2、A=5,及立方根的第二位是5用9000-7625=1375,在1375后面加上三个0来求立方根的第三位, 设第三位是B,则用25B*25*B*30+B3,则B=7,及1375000-1349593=25407,依此类推,求第四位的算式是257C*257*C*30+C3,可以算出C=1,及25407000-19822411=5584589,在往下5584589000求第五位.17立方根的1前四位是2.571。 2571D*2571*D*30+D3,D=2 =徒手开n次方根的方法: 原理:设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,现在要试根的下一位,设为b, 则有:(10*a+b)n-(1

3、0*a)n=c(前一步的差与本段合成);且b取最大值 用纯文字描述比较困难,下面用实例说明: 我们求 2301781.9823406 的5次方根: 第1步:将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段(下面用表示);不足部分在两端用0补齐; 2301781.98234060000000000000. 从高位段向低位段逐段做如下工作: 初值a=0,差c=23(最高段) 第2步:找b,条件:(10*a+b)n-(10*a)n=c,即b5=23,且为最大值;显然b=1 差c=23-b5=22,与下一段合成, c=c*10n+下一段=22*105+01781=2201781 第3步:a=1(计算机语

4、言赋值语句写作a=10*a+b),找下一个b, 条件:(10*a+b)n-(10*a)n=c,即:(10+b)5-105=2201781, b取最大值8,差c=412213,与下一段合成, c=c*105+下一段=412213*105+98234=41221398234 第4步:a=18,找下一个b, 条件:(10*a+b)n-(10*a)n=c,即:(180+b)5-1805b时,(10*a+b)n-(10*a)nn*(10*a)(n-1)*b,即: b41221398234/n/(10*a)(n-1)=41221398234/5/18047.85,取b=7 以下各步都更加可以使用此近似公式

5、估算b之值 差c=1508808527;与下一段合成, c=c*105+下一段=1508808527*105+06000=150880852706000 第5步:a=187,找下一个b, 条件:(10*a+b)n-(10*a)n=c,即: (1870+b)5-18705=150880852706000, b取最大值2,差c=28335908584368;与下一段合成, c=c*105+下一段=2833590858436800000 第6步:a=1872,找下一个b, 条件:(10*a+b)n-(10*a)n=c,即: (18720+b)5-187205 。当然，我们在实际中初始值最好采用中间值

6、，即1.5。 1.5+（5/1.5²-1.5）1/3=1.7。 如果用这个公式开平方，只需将3改成2，2改成1。即 X(n + 1) = Xn + (A / Xn Xn)1 / 2. 例如，A=5： 5介于2的平方至3的平方之间。我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取中间值2.5。 第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2； 即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.51/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。 第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23； 即5/2.

7、2=2.272，2.272-2.2=-0.072，-0.0721/2=-0.036，2.2+0.036=2.23。取3位数。 第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。 即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.0121/2=0.006,2.23+0.006=2.236. 每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。 5次方公式这里顺便提一下5次方公式。 X(n+1)=Xn+(A/X4-Xn)1/5 . (n，n+1是下角标） 例如：A=5; 5介入1的5次方至2的5次方之间。2的5次

8、方是32，5靠近1的5次方。初始值可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9。例如我们取中间值1.4； 1.4+（5/1.44-1.4)1/5=1.38 1.38+（5/1.384-1.38)1/5=1.379 1.379+(5/1.3794-1.379)1/5=1.3797 计算次数与精确度成为正比。即5=1.37975。 =立方表在没有计算机之前出现的时候，相对于手算开方，人们多用两种方法：一种是牛顿迭代法，比如方程x3a0，先有一个x1和x2，其中x13-a0，在图像上把x1和x3两个点相连，和x轴有个交点，记为x3，那么x3相对于x1和x2接近所求的值，然后再连接x3和x2这样下去迭代46次之后可以得到所要的精度，只需要乘法和触法的运算另外一种方法是用多项式近似的方式，当求得一个数a的开三次方的时候，比a多一个小量x的开方（ax）1/3（a1/3）（1x/3a），实际上使用更精确的公式来计算