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1、第二节 二次函数的图像与性质1能够利用描点法做出函数yax2，y=a(x-h)2，ya(x-h)2+k和图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质；2理解二次函数中a、b、c对函数图象的影响。一、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数yx2 ，y-x2 ，y2x2 ，
2、y-2x2 ，y2（x-1）2 的图像。xyO一、二次函数的基本形式1. yax2的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）向上（0，0）轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下（0，0）轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2. yax2k的性质： （k上加下减）的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）向上（0，k）y轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值k向下（0，k）轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值k3. ya（x-h）2的性质： （h左加右减）的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）向上（h，0）直线x
3、=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下（h，0）直线x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值4. ya (xh)2k的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）向上（h，k）直线x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下（h，k）直线x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值5. yax2+bx+c的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）向上直线时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下直线时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：
4、 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）四、二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中六、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 2. 关于轴对称 关于轴对称后，
5、得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 3. 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是；根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变例1、抛物线y=2x26x1y=2x26x1对称轴顶点坐标开口方向位置增减性最值例2、已知直线y=2x3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（3，m）（1）求a、m的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积例3、求符合下列条件的抛物线y=a
6、x2的表达式：（1）y=ax2经过（1，2）；（2）y=ax2与y=x2的开口大小相等，开口方向相反；（3）y=ax2与直线y=x3交于点（2，m）例4、试写出抛物线y=3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。（1）右移2个单位；（2）左移个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。例5、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x23x+5，试求b、c的值。_训练题:1抛物线y=4x24的开口向 ，当x= 时，y有最 值，y= 2当m= 时，y=（m1）x3m是关于x的二次函数3抛物线y=3x2上两点A（x，27），
7、B（2，y），则x= ，y= 4当m= 时，抛物线y=（m1）x9开口向下，对称轴是 在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 5抛物线y=3x2与直线y=kx3的交点为（2，b），则k= ，b= 6已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（1，2），则抛物线的表达式为7在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（ ）Ay=x2By=x2Cy=2x2Dy=x28抛物线，y=4x2，y=2x2的图象，开口最大的是（ ）Ay=x2By=4x2Cy=2x2D无法确定9对于抛物线y=x2和y=x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）A两条抛物线关于x轴对称
8、B两条抛物线关于原点对称C两条抛物线关于y轴对称D两条抛物线的交点为原点10二次函数y=ax2与一次函数y=axa在同一坐标系中的图象大致为（ ）11已知函数y=ax2的图象与直线y=x4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a的值为（ ）A4B2CD12.已知二次函数y=x2x6，当x= 时，y最小= ；当x 时，y随x的增大而减小13抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为14若二次函数y=3x2+mx3的对称轴是直线x1，则m 。15当n_，m_时，函数y(mn)xn(mn)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口_.16已
9、知二次函数y=x22ax+2a+3，当a= 时，该函数y的最小值为0.17.二次函数y=3x26x+5，当x1时，y随x的增大而 ；当x1时，y随x的增大而 ；当x=1时，函数有最 值是 。18.如果将抛物线y=2x21的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。19.将抛物线y=ax2+bx+c向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x24x1则a ，b ，c .20.将抛物线yax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _.21、右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，观察图像写出y2y1时，x的取值范围_22、函数y=ax2 (a0)的图像与直线y=-2x-3交于点（1,b） （1)求a和b的值（2）求抛物线y=ax2 的解析式，并求出顶点坐标和对称轴；（3）x取何值时，二次函数y=ax2 中的y随x的增大而增大？1.根据公式法指出下列抛物线的开口方向、顶点坐标，对称轴、最值和增减性。 2函数y= x2的图象向 平移 个单位得到y=x2+3的图象；再向 平移 个单位得到y(x-1)2+3的图象。
二次函数的图像与性质知识点及练习
