矩阵及其运算【向阳教学】

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1、第二章第二章 矩阵矩阵第五讲第五讲 矩阵及其运算矩阵及其运算一、矩阵一、矩阵二、矩阵的运算二、矩阵的运算其中其中 表示有表示有航班航班始发地始发地ABCD目的地目的地 A B C D例例1 某航空公司在某航空公司在 A、B、C、D 四座四座城市之间开辟了若干航线，四座城市城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地地指向目的地.BACD城市间的航班图情况常用表格来表示城市间的航班图情况常用表格来表示:一、矩阵一、矩阵1.引例引例为了便于计算，把表中的为了便于计算，把表中的改成改成1，空白地方填上，空白地方填上0，就得到一个数表：就

2、得到一个数表：ABCD A B C D这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店家商店发送第发送第 j 种货物的数量种货物的数量 例例2 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的单价，种货物的单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的单件重量种货物的单件重量 称为称为 m 行行 n 列矩阵列矩阵，简

3、称，简称 mn 矩阵矩阵 记作记作 2.矩阵的定义矩阵的定义 定义定义1 1 由由 mn 个数个数 排成排成的的 m 行行 n 列的数表列的数表元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵，元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.这这 mn 个数称为矩阵个数称为矩阵A的的元素元素，简称为元，简称为元.简记为简记为n行数不等于列数行数不等于列数n共有共有mn个元素个元素n本质上就是一个数表本质上就是一个数表n行数等于列数行数等于列数n共有共有n2个元素个元素矩阵矩阵行列式行列式（1）行数与列数都等于）行数与列数都等于 n 的矩阵，称为的矩阵，称为 n 阶方阵阶方阵可记作可记

4、作 .（2）只有一行的矩阵）只有一行的矩阵 称为称为行矩阵行矩阵(或或行向行向量量).只有一列的矩阵只有一列的矩阵 称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量).（3）元素全是零的矩阵称为）元素全是零的矩阵称为零距阵零距阵可记作可记作 O.例如：例如：3.特殊的矩阵特殊的矩阵（4）形如）形如 的方阵称为的方阵称为对角矩阵对角矩阵 当当 时，称为时，称为数量矩阵数量矩阵.特别地，方阵特别地，方阵 称为称为单位矩阵单位矩阵记作记作记作记作 4.4.同型矩阵与矩阵相等同型矩阵与矩阵相等（1）两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵同型矩阵.例如例如为同型矩阵为同型

5、矩阵.（2）两个矩阵）两个矩阵 与与 为同型矩阵，并且对为同型矩阵，并且对应应 元素相等，即元素相等，即 则称矩阵则称矩阵 A 与与 B 相等相等，记作，记作 A=B.注：注：不同型的零矩阵是不相等的不同型的零矩阵是不相等的.矩阵之间不能比较大小矩阵之间不能比较大小.例如例如 例例3 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：发送货物的数量可用数表表示：试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量 其中其中aij 表示表示上半年上半年工厂向第工厂向第 i 家家商店发送第商店发送

6、第 j 种货物的数量种货物的数量其中其中cij 表示工厂表示工厂下半年下半年向第向第 i 家家商店发送第商店发送第 j 种货物的数量种货物的数量二、矩阵的运算二、矩阵的运算解：解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量工厂在一年内向各商店发送货物的数量1.矩阵的加法矩阵的加法定义定义2 2 设有两个设有两个 mn 矩阵矩阵 A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵那么矩阵 A 与与 B 的和记作的和记作 AB，规定为，规定为说明说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.知识点比较知识点比较交交换换律律结结合合律律其其他他矩阵加法的运算规律矩阵加

7、法的运算规律设设 A、B、C 是同型矩阵是同型矩阵设矩阵设矩阵 A=(aij)，记记A=(aij)，称为矩阵，称为矩阵 A 的的负矩阵负矩阵显然显然设工厂向某家商店发送四种货物各设工厂向某家商店发送四种货物各 l l 件，试求：工厂向该商件，试求：工厂向该商店发送第店发送第 j 种货物的总值及总重量种货物的总值及总重量例例4（续例（续例2）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的种货物的单价单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的种货物的单件重量单件重量 解：解：工厂向该商店发送第工厂向该商店发送第

8、j 种货物的总值及总重量种货物的总值及总重量其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的种货物的单价单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的种货物的单件重量单件重量 2.数与矩阵相乘数与矩阵相乘定义定义3 3 数数 l l 与矩阵与矩阵 A 的乘积记作的乘积记作 l l A 或或 A l l，规定为，规定为知识点比较知识点比较结结合合律律分分配配律律备备注注数乘矩阵的运算规律数乘矩阵的运算规律设设 A、B是同型矩阵，是同型矩阵，l l,m m 是数是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算矩阵的线性运算.其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家

9、商店家商店发送第发送第 j 种货物的数量种货物的数量 例例5（续例（续例2）某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的单价，种货物的单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的单件重量种货物的单件重量 试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量 解：解：以以 ci1，ci2 分别表示工厂向第分别表示工厂向第 i 家商店所发货物的总值及家商店所发货物的总

10、值及总重量，其中总重量，其中 i=1,2,3于是于是其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店家商店发送第发送第 j 种货物的数量种货物的数量 其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的单价，种货物的单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的单件重量种货物的单件重量 可用矩阵表示为可用矩阵表示为一般地，一般地，3.矩阵的乘法矩阵的乘法定义定义4 4 设设 ，那么规定矩阵，那么规定矩阵 A 与矩与矩阵阵 B 的乘积是一个的乘积是一个 mn 矩阵矩阵 ，其中，其中并把此乘积记作并把此乘积记作 C=AB 例例6 6 设设则则知识点比较知识点比较有意义有意义.没有意义没有意义.只有当第一个

11、矩阵的列数只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘两个矩阵才能相乘.例例7 7 结论：结论：（1 1）矩阵乘法不一定满足交换律）矩阵乘法不一定满足交换律.（2 2）矩阵）矩阵 ，却有，却有 ，从而不能由从而不能由 得出得出 或或 的结论的结论矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律 (1)(1)结合律结合律 (3)(3)分配律分配律(2)(2)结合律结合律 （其中（其中 l l 是数）是数）(4)(4)单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1 1，即，即推论推论1 1 矩阵乘法不一定满足交换律，但是数量阵矩阵乘法不一定满足

12、交换律，但是数量阵 lElE 与任何与任何同阶方阵都是可交换的同阶方阵都是可交换的.数量阵不同数量阵不同于对角阵于对角阵(5)矩阵的幂矩阵的幂 若若 A 是是 n 阶阶方阵方阵，定义定义显然显然思考：思考：下列等式在什么时候成立？下列等式在什么时候成立？A、B可交换时成立可交换时成立4.矩阵的转置矩阵的转置定义定义5 5 把矩阵把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的的转置矩阵转置矩阵，记作，记作AT.例例转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质例例8 8 已知已知解法解法1解法解法2定义定义6 设设 A 为为 n 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足

13、 ，即，即那么那么 A 称为称为对称矩阵对称矩阵.如果满足如果满足 A=AT，那么，那么 A 称为称为反对称矩阵反对称矩阵.对称矩阵对称矩阵 反对称矩阵反对称矩阵 5.方阵的行列式方阵的行列式定义定义7 7 由由 n 阶阶方阵方阵的元素所构成的行列式，叫做的元素所构成的行列式，叫做方阵方阵 A 的的行列式行列式，记作，记作|A|或或detA.运算性质运算性质定义定义8 8 设设A 是是 n 阶阶方阵，当方阵，当|A|=0|=0时，称时，称A 为为奇异矩阵奇异矩阵（或（或退化退化矩阵矩阵）；）；当当|A|0 0时，称时，称A 为为非奇异矩阵非奇异矩阵（或（或非退化矩阵非退化矩阵）.定义定义9 行列式行列式|A|的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下所构成的如下矩阵矩阵称为矩阵称为矩阵 A 的的伴随矩阵伴随矩阵.元素元素 的代的代数余子式数余子式 位于第位于第 j 行第行第 i 列列6.伴随矩阵伴随矩阵例如，例如，的伴随矩阵为的伴随矩阵为性质性质1证明证明