排队论大学课件8-单服务窗排队模型.ppt

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1、1 第三章 单服务窗排队模型 第一节 损失制 M/M/1/1 第二节 等待制 M/M/1 第三节 混合制 M/M/1/m 第四节 可变服务率的 M/M/1 第五节 可变输入率的 M/M/1 第六节 具有不耐烦顾客的 M/M/1 第七节 单服务窗闭合式 M/M/1/m/m 第八节 有差错服务的 M/M/1 2 2.1 单服务窗等待制排队模型 M/M/1 顾客到达 参数为 的泊松流 顾客服务时间 负指数分布，服务率为 队列最大长度 3 2.2 M/M/1排队模型分析 k= k=0,1,2,3. k= k=1,2,3,4 0 1 2 k-1 k k+1 4 2.3 M/M/1的平稳分布 1 0 0

2、2 2 1 0 10 . . k kk p p p p p p p p p 平衡方程 00 00 0 1 1 1 1 ( 1 ) 1 k k kk k k p p p p p 正则条件： 时平稳分布存在 5 2.4 M/M/1的目标参量 1. 平均系统队长 2. 顾客在系统内平均逗留时间 1 00 ( 1 ) ( 1 ) ( ) 11 k sk kk L k p k 11 ( 1 ) s s LW 6 2.4 M/M/1的目标参量 3. 系统内排队等候的平均顾客数 4. 顾客平均排队等候时间 00 1 0 1 1k k L p p p 服 22 - 1 1 ( )q s sL L L L 服

3、2 ( 1 ) ( ) q q LW 0 ( 1 )qk k L k p 7 2.4 M/M/1的目标参量 5. 系统内多于 k个顾客的概率 6. 记 ls为系统内顾客数，则其方差 为 7. 记 lq为系统内排队等候的顾客数，则其方差 为 11 0 1 1 ( 1 ) k kk l l pp 2ssDl 22 2 0 ( ) . ( 1 )s s s k k l L p 22 2 2 2 2 2 1 2 0 ( 1 )( ) . . . ( 1 )q q q q k qkD l E l L k p L 8 某音乐厅设有一个售票处 ， 营业时间为 8时到 16时 ， 假 定顾客流和服务时间均为负

4、指数分布 ， 且顾客到来的平 均间隔时间为 2.5分钟 ， 窗口为每位顾客服务平均需 1.5 分钟 ， 试求： 顾客不需等待的概率 p0； 平均排队长度 Ls； 顾客在系统中平均逗留时间 Ws； 平均排队等待人数 Lq； 平均排队等待时间； 2.5 例题 9 某音乐厅设有一个售票处，营业时间为 8时到 16时，假定 顾客流和服务时间均为负指数分布，且顾客到来的平均间 隔时间为 2.5分钟，窗口为每位顾客服务平均需 1.5分钟， 试求： 系统内顾客人数超过 4个的概率 p=P（ ls4） ； 顾客在系统内逗留时间大于 15分钟的概率 P（ Ws1/4） 在六天工作日内系统中没有顾客的小时数； 若

5、决定当顾客平均逗留时间超过半小时时 ， 就应增加 一个售票窗口 ， 试问这相当于要求顾客的平均到达率 是原有的几倍 ？ 2.5 例题 10 3.1 单服务窗混合制排队模型 M/M/1/m 顾客到达间隔时间 参数为 的负指数分布 服务时间 参数为 的负指数分布 排队系统容量： m 如果顾客到达系统发现系统满员，则不得不离 开，是系统损失了的顾客 等待队列最大长度 m-1 m 损失的顾客 11 3.2 M/M/1/m排队模型分析 k= k=0,1,2,3 ,m-1 k= k=1,2,3,4 ,m 可约、状态有限，因此是个遍历链，必 定存在唯一的平稳分布 0 1 2 m-1 m 12 3.3 M/M

6、/1/m的平稳分布 1 0 0 2 2 1 0 10 . m mm p p p p p p p p p 平衡方程 1 00 00 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 , 2 , ., 1 1 1 1 mmm i i ii m i k m m i i p p p p p i m p m 正则条件： 当 时， 13 3.4 目标参量（ 1） 1 P损 2 相对通过能力 Q 3 等待队列的平均长度 0 1 1 1 mm m mP p p 损 11 1111 11 m m m mmQp 11 1 1 0 . 11 mm qk m k mL k p 14 3.4 目标参量（ 1） 4 服

7、务机构平均顾客数 L服 5 系统内平均顾客数 Ls 1 00 11 11 ( 1 ) 0 1 11 m mmL p p 服 11 11 1 1 () 1 1 1 ( 1 ) 11 mm sq mm m m m L L L m 服 15 3.4 目标参量（ 1） 6 单位时间内平均损失的顾客数 7 单位时间内平均进入系统的顾客数 8 平均等待时间 Lmp (1 )emp 11 1 11 1 1 () 1 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 1 () 1 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) m m m q q m m m e m m m s s m m m e L mm W

8、 L mm W 16 3.4 目标参量（ 1） 9 服务窗平均服务强度 任何一个单服务窗的平均服务强度等于 平均队长 1 01 ( 1 ) 1 1 m em m p pL 服 服 17 3.4 目标参量（ =1） 当 =1时， 00 1 1 k kp p p m 11 10 00 0 ( 1 ) 2( 1 ) 2 1 ( 1 ) 2 1 2 mm qk kk m sk k qq q em s s e mm L k p p k m m L k p LL m W p L m W 18 3.5 例题 设某自行车修理处只有一个修理工，修 理处内最大容量可以停放 7量自行车，又 自行车按平均每小时 3辆

9、的速率到达修理 处要求修理，而修理工平均修理一辆自 行车需要 15分钟，试求各相应目标参量。 书 57页 19 4 可变服务率的 M/M/1排队模型 服务率会因为系统中的顾客数不同而变化 举例 1（有 2种服务率的情况） 等待制排队系统，服务率大于到达率时系统才能 进入统计平衡状态 0 n-1 2 1 n 1 1 1 1 1 n+1 2 2 2 2 2 顾客数小于等于 n时，采用服务率 1 顾客数大 n时，采用服务率 2 20 4 可变服务率的 M/M/1排队模型 举例 2（服务率根据系统内顾客数成倍增长的情 况） 系统内顾客数为 jm+1时，服务率发生变化 1 0 m m+1 2 2 2m

10、2m+1 3 3 2 jm jm+1 (j+1) j (j+1) 21 4 可变服务率的 M/M/1排队模型 平均服务率 平均服务时间 平均服务强度 1 kk k p 1t 服 01t L p 服服 22 5 可变输入率的 M/M/1排队模型 顾客到达排队系统，因为不愿进入排队 系统而离开，顾客进入系统、离开系统 的概率与系统内顾客人数有关。 最大顾客数 因不愿排队而 损失的顾客 （ 1 k） k 23 5 可变输入率的 M/M/1排队模型 举例 : 顾客进入系统的概率为 实际进入到排队系统的顾客输入率为 1 1k k 1kk k 0 k-1 2 1 k /2 /3 /(k-1) /k k+1

11、 /(k+2) /(k+1) 24 5 可变输入率的 M/M/1排队模型 平均输入率 平均服务强度 损失概率，系统内有 k个顾客时，损失概 率为 (1-k) 0 kk k p 0 (1 )kk k Pp 损 25 6 具有不耐烦顾客的 M/M/1 排队模型 顾客在排队等候的过程中，会因为不耐烦 而离开排队系统，使系统顾客数减 1，成为 系统损失的顾客 最大顾客数 因不耐烦而离 开的顾客 k 排队等候的顾客 k个 26 6 具有不耐烦顾客的 M/M/1 排队模型 假如离开的顾客流泊松流，强度与系统内排队 等候的顾客数有关 k，则系统内顾客数变化是 生灭过程 1 i ii 0 k-1 2 1 k

12、+1 +2 +k-2 +k-1 k+1 +k 27 7 单服务窗闭合式排队模型 M/M/1/m/m 顾客到达排队系统间隔时间服从负指数分布 顾客接受服务的时间服从负指数分布，参数为 假定顾客源中单个顾客的到达率为 最大顾客数 m (m-c) 系统内的顾客数 c 顾客源中的顾客数 m-c 0cm 28 7 单服务窗闭合式排队模型 M/M/1/m/m 到达率分析 顾客源中单个顾客的到达率为 当系统中有 k个顾客的时候，顾客源中有 (m- k)个顾客，到达率为 (m-k)， 0 m-1 2 1 m m (m-1) (m-2) 2 M/M/1/m/m排队模型的状态流图 29 7 单服务窗闭合式排队模型

13、 M/M/1/m/m 求平稳分布 得： 0 1 1 00 12 0 . ! . ( ) ! 1 k k k m k k m p p p mk p 1 0 0 ! ( ) ! m k k mp mk 30 7 单服务窗闭合式排队模型 M/M/1/m/m 此排队模型虽然系统内顾客最大数有限，但是不会出 现顾客损失的情况，所有的顾客都可以进入到排队系 统等候、接受服务 目标参量 0 0 0 00 0 0 ( 1 ) 1 1 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 ) 11 ( 1 ) e s qs s s e q q e Ap QA p Lm p L L L m p m p L m W

14、p L m W p 服 31 7 单服务窗闭合式排队模型 M/M/1/m/m 例题 设机器维修工人一人负责看管 3台机器，每台 机器平均正常工作 5天后出现一次故障，维修 工人平均每天可以修复半台机器。 试求平均停机台数 Ls， 平均停机等待修理台数 Lq， 机器发生故障停机到修复的平均耗时 Ws， 出故障机器平均等待检修的时间 Wq， 以及机器运转的效率与维修工人的劳动强度 32 习题 2 M/M/1 在以 M/M/1为模型的分组传输系统中， 设分组的到达为泊松流，平均到达率为 （分组 /秒），分组长度服从负指数分 布，平均长度为 1/（比特 /分组），输 出速率为 c（比特 /秒），求 每

15、一分组在系统中经历的平均时延 系统中的平均分组数 将 与 c同时提高 N倍，重复 (1)(2)，并对结 果加以解释 33 课后习题 1、病人以平均每小时 8人的速率来到只 有一名医生的诊所，候诊室有 9把座椅供 病人等候，若每一病人平均诊断需 6分钟， （假定病人到达和诊断时间均为负指数 分布），试求： 1）开诊时间内候诊室满员所占的时间比例 2）分别求出有 1个病人、有 2个病人在候诊 室外排队的概率。 34 课后习题 9、设顾客到达收款处是泊松流，每小时 平均来 20人，为保证顾客排队等候平均 时间不超过 5分钟，问收款员工作的平均 速率应为多少 35 课后习题 20、为开办一个小汽车冲洗

16、站，必须决定提供 等待汽车的使用的场地的大小。假设要冲西的 汽车到达服从泊松分布，平均每 4分钟一辆。 冲洗的时间服从负指数分布，每 3分钟洗一辆。 如果所提供的场地仅能容纳 1）一辆 2）三辆 3）五辆 （包括正在冲洗的一辆），比较由于等待场地 不足而转向其他冲洗站的汽车占要冲洗汽车 的比例 36 课后习题 29、某车间有 5台机器，每台机器连续运转时 间为指数分布，平均连续运转 15分钟。设有一 个修理工，每次修理时间为指数分布，平均每 次修理需 12分钟，试求： 1）修理工空闲的时间 2） 5台机器同时出故障的概率 3）出故障机器的平均台数 4）等待修理的平均台数 5）机器的平均停机时间 6）机器的平均修理时间