排列组合公式及例题方法.ppt

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1、排列组合解题技巧综合复习 教学目的 教学过程 课堂练习 课堂小结 1.熟悉解决排列组合问题的基本 方法 ; 2.让学生掌握基本的排列组合应 用题的解题技巧 ; 3.学会应用数学思想分析解决排 列组合问题 . 一 复习引入 二 新课讲授 排列组合问题在实际应用中是非常广泛的 , 并且在实际中的解题方法也是比较复杂的 ,下 面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技 巧 . 例题 1 例题 6 例题 5 例题 4 例题 3 例题 2 从 n个不同元素中 ,任取 m个元素 ,按照一定的 顺序排成一列 ,叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 . 2.组合的定义 : 从 n个不同元素中 ,任取

2、 m个元素 ,并成一组 , 叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的一个 组合 . 3.排列数公式 : 4.组合数公式 : 1.排列的定义 : )!( ! )1()2)(1( mn n mnnnnA mn 排列与组合的区别与联系 :与顺序有关的 为排列问题 ,与顺序无关的为组合问题 . )!(! ! ! )1()2)(1( mnm n m mnnnn A A C m m m nm n 例 1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票 12张。 8个学生， 4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不 相邻，共有多少种不同的坐法？ 解 先排学生共有 种排法 ,然后把老师插入学生 之间的空档，共有 7个

3、空档可插 ,选其中的 4个空档 ,共 有 种选法 .根据乘法原理 ,共有的不同坐法为 种 . 88A 47A 4 788 AA 结论 1 插空法 :对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题 ,可以用插入法 .即先排好没有限制条件的 元素 ,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 的空档之中即可 . 分析 此题涉及到的是不相邻问题 ,并且是对老师有特殊 的要求 ,因此老师是特殊元素 ,在解决时就要特殊对待 . 所涉及问题是排列问题 . 例 2 5个男生 3个女生排成一排 ,3个女生要排在一起 , 有多少种不同的排法 ? 解 因为女生要排在一起 ,所以可以将 3个女生看成是 一个人 ,与 5

4、个男生作全排列 ,有 种排法 ,其中女生内 部也有 种排法 ,根据乘法原理 ,共有 种不同的排 法 . 结论 2 捆绑法 :要求某几个元素必须排在一起的问 题 ,可以用捆绑法来解决问题 .即将需要相邻的元素合 并为一个元素 ,再与其它元素一起作排列 ,同时要注意 合并元素内部也可以作排列 . 分析 此题涉及到的是排队问题 ,对于女生有特殊的限 制 ,因此 ,女生是特殊元素 ,并且要求她们要相邻 ,因此 可以将她们看成是一个元素来解决问题 . 66A 33A 3 366 AA 例 3 在 高二年级中的 8个班 ,组织一个 12个人的年级学 生分会 ,每班要求至少 1人 ,名额分配方案有多少种 ?

5、 解 此题可以转化为 :将 12个相同的白球分成 8份 ,有多 少种不同的分法问题 ,因此须把这 12个白球排成一排 , 在 11个空档中放上 7个相同的黑球 ,每个空档最多放一 个 ,即可将白球分成 8份 ,显然有 种不同的放法 ,所以 名额分配方案有 种 . 711C 711C 结论 3 转化法（插拔法） :对于某些较复杂的、或较 抽象的排列组合问题，可以利用转化思想 ,将其化归为 简单的、具体的问题来求解 . 分析 此题若直接去考虑的话 ,就会比较复杂 .但如果 我们将其转换为等价的其他问题 ,就会显得比较清楚 , 方法简单 ,结果容易理解 . 例 4 袋中有不同的 5分硬币 23个 ,

6、不同的 1角硬币 10个 , 如果从袋中取出 2元钱 ,有多少种取法 ? 解 把所有的硬币全部取出来 ,将得到 0.05 23+0.10 10=2.15元 ,所以比 2元多 0.15元 ,所 以剩下 0.15元即剩下 3个 5分或 1个 5分与 1个 1角 ,所以 共有 种取法 . 110123323 CCC 结论 4 剩余法 :在组合问题中 ,有多少取法 ,就有多少 种剩法 ,他们是一一对应的 ,因此 ,当求取法困难时 ,可 转化为求剩法 . 分析 此题是一个组合问题 ,若是直接考虑取钱的问题 的话 ,情况比较多 ,也显得比较凌乱 ,难以理出头绪来 . 但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话

7、 ,就会很 容易解决问题 . 例 5 期中安排考试科目 9门 ,语文要在数学之前考 ,有 多少种不同的安排顺序 ? 解 不加任何限制条件 ,整个排法有 种 ,“语文安排 在数学之前考 ” ,与 “ 数学安排在语文之前考 ” 的排法 是相等的 ,所以语文安排在数学之前考的排法共有 种 . 99A 9 92 1A 结论 5 对等法 :在有些题目中 ,它的限制条件的肯定与 否定是对等的 ,各占全体的二分之一 .在求解中只要求 出全体 ,就可以得到所求 . 分析 对于任何一个排列问题 ,就其中的两个元素来讲 的话 ,他们的排列顺序只有两种情况 ,并且在整个排列 中 ,他们出现的机会是均等的 ,因此要求

8、其中的某一种 情况 ,能够得到全体 ,那么问题就可以解决了 .并且也避 免了问题的复杂性 . 例 6 某班里有 43位同学 ,从中任抽 5人 ,正、副班长、 团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种 ? 解 43人中任抽 5人的方法有 种 ,正副班长 ,团支部 书记都不在内的抽法有 种 ,所以正副班长 ,团支部书 记至少有 1人在内的抽法有 种 . 543C 540C 540543 CC 结论 6 排除法 :有些问题 ,正面直接考虑比较复杂 ,而它 的反面往往比较简捷 ,可以先求出它的反面 ,再从整体中 排除 . 分析 此题若是直接去考虑的话 ,就要将问题分成好几 种情况 ,这样解题的话 ,容易

9、造成各种情况遗漏或者重 复的情况 .而如果从此问题相反的方面去考虑的话 ,不 但容易理解 ,而且在计算中也是非常的简便 .这样就可 以简化计算过程 . 练习： 有 12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种 数 （ 1）分为两组，一组 7人，一组 5人； （ 2）分为甲、乙两组，甲组 7人，乙组 5人； （ 3）分为甲、乙两组，一组 7人，一组 5人； （ 4）分为甲、乙两组，每组 6人； （ 5）分为两组，每组 6人； （ 6）分为三组，一组 5人，一组 4人，一组 3人； （ 7）分为甲、乙、丙三组，甲组 5人，乙组 4人，丙组 3人； （ 8）分为甲、乙、丙三组，一组 5人，一组 4人，

10、一组 3人； （ 9）分为甲、乙、丙三组，每组 4人； （ 10）分为三组，每组 4人 互斥分类 -分类法 先后有序 -位置法 反面明了 -排除法 相邻排列 -捆绑法 分隔排列 -插空法 小结 : 本节课我们学习了解决排列组合应用题的一些解 题技巧 ,具体有 插入法 ,捆绑法 ,转化法 ,剩余法 ,对等法 , 排异法 ;对于不同的题目 ,根据它们的条件 ,我们就可以 选取不同的技巧来解决问题 .对于一些比较复杂的问题 , 我们可以将几种技巧结合起来应用 ,便于我们迅速准确 地解题 .在这些技巧中所涉及到的数学思想方法 ,例如 : 分类讨论思想 ,变换思想 ,特殊化思想等等 ,要在应用中 注意掌握 .