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1、教学要求 1、理解弧坐标、自然轴系、切向加速度、法向加 速度、全加速度等概念及有关计算公式。 2、掌握用自然坐标法求点的速度、加速度的方法 步骤。 第三节 用自然坐标法确定点的位置、速度和加速度 自然坐标法 :以点的轨迹作为坐标轴来确定动点的位 置、描述点的运动规律的方法。 一、点的弧坐标形式的运动方程 以 O点为坐标原点，以轨迹作为自 然坐标轴。则动点 M在瞬时 t的位 置可用弧长 s来唯一确定。弧长 s 称为 弧坐标 。 弧坐标 s是时间 t的单值连续函数 : s =（ t） 点的弧坐标形式的运动方程 : s =（ t） 1、弧坐标 2、自然轴系 以动点 M的切线和法线 为坐 标轴，其切向
2、轴的正向为弧 坐标的正向，法向轴的正向 指向 M点的曲率中心。此正 交坐标系称为自然（坐标） 轴系 。矢量在自然轴上的 投影为其自然坐标。 切向轴和法向轴的单位矢量用 和 n表示。 二、用自然坐标表示点的速度 tsddv 动点的速度沿着轨迹在该点 的切线方向，它在切向轴上 的投影即为速度的大小，其 值等于弧坐标对时间的一阶 导数。 t s d dv 当 ds/dt 0时，速度 v与 同向； 当 ds/dt 0时，速度 v与 反向。 三、用自然坐标表示点的加速度 在自然轴系中，将动点加速度 a向 和 n轴方向分解， 即： a =a +an= a +a nn 式中： a 、 an分别称为点的切向加
3、速度和法向加速度。 tttt d d d d)( d d d d vvv va dva dta nn dav dt an 2 2 d v d sa d t d t = 1、切向加速度 a :反映了动点速度的大小随时间 的瞬时变化率。 即点的切向加速度的大小等于点的速度的大小对 时间的一阶导数，或等于弧坐标对时间的二阶导数。 点的切向加速度为矢量。 当 dv/dt 0时，切向加速度 a 与 同向； 当 dv/dt 0时，切向加速度 a 与 反向。 2、法向加速度 an:反映了动点速度的方向随时间的 瞬时变化率。 na 2 n v 2 22 n 4 )(2 R R Ra v 点的法向加速度的大小等
4、于点 的速度大小的平方除以对应点 轨迹的曲率半径；点的法向加 速度为矢量，其方向始终指向 该点轨迹的曲率中心。 3、全加速度 a:在自然轴系中，称点的加速度为 全加速度。 全加速度 a的大小及方向： 式中： 为全加速度 a与法向轴 n正向所夹的锐角。 n n a a vdtdvaaa t a n )/()/( 22222 四、点的运动的几种特殊情况 1、匀速直线运动 v =常量， ，故 a =0， an =0，即 a=0。 若已知点的运动的初始条件，当 t=0时， s= s0， 则有 v = ds/dt，积分得 s s0=vt。 2、匀速曲线运动 v =常量，故 a =0， an 0 ，即 a
5、= an= v2/ ； a的方向即 an的方向。 3、匀变速直线运动 an=0， a = a =dv/dt=常量。若已知点的运动的初 始条件，当 t=0时， s= s0， v= v0，则积分可得 v = v0 + at s = s0+ v0t +at/2 由上式消去 t 可得 v 2= v0 2+2a（ s-s0） 4、匀变速曲线运动 an= v2/ ， a =dv/dt=常量。若已知点的运动 的初始条件，当 t=0时， s= s0， v= v0，则积分 可得 v = v0 +a t s = s0+ v0t +a t/2 由上式消去 t可得 v2= v02+2a （ s-s0） 例 3： 如图
6、 a所示：杆 AB的 A端铰接固定，环 M将 AB杆 与半径为 R的固定圆环套在一起， AB与垂线之夹角为 =t ，求套环 M的运动方程、速度、加速度。 方法一：自然坐标法 分析动点的运动、建立弧坐标轴。 动点套环 M的轨迹为沿固定圆环 的圆周运动。以圆环上的 O 点 为弧坐标原点，顺时针为弧坐标 正向，建立弧坐标轴。 列动点的运动方程。 图示几何关系： s = R（ 2 ） 故有： s= 2Rt 求点的速度、加速度。 由 v = ds/dt得 v = d（ 2Rt ） /dt=2R 速度 v的方向沿该点的切线方向，且指向运动的一方。 由 an = v2/ ， a =dv/dt得 a =dv/
7、dt=0， an = v2/=4R 2 即点 M的全加速度为： a=an=4R 2 a的方向即 an的方向，自 M点半径指向圆心。 （套环 M沿固定圆环作匀速圆周运动。） B A M O O 2 x y vx v y v ax ay a 2 方法二：直角坐标法 列动点的运动方程。 建立直角坐标系 Oxy，如图所示。 图示几何关系： x=Rsin2 y=Rcos 2 故点 M的运动方程为 x=Rsin2t y=Rcos2t 求点的速度。 vx= dx/dt = 2Rcos2t vy= dy/dt =-2Rsin2t 点 M速度的大小为： v =v x2+vy2 = 2R 速度的方向余弦： cos
8、（ v， i） = vx/v= cos2t=cos2 求点的加速度 ax= dvx/dt = -4R 2sin2t ay= dvy/dt = -4R 2cos2t 点 M加速度的大小为 a =a x2+ay2 = 4R 2 加速度的方向余弦： cos（ v， i） = ax/a = -sin2t = -sin2 即 a方向沿该点轨迹的半径指向圆心 O。 例 4： 已知点的运动方程 x=2t、 y=t2，其中，坐标、 时间的单位分别为 m和 s。求 t=2s时，动点的曲率半径 。 求点的速度。 vx= dx/dt=2（ m/s）， vy=dy/dt=2t 速度的大小为： 求点的加速度。 ax= dvx/dt =0， ay= dvy/dt = 2（ m/s2） 加速度的大小为： 222 12 tvvv yx )/(2 222 smaaa yx 由 a =dv/dt得点的切向加速度关系式： 当 t=2s时， v =25 （ m/s） a= 45/5 （ m/s2） 故有 则有 22 1/2/)12( ttdttda )/(5/54 )/(52 2sma smv )/(894.0)5/54(2 22222 smaaa n 37.22894.0/20/2 nav
掌握用自然坐标法求点的速度、加速度的方法步骤.ppt
