指数扩充及运算性质.ppt

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1、菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 2 指数扩充及其运算性质 2 1 指数概念的扩充 2 2 指数运算的性质 三维目标 1 知识与技能 ( 1) 在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数 指数的概念及运算 ( 2) 能够利用分数指数幂的运算性质进行运算化简 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达

2、 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 2 过程与方法 ( 1) 让学生了解分数指数幂的扩展，进一步体会数域的扩 充对于数学知识的发展的重要意义 ( 2) 随着数的扩展，相应的运算性质也要判断能否延用和 拓展 3 情感、态度与价值观 使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展 的重要意义，增强学习数学 的积极性和自信心 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 重点难点 重点：分数指数幂的运算性质 难点：难

3、点是根式概念及分数指数的运算与化简 在教学中突破重点、难点的方法是在给出定义前，让学 生类比平方根、立方根举些例子，给出定义后再为学生提供 一些实例，比较、巩固概念并获得根式的性质在具体教学 过程中可以让学生多从具体实例中自己探究、归纳根式的性 质结论 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 教学建议 本节安排的内容蕴含了推广的思想 ( 指数幂运算律的推 广 ) ，逼近的思想 ( 有理数指数幂逼近无理 数指数幂 ) 同时，

4、 教材充分关注与实际问题的联系，体现数学的应用价值建 议教学时通过具体、实际的问题来体现数学思想及价值，教 学过程中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算机或计 算器创设教学情景，为学生的数学探究与数学思维提供支 持 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 教学流程 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基

5、达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析

6、 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教

7、学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 演示结束 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 课标 解读 1.理解分数指数幂的概念，会进行分 数指数幂与根式的互化 (重点 ) 2了解无理数指数幂的概念，了解无 理数指数幂可以用实数指数幂逼近的 思想方法 (易混点 ) 3掌握指数的运算性质，能熟练地进 行指数的运算 (重点、难点

8、) 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 分数指数幂 【提示】 正确 2 试想当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时， 根式能否用分数指数幂表示？ 【答案】 能 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学

9、 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 指数幂的运算性质 【问题导思】 1 整数指数幂的运算性质有 哪些？ 【提示】 ( 1) a m a n a m n ； ( 2 ) ( a m ) n a mn ； ( 3) ( a b ) m a m b m ； ( 4) a m a n a m n . 【提示】 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标

10、 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 若 a 0 ， b 0 ，对任意实数 m ， n ，指数运算有以下性质 ( 1) a m a n ； ( 2) ( a m ) n ； ( 3) ( ab ) m . am n amn ambm 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 根式与分数指数幂的互化 【思路探究】 熟练应用 n a m 是解决该类问题的关 键 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数

11、学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 【自主解答】 【答案】 ( 1 ) D ( 2 ) A 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 根式与分数指数幂 的互化规律 1 关于式子 n a m 的两点说明； ( 1) 根指数 n 分数指数的分母； ( 2) 被开方数 ( 式 ) 的指数 m 分数指数的分子；

12、2 通常规定分数指数幂的底数 a 0 ，但像 a 中的 a 则需要 a 0. 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 将下列各根式化为分数指数幂的形式： ( 1) 1 3 a ； ( 2) 4 a b 3 . 【解】 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资

13、 源 求指数幂 的值 【思路探究】 结合分数指数幂的定义，即满足 b n a m 时， b ( m ， n N ， a ， b 0) 求解 【自主解答】 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 解决此类问题时，根据分数指数幂的定义将分数指数幂 转化为熟悉 的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案

14、 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 【解】 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 分数指数幂的运算 【思路探究】 ( 1) 将负分数指数化为 正分数指数，将小 数指数化为分数指数 ( 2) 将根式化为分数指数幂 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标

15、课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 【自主解答】 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 1 化简的顺序与要求： ( 1) 四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减， 有括号的先算括号里的； ( 2) 运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同 时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数 2 化简的方法与技巧：一般地，进行指数幂运算时， 化负 指数为正指数、化根式为分数指数幂、化小数为分数、

16、化底数为质数等，便于进行幂的运算 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 【解】 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方

17、案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 忽略 成立的条件致误 【错解】 【错因分析】 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 【防范措施】 1. 化简指数式时，应该先讨论其中字母 的取值范围，通常根据指数幂的指数来讨论，也可以化为根 式，利用偶次方根的被开方数为非负数，奇次方根的被开方 数是任意实数来求出其中字母的取值范围 2 ( a m ) n a nm 只有在 a 0 时 一

18、定成立，若 a 0 ) 的值是 ( ) 【解析】 【答案】 D 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 【解】 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 课时作业（十三） 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教

19、法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 【思路探究】 ( 1 ) 已知条件两边平方即可 ( 2 ) 利用 ( 1) 的结果再平方即可 ( 3) 先运用平方差公式化简，再 整体代入 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 【自主解答】 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错

20、 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 1 对于条件求值问题，需要充分利用已知条件和分数 指数幂的运算性质进行化简、求值 2 此类问题通常不直接代入求值，而应整体上把握已 知式和所求式的特点，用整体代入法求解 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 【解析】 ( 1) 2 m 2 m 5 ， (2 m 2 m ) 2 25 ， 即 4 m 2 4 m

21、 25 ， 4 m 4 m 23. 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 x x 1 23. x 2 1 x x 1 x x x 1 23. 【答案】 ( 1 ) 2 3 ( 2 ) B 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 指数的历史 n 个相同

22、的因数 a 相乘，即 ，记 作 a n ， 叫做 a 的 n 次幂，这时 n 叫做指数本来幂的指数总是正整 数，后来随着数的扩充，指数概念也不断发展 正整数指数幂，特别是与面积、体积的计算紧密相联系 的平方和立方的概念，在一些文明古国很早就有了 我国汉 代曾有人提出过负整数指数的概念，可惜的是未曾流传开 .15 世纪末，法国数学家休凯引入了零指数的概念 . 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 17 世纪英国瓦利士在他的

23、无穷小算术中提出了负指 数，他写道： “ 平方指数倒数的数列 1 1 ， 1 4 ， 1 9 ， 的指数是 2 ，立方指数倒数的数列 1 1 ， 1 8 ， 1 27 ， 的指数是 3 ，两者 逐项相乘，就得到 五次幂倒数 的数列 1 1 ， 1 32 ， 1 243 ， 的 指数显然是 ( 2) ( 3) 5. 同样， 平方根倒数 的数列 1 1 ， 1 2 ， 1 3 ， 的指数是 1 2 ， ” 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教

24、师 备 课 资 源 这是一个巨大的进步，不过瓦利士没有真正使用 2 2, 2 3, 的指数符号，只是说 1 4 ， 1 8 ， 1 2 ， 的指数是 2 ， 3 和 1 2 . 菜 单 课 时 作 业 课 前 自 主 导 学 BS 数学 必修 1 教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 教 学 方 案 设 计 当 堂 双 基 达 标 课 堂 互 动 探 究 教 师 备 课 资 源 分数指数幂最早在奥力森的比例算法中出现，他 使用的符号并不简洁现行的分数指数和负指数符号是牛顿 创设的他在 1676 年 6 月 13 日写信给莱布尼茨，里面说到 “ 因为代数学家将 aa ， aaa ， aaaa 等写成 a 2 ， a 3 ， a 4 等，所以 我将 Va ， Va 3 写成 ；又将 1 a ， 1 aa ， 1 aaa ， 写成 a 1 ， a 2 ， a 3 ， ” 他信中的 “ Va ” 与 “ Va 3 ” 就是现在的 a 与 3 a . 牛 顿还首先使用任意实数指数的概念