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1、以解析函数的理论与方法研究 平面电磁场 余毅聪 2003年 12月 复变函数和电磁学这两门课中一些重要 的公式是很相似的，本文试图在一定的 程度上发掘其中的联系。 主要想法 主要内容 1 建立数学模型 2 根据模型推算基本定理 3 一些结论 4 二维场的保形变换 二维场数学模型 无穷长导线的磁场 如图，将一根无穷长的 直导线置于坐标原点， 方向为 Z轴方向。于是易 得 (x,y)点处的磁场分量 为： X Y I r )(2 )(2 22 0 22 0 yx Ix yx Iy B B y x B 现把 Y-X平面视为复平面， z=x+iy, 并令： 2222 0 2 )( yx ix yx y
2、I iBB zww yx 立即得到： w 其中： 2222 ; yx xv yx yu 这里，很明显地有： ;u v u v x y y x 02 )( iEE zww yx 同样，对于电场，则有： 在以下的讨论中，视 为二维电荷， 为二维磁荷。 并统一以符号 表示。 I q 高斯定理与环路定理 注意到对于上面的两种情况，都有 是解析的，因为 Cauchy-Riemman方程得到足： ivuzww )( x v y u y v x u )(;)( 取 C为一条围绕原点的简单封闭曲线，如果原 点处存在无限长的导线（或者带电直线），则 由留数定理可得： C wsidzw 0,Re2 于是解析函数的
3、理论与方法有了用 武之地！ 2)( C C id ydxivudzw 比较实部虚部即得： C C v d xudy v d yudx 0)( 2)( 下面分析上面二式的意义。 (1) (2) 对于图重的曲线积分 ,积分微元是 idydxld 于是 ,如果把 w看作有两个分量的矢 量 ,可有 v d yu d x id ydxivuldw )( 即得 : C ldw 2 由 2 0 IwB 最后得到 : C IldB 0 ld 对于磁场的情况 上式即是我们熟悉的安培环路定理 . 而 (2)式的意义又何在呢 ?注意到 : udyv d xid ydxivuldiw )( 如果我们定义 : lidn
4、d 则可以得到 : C ndw 0 ld nd 的几何意义如图所示 .当把曲线看成是无限长的 柱面的截线时 , 即是曲面的法向量 .上式的意义 即可理解为是二维平面的高斯定理 . nd 显然 ,稍作推广即可以得到 : 1. 对于磁场中的任意简单封闭曲线 C,有 N i iC IldB 10 C ndB 0 2 对于电场的情况 ,由于电场和磁场所对应的 w 仅仅相差一个常数 i, 所以情况完全类似 ,仅仅 只需要将上面两式的右边交换即可 .这里就不 作过多的讨论了 . 由解析的性质得到的一些结论 dz zz zf i zf C )( 2 1)( 1 磁场和电场 (以下仅称场 )的分布由边界决定
5、. 事实上 ,若 w在边界 C上的值为已知 ,则对于区域 内部的一点 Z,有 即是可以由边界上的函数值计算内部的值 . 2 平均值公式 .对于一个闭圆 如果其内部没 有电流 (或电荷 ),则场在圆心处的值 ,等于圆周上的平均值 . Raz 上式的依据是平均值公式 C dsfaf )(2 1)( 圆心处实部和虚部的值对应为圆周上的平均值 , 于是即有以上结论 .事实上 ,泊松公式为我们提 供了计算区域内任何点场值的方法 : d RrrR R r eReRzfrezf iii 2 0 22 )(2 )c o s (2)(2 1)( 3 如果平面区域中没有电荷或者没有磁荷 ,则场 的最大值只能在区域
6、的边界上取到 . 4 平面场所有的电荷之和为 0。 5 如果穿过平面上有电荷： ,且满足 : 则平面上一定存在场强为 0的点 . Nqqq , 21 N Nzz Izz Izz Izf 2 2 1 1)( 021 Nqqq 证明 : 射 N根导线的坐标的复数为 : 容易得到这个场对应的复函数 w(z)为 : Nzzz , 21 N N zz q zz q zz qzw 2 2 1 1)( N N zz q zz q zz qw 2 2 1 1 为证明结论 ,只需要证明函数 N N zz q zz q zz qzf 2 2 1 1)( 在复平面上有非无穷远点的根即可 . ）（ 为了证明上式 ,需
7、要用到的结论有 : 1 大圆弧引理 : 设 f(z)在区域 D: zRz a r g0, 0 )20( 上连续 ,且存在极限 : Azzfz )(lim 设 C是位于 D中的圆弧 ,半径为 R,则 CR iAdzzf )(lim 2 辐角原理 : 设 f(z)在闭路 C的内部可能有有限多个极点 ,除去这些 极点外 , f(z)在 C及其内部解析 ,且在 C上无零点 ,则有 : C PNzf zfi )( )(2 1 这里 N,P分别为极点总数和零点总数 . 有了上面的引理 ,下面证明 所表示的函数在复平面上 定有非无穷远的根 .事实上 : ）（ N N N N zz q zz q zz q z
8、z q zz q zz q zf zf 2 2 1 1 22 2 2 2 1 1 )()()( )( )( 在通分之后 ,分子的最高次为 (2N-2)次 ,分母的最高 次为 (2N-1)次 ,系数均为 : 021 Nqqq 所以 ,成立 : 1 )( )(lim zf zfz z 利用引理 1即得到 : CR idz zf zf 2 )( )(lim 再由引力理 2,有 : 1 PN 又 : 2 nP 1N 所以零点总是存在的 ! 即平面上总是存在一点场强为零 . 对于 的情况 ,则是没有一般结论 . 021 NIII 如图 ,如果兰色代表正电 ,黄色代表负 电 ,则在该场中是没有电场为 0的
9、点的 . 而在下面的这张图中 ,显然正方形的 中心的场强为 0. 磁场中情况完全类似 ,不再赘述 . 保形变换的应用 保形变换是二维空间所特有的，应此利 用保形变换处理平面的电磁场问题，一 定会给我们带来惊喜。 为此，先建立一套体系： 一个定义： 为这个平面场的 “ 场函数 ” 为场函数的充分必要条件是它满足高斯定 理和安培环路定理，即是有： )()( zwzG )(zG C qidzzG 2)( 场函数是这样的函数，它在平面上存在场源的点的留 数是电荷的值，其余点它取场的值的共轭 为讨论方便，一切常数假定为 1。 我们知道，一个保形变换将一个区域映照成为另一个 区域，如果我们把区域上的每一个
10、点都标上该处的电 荷（磁荷），那么保形变换就把一个场分布变换成为 另一种场分布，称作 “ 场的保形变换 ” 。 ()w w z 一个定理： 设 为 的一个场的保形变换，场 函数： ()w w z DD 11( ) ( ( ) ) ( ( ) )G z G w z w z 事实上，边界对应定理保证了 C C dzzwzwGdzzG )() ) ()( 11 即变换后得到的函数仍然满足高斯定理和环路定理，即 为新场的场函数。 一个结论： 对于静电平衡的导体，在经过场的保形变换后仍 静电平衡。 容易验证在经过场的保形变换后，对于所给定的 一个点 等势线的辐角改变量和所对应的场 函数的辐角改变量皆是 仍然满足静电平衡 的条件。 ()z w z ()wz 得到一种新的求解电场的方法，举例如下： () ziw z i zi q () 2 2( ) ( ) () w w zq q q qG z G z ziz z i z izii zi i 黎曼定理断言，对于任意的区域（非全平面），总是存在 保形变换将任意单连通区域映照成为单位圆，所以这种方 法是具有普遍性的。 但是具体实现变换的细节，则是数学上的事情了，也远远 超出本文的范围。本文任务已经完成，讨论到此为止！ 感谢刘金英老师，感谢张文禄助教和 班主任苑震生老师 感谢 3班同学的信任 感谢在场所有听众的支持
以解析函数的理论与方法研究平面电磁场
