高中数学放缩法

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1、高考专题 放缩法缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式

2、知识解决问题的能力本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和一先求和后放缩例1正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式； （2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析数列的通项公式如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和二先

3、放缩再求和1放缩后成等差数列，再求和例2已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1) 求证：；(2) 求证：解：（1）在条件中，令，得， ，又由条件有，上述两式相减，注意到得 所以， ， 所以（2）因为，所以，所以；2放缩后成等比数列，再求和例3（1）设a，nN*，a2，证明：；（2）等比数列an中，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列设，数列bn前n项的和为Bn，证明：Bn解：（1）当n为奇数时，ana，于是， 当n为偶数时，a11，且ana2，于是 （2），公比 3放缩后为差比数列，再求和例4已知数列满足：，求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即所以数列为递增数列，所

4、以，即，累加得：令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得4放缩后为裂项相消，再求和例5在m（m2）个不同数的排列P1P2Pn中，若1ijm时PiPj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数（1）求a4、a5，并写出an的表达式；（2）令，证明，n=1,2,.解（1）由已知得，.（2）因为，所以.又因为，所以 =. 综上，.注：常用放缩的结论：（1）（2）常见高考放缩法试题1. 设都是各项为正数的数列，对任意的正整数，都有成等差数列，成等比数列（1）试问是否成等差数列？为什

5、么？（2）如果，求数列的前项和2. 已知等差数列中，8，66.（）求数列的通项公式；（）设，求证：.3. 已知数列中，（n2，），数列，满足（）（1）求证数列是等差数列；（2）求数列中的最大项与最小项，并说明理由；（3）记，求4. 已知数列an中，a10, 且an+1=， ()试求a1的值，使得数列an是一个常数数列； ()试求a1的取值范围,使得an+1an对任何自然数n都成立； ()若a1 = 2，设bn = | an+1an| (n = 1，2，3，)，并以Sn表示数列bn的前n项的和，求证：Sn0，可得an0并解出：an=，即a1 = an = ()研究an+1an= (n2) 注意到

6、0因此，可以得出：an+1an，anan1，an1an2，a2a1有相同的符号7要使an+1an对任意自然数都成立,只须a2a10即可.由0，解得：0a1时，an+1an对任何自然数n都成立.因此当a1=2时，an+1an0 Sn= b1+b2+bn=|a2a1| + |a3a2| + |an+1an|=a1a2a2a3anan+1=a1an+1=2an+1 又：an+2=, 故Sn0，t1，原不等式等价于令f(t)=t-1-lnt，当时，有，函数f(t)在递增f(t)f(1)即t-1g(1)=0综上得（2）由（1）令x=1,2,(n-1)并相加得即得6. （1），又 或 若，则，与矛盾； 若

7、，则，显然， （2）， 当时，欧 时， 数列是以9为首项，为公比的等比数列。 （3），设是数列中的最大项，则 由 可得数列有最大项，最大项是。7. （1）由是等比数列。（2）8. （）经计算， 当为奇数时，即数列的奇数项成等差数列，； 当为偶数，即数列的偶数项成等比数列， 因此，数列的通项公式为 （）， （1） （2）（1）、（2）两式相减，得 9. （1）,当时, 又对任意的,总有两个不同的根,， 由(1), 对任意的,总有两个不同的根, 对任意的,总有两个不同的根, 由此可得， （1） 当， 当，10. （I）解：由得， （II）由，数列是以S1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，当n=

8、1时a1=1满足 （III），得，则. 当n=1时，即当n=1或2时，当n2时， 11. （I）， 4分 （II）当k2，3，4，5，时， ， ， ， ， 12. 设等比数列的公比为q，由已知条件，得得：，所以，得，即或（舍去）由得：13. （1）由已知，得解得：（2）设存在正数k，使得对一切均成立，则记，则，F（n）是随n的增大而增大，当时，即k的最大值为14. （1）由题意得知，（2），点的坐标为在曲线上，又在曲线上， （III）+ 7分 = ， 例题讲解部分1【2008年湖南理】已知函数（I）求函数的单调区间；（）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数）求的最大值解： （）函数的定

9、义域是，设，则令则当时， 在上为增函数，当x0时，在上为减函数所以在处取得极大值，而，所以，函数在上为减函数于是当时，当时，所以，当时，在上为增函数当时，在上为减函数故函数的单调递增区间为，单调递减区间为（）不等式等价于不等式由知，设则由（）知，即所以于是在上为减函数故函数在上的最小值为所以a的最大值为2山东省日照市2009届高三模拟考试数学理科试题已知，函数（）试问在定义域上能否是单调函数？请说明理由；（）若在区间 上是单调递增函数，试求实数的取值范围；（）当 时，设数列 的前项和为，求证：解：（）的定义域为，由得 2分 当时，递减； 当时，递增 所以不是定义域上的单调函数 4分（）若在是单

10、调递增函数，则恒成立，即恒成立6分 即 8分 （）当时，由（）知，在上为增函数， 又当时， ，即 令则，当时， 从而函数在上是递增函数，所以有即得 综上有： 10分 12分 令时，不等式也成立， 于是代入，将所得各不等式相加，得 即即 14分32009届山东省德州市高三第一次练兵（理数）已知函数在是增函数,在（0,1）为减函数（1）求、的表达式；（2）求证：当时,方程有唯一解；（3）当时,若在内恒成立,求的取值范围解：（1）依题意,即,上式恒成立, 1分又,依题意,即,上式恒成立, 2分 由得3分 4分（2）由（1）可知,方程,设,令,并由得解知5分令由 6分 列表分析：（0,1）1（1,+）

11、-0+递减0递增可知在处有一个最小值0, 7分当时,0,在（0,+）上只有一个解即当x0时,方程有唯一解8分（3）设, 9分在为减函数 又11分所以：为所求范围 12分4山东省实验中学2009届高三第三次诊断考试（数学理）已知函数 （注：）（1）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；（2）当时，若直线与函数的图象在上有两个不同交点，求实数的取值范围：（3）求证：对大于1的任意正整数解：（1）因为 所以依题意可得，对恒成立，所以 对恒成立，所以 对恒成立，即（2）当时，若，单调递减；若单调递增；故在处取得极小值，即最小值又所以要使直线与函数的图象在上有两个不同交点，实数的取值范围应为，即；（3

12、）当时，由可知，在上为增函数，当时，令，则，故，即所以故 相加可得又因为所以对大于1的任意正整书5山东省烟台市2009届高考适应性练习（二）理综试题 数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列 （1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，且，求证：对任意实数是常数，=271828）和任意正整数，总有；（3）在正数数列中，求数列中的最大项解：由已知：对于，总有成立（1） （2） 1分（1）（2）得均为正数， 数列是公差为1的等差数列 3分 又时，解得 5分（2）证明：对任意实数和任意正整数，总有6分 9分（3）解：由已知 ， 易得 猜想时，是递减数列 11分 令，则 当时，则，

13、即 在内为单调递减函数， 由知 时，是递减数列，即是递减数列 又，数列中的最大项为 14分1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知求证：证明： 本题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例2、函数f（x）=，求证：f（1）+f（2）+f（n）n+.证明：由f(n)= =1-得f（1）+f（2）+f（n）.例3、设求证： 证明： ， 本题利用，对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。3、固定一部分项，放缩另外的项；例4、求证：证明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。例5 求证：证明：因为又所以原不等式成立。例6 求证：证明：因为左边证毕。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21