单调性与最大(小)值(三)课件.ppt

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1、1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) Monday, January 25, 2021 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 【 教学重点 】 【 教学目标 】 【 教学难点 】 理解增函数、减函数的概念 掌握判断某些函数增减性的方法 步渗透数形结合的数学方法 函数单调性概念的理解及应用 函数单调性的判定及证明 教法 :自学辅导法、讨论法、讲授法 学法 :归纳 讨论 练习 【 教学方法 】 【 教学手段 】 多媒体电脑与投影仪 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 判断函数 在区间 (-1,1)上的单调性 . 2() 1 xfx x 解 :设 则 f(x1) f(x2)

2、 12 22 1211 xx xx )1)(1( 2221 2 2 121 2 21 xx xxxxxx 1 2 2 1 22 12 ( 1 ) ( ) . ( 1 ) ( 1 ) x x x x xx 1 x 1 x2 1, 1+x1x2 0,x2 x1 0, 22 121 0 , 1 0 ,xx f(x1) f(x2) 0 . 即 f(x1) f(x2) . 故此函数在 (-1,1)上是减函数 . 121 1 ,xx 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 利用函数单调性判断函数的最大 (小 )值的方法 1.利用 二次函数 的性质（ 配方法 ）求函数的最大 (小 )值 2. 利用 图

3、象 求函数的最大 (小 )值 3.利用 函数单调性 的判断函数的最大 (小 )值 如果函数 y=f(x)在区间 a， b上单调递 增 ，则函数 y=f(x)在 x=a处有 最小值 f(a),在 x=b处有 最大值 f(b) ； 如果函数 y=f(x)在区间 a， b上单调递 减 ，在区间 b， c上单调递 增 则函数 y=f(x)在 x=b处有 最小值 f(b)； 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 1.增函数与减函数 一般地 ,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对 于定义域 I内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1x2时 ,都有 f(x1)f(x2) ,那么

4、就说 f(x)在 区间 D上是增函数 2.单调性、单调区间 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或 是减函数 ,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有 (严格的 )单调性 ， 区间 D叫做 y=f(x)的 单调区间 . 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) (1)任取 x1, x2 D,且 x1x2； (2)作差 f(x1)-f(x2); (3)变形 ; (4)判号 (即判断差 f(x1)-f(x2)的正负 )； (5)定论 (即指出函数 f(x)在给定的区间 D上的 单调性 ) 3.利用单调性定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤： 4.常见函数的单调性

5、： 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 二次函数 y=ax2+bx+c(a0) 在 上是增函数 在 上是减函数 -2ba， ,2ba 在 上是增函数 在 上是减函数 -2ba， ,2ba 在 (-,+) 上是减函数 在 (- ,+)上 是增函数 一次函数 y=kx+b(k0) y o x 当 k0时 , y o x 当 a0时 , 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 增函数 减函数 图象 图象 特征 自左至右 , 图象上升 . 自左至右 , 图象下降 . 数量 特征 y随 x的增大而增大 . 当 x1 x2时， y1 y2 y随 x的增大而减小 . 当 x1 x2时， y1

6、 y2 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 1.利用 二次函数 的性质（ 配方法 ）求函数的最 大 (小 )值 2. 利用 图象 求函数的最大 (小 )值 3.利用 函数单调性 的判断函数的最大 (小 )值 如果函数 y=f(x)在区间 a,b上单调递 增 , 则函数 y=f(x)在 x=a处有 最小值 f(a),在 x=b处 有 最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间 a,b上单调递 减 , 在区间 b,c上单调递 增 则函数 y=f(x)在 x=b 处有 最小值 f(b). 利用函数单调性判断函数的最大 (小 )值的方法 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 1

7、.求函数的单调区间 ; 2.判断函数的单调性 (证明 ); 5.求函数的最值或值域 3.比较函数的大小 4.求参数的取值范围 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 【 例 1】 函数 y=x2 -2|x|-3 的单调递增区 间是 _; -1,0,1,+) -2 1 -1 o x y 2 2 2 3 , 0 , 2 3 , 0 . x x x y x x x 一、求函数的单调区间 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 【 1】 求函数 y=|x+1| |1 x| 的单调区间 . 解 :由 y = | x + 1 | |1 x |,知 x y -1 1 2 -2 o 故函数的增 区

8、间 为 1, 1. 1, 1 2, 2 , , 2, 1 1. x x x yx 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 1.函数 的单调减区间为 _. 132 2 xxy 2.函数 y=|2x-1|的单调增区间是 _. 1 , ) 2 3 , ) 4 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) ( , 2 ) 1 2 1 2, ( , 2 ) ,x x x x ， 且 12 12 12 3 7 3 7( ) ( ) 22 xxf x f x xx 1 2 2 1 12 3 7 2 3 7 2 22 x x x x xx （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 1 2 2 1

9、12 6 7 6 7 22 x x x x xx （ ） （ ） （ ） （ ） 【 例 2】 证明函数 在 37 2xy x 上是减函数 . 二、判断 (证明 )函数的单调性 证明：任取 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 因此 在 上是减函数 . 1 2 2 1 0.x x x x ， 37() 2 xfx x 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 67 2 2 2 2 . x x x x x x x x x x （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 1 2 1 22 , 2 , 2 0 , 2 0 .x x x x 又 12( ) ( ) 0 ,f x f

10、x 12( ) ( ) .f x f x即 ( , 2 ) 【 例 2】 证明函数 在 37 2xy x 二、判断 (证明 )函数的单调性 ( , 2 ) 上是减函数 . 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 另解 : 37 2 xy x 2 1)2(3 x x 13. 2x 1y x 13. 2y x y x o ( , 2 ) ( 2 , ) . 和 向上平移 1 2y x 向左平移 2 个单位 3个单位 所以函数 f(x)的递减区间是 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 【 1】 写出函数 的单调区间 . 26 2xy x 42 2y x x y o 1.3.1单调性与

11、最大 (小 )值 (三 ) 例 3.已知函数 对任意实数 t都有 比较 f(1), f(2), f(3)的 大小 . 三、利用单调性比较函数值的大小 ( 2 ) ( 2 ) ,f t f t 2()f x x b x c ( 2 ) ( 1 ) ( 4 )f f f 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 【 1】 已知函数 f(x)在 (0,+ )上是减函数 ,则 的大小关系为 _. 23( ) ( 1 ) 4f f a a与 23( ) ( 1 ) 4f f a a 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 1.设函数 y=x2+2(a-1)x+2在区间 2,+)上是增函数 ,

12、求实数 a的取值范围 . 解 :函数 y=x2+2(a-1)x+2的对称轴方程为 x=1-a, 函数的单调增区间是 1-a,+), 2,+)是 1-a,+)的一个子集 , 1 -a2 即 a -1. 即所求的实数取值范围是 a -1. 图象演示 由二次函数性质知 , 四、利用函数单调性求参数的取值范围 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 【 1】 函数 f(x)=x2+4ax+2在区间 (-,6内 递减 ,则 a的取值范围是 ( ) A.a3 B.a3 C.a-3 D.a-3 D 【 2】 在已知函数 f(x)=4x2-mx+1,在 (-,-2 上递减 ,在 -2,+)上递增 ,则

13、f(x)在 1,2上的值 域 _. 21,39 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 【 3】 已知 f(x)是 R上的增函数 , 若 a+b0,则 有 f(a)+f(b)f(-a)+f(-b). 证明 :由 a+b0,得 a-b,b-a. 又因为 f(x)是 R上的增函数 , f(a) f(-b), f(b)f(-a), + 得 f(a)+f(b) f(-a)+f(-b). 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) ,1 2 1 2 2 , 1 0 , ,x x x x 且 分析 :设 则 1 2 1 2 12 16 16( ) ( ) ( ) ( )f x f x x x xx

14、 1 2 1 2 12 ( ) ( 1 6)x x x x xx 确定 正负号的关键 ,是 确定 12( ) ( )f x f x的正负号 . 12 16xx 由于 x 1, x2在同一区间内 , 要使 则需 12 16,xx 12, 4 , 1 0 ,xx 要使 则需 12 16,xx 12, 2 , 4 ,xx 例 5.求函数 的最大值 . 16( ) , 2 , 1 0 f x x x x 五、求函数的最大 (小 )值或值域 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 例 5.求函数 的最大值 . 16( ) , 2 , 1 0 f x x x x 解 :任取 x 1, x2 , x1

15、, x22,4,且 x1 x2, 1 2 1 2 12 16 16( ) ( ) ( ) ( )f x f x x x xx 1 2 1 2 12 ( ) ( 1 6)x x x x xx 当 时 , 1224xx 1 2 1 20 1 6 0 .x x x x ， 1 2 1 2( ) ( ) 0 , ( ) ( ) .f x f x f x f x 即所以 函数 f(x)在 2,4上是减函数 . 同理 函数 f(x)在 4,10上是增函数 . 五、求函数的最大 (小 )值或值域 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 解： 函数 16()f x x x 在 2,4上是减函数 . 所以

16、 f(x)在 2,4上有最大值 , m a x 16( ) ( 2 ) 2 1 0 ; 2f x f 函数 16()f x x x 在 4,10上是增函数 . 所以 f(x)在 4,10上有最大值 , m a x 1 6 5 8( ) ( 1 0 ) 1 0 . 1 0 5f x f ( 1 0) ( 2) ,ff所以函数 f(x)在 2,10上的最大值是 58( 1 0 ) . 5f 几何画板 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 例 6.函数 f(x)是定义在 (0,+)上的递减函数 , 且 f(x) f(3-a),求实数 a 的取值范围 【 2】 函数 y=f(x)是定义在 (-

17、1,1)上的减函数 , 若 f(2-a) f(3-a),求实数 a 的取值范围 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 6: ( 2 , 2) ( ) ( ) ( ) ( 2 , 2) ( 2 ) ( 1 2 ) 0 fx f x f x f a f a a 例 已 知 定 义 在 上 的 函 数 满 足 ， 且 在 上 单 调 递 增 ， 若 ， 求 的 取 值 范 围 . 2 2 2 1 2 1 2 2 0 2 2 2 1 a aa aa 解 ： 由 已 知 得 ： 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 【 例 3】 求 f(x)=x2-2ax+2在 2,4 上的最小值 .

18、解 :f (x) = (x-a) 2+2-a 2, 当 a 2时 , 当 2a 4 时， 当 a4时 , i 2 mn 2 , ( 2 6 4 , ( 2 ) , () 4 ) , 18 8 , 4. a aa fx aa a f(x)min=f(2)=6 4a; f(x)在 2,4 上是增函数 , f(x)min=f(a)=2 a2. f(x)在 2,4上是减函数 . f(x)min=f(4) = 18 8a. 几何画板 七、有关最值讨论题 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 教材 P11 练习 T4. 教材 P12 A组 T7,9,10. 2007年 9月 13日 山东省临沂一中

19、 李福国 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 复合函数： y=fg(x) 令 u=g(x) 则 y=f(u) 内函数 外函数 y=fg(x) 原函数 以 x为自变量 以 u为自变量 以 x为自变量 (5)复合函数的单调性 复合函数单调性结论： 当内外函数在各自定义域内同增同减 时 ,原函数增 ; 当内外函数在各自定义域内一增一减 时 ,原函数减 . 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) (1)f(x)是 a,b上增函数 ,若存在 x1, x2 a,b 且 x1x2,则 f(x1)f(x2). (2)若存在 x1, x2 a,b且 x1x2,则 f(x1) f(x2) f(x)

20、是 a,b上增函数 . (3)函数 f(x)在 a,b上满足 f(a) f(b)，则 f(x) 在 a,b上是增函数 . (4)若存在 x1, x2 a,b且 x1f(x2) f(x)是 a,b上减函数 . （正确） （错误） （错误） （错误） 【 2】 判断下列两个命题的正误： 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 的单调区间。例题、求函数 3-2xxy 2 1x-3x03-2xx 2 ，或解： ），原函数的定义域为（ 13 uy, 3-2xxu 2 则令 ）上为增函数，在 为减函数，在（而 ）为增函数，在 1 33-2xxu 0uy 2 2y x 2 x - 3 1 3 函 数

21、的 单 调 递 增 区 间 为 ， ） ， 单 调 递 减 区 间 为 （ ， 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 的单调区间。求函数 34xxy 2 练习： 注意： 在原函数定义域内讨论函数的单调性 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 补充练习： 的大小。试比较 满足、已知二次函数 f ( 4 )f ( 2 ) ,f ( 1 ) ,t),-f(2t)f(2 0)c ( abxaxf ( x )1 2 的取值范围。为增函数，求实数 ）上，在、已知函数 a 25a ) x-(2xf ( x )3 2 0bD 0bC 0bB 0bA 0cbxxy2 2 、 ）充要条件是（ ）上

22、是单调函数的，在、函数 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 的单调区间。、求函数 3|x|2-xf ( x )4 2 5 a、 讨 论 函 数 f ( x ) = x + ( a 0 ) 的 单 调 性 . x 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 7 f ( x ) 0 f ( x y ) f ( x ) f ( y ) ,f ( 2) 1, f ( x ) f ( x - 2) 3 、 已 知 的 定 义 域 为 （ ， ） ， 且 在 其 上 为 增 函 数 ， 满 足 解 不 等 式 2 6 f ( x ) 1 1 f ( x - 1 ) - f ( x - 1 )

23、0 x 、 已 知 函 数 是 定 义 在 ， 上 的 增 函 数 ， 且 ， 求 实 数 的 取 值 范 围 。 8 、 已 知 函 数 f(x) 对 任 意 x , y R , 总 有 f(x+y)=f(x)+f(y), 2 且 当 x0 时 ,f(x)0,f(1)=- 3 (1) 求 证 :f(x) 是 R 上 的 减 函 数 ; (2) 求 f(x) 在 -3,3 上 的 最 大 值 和 最 小 值 . 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) (1)f(x)是 a,b上增函数 ,若存在 x1, x2 a,b 且 x1x2,则 f(x1)f(x2). (2)若存在 x1, x2 a

24、,b且 x1x2,则 f(x1) f(x2) f(x)是 a,b上增函数 . (3)函数 f(x)在 a,b上满足 f(a) f(b)，则 f(x) 在 a,b上是增函数 . (4)若存在 x1, x2 a,b且 x1f(x2) f(x)是 a,b上减函数 . （正确） （错误） （错误） （错误） 【 1】 判断下列 说法是否正确 . 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 定义在 R上的函数 f(x)满足 f(2)f(1), 则函数 f(x)是 R上的增函数 ( ). 定义在 R上的函数 f(x)满足 f(2)f(1),则函数 f(x)在 R上不是减函数 ( ). 函数 y=f(x)

25、在区间 I上对于任意的 x1,x2满 足 ,则 f(x)在区间 I上为单调增 函数 ( ). 12 12 ( ) ( ) 0f x f x xx y x O 1 2 f(1) f(2) X 【 2】 判断下列 说法是否正确 . 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) 定义在 R上的函数 f(x)在区间 (-,0 上是增函数 ,在区间 (0,+) 上也是增 函数 ,则函数 f(x)在 R上是增函数 ( ). 定义在 R上的函数 f(x)在区间 (-,0 上是增 函数 ,在区间 0,+) 上也是增函数 ,则函数 f(x) 在 R上是增函数 ( ). y x O X 函数 y=f(x)在区间

26、I上对于任意的 x1,x2 ,且 x11 时 , f(x)0. (1)求证 : f(x) 为偶函数； (2)讨论函数的单调性； (3)求不等式 f(x)+f(x-3)2的 解集 . (1)证 : 在中令 x=y=1, 得 f(1)=f(1)+f(1) f(1)=0. 令 x=y=-1, 得 f(1)=f(-1)+f(-1)f(-1)=0. 再令 y=-1, 得 f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x). f(x) 为偶函数 . 先讨论 f(x) 在 (0, +) 上的单调性 , 任取 x1, x2, 设 x2x10, f(x2)f(x1). f(x) 在 (0, +) 上是增函数 , 由 (

27、1) 知 , f(x) 在 (-, 0) 上是减函数 . 偶函数图象关于 y 轴对称 , (2)解 : 在中令 y= , 得 : x 1 由知 f( )0. x2 x 1 1, x2 x1 f(1)=f(x)+f( )f( ) =-f(x), x 1 x 1 则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f( )=f( ). x2 x 1 x1 1 1.3.1单调性与最大 (小 )值 (三 ) (3)解 : fx(x-3)=f(x)+f(x-3) 2, 由 、 得 2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(-4), 1)若 x(x-3)0, f(x) 在 (0, +) 上为增函数 , 由 fx(x-3)f(4) 得 : 2)若 x(x-3)0 x(x-3) 4 x3 -1 x 4 -1 x0 或 3x 4; x(x-3)0 x(x-3) -4 0 x3. 0 x3 xR 原不等式的解集为 -1, 0) (0, 3) (3, 4. 注 抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题 , 其基本 方法是变量代换、换元等 , 应熟练掌握它们的这些特点 . 法二 原不等式等价于 f|x(x-3)|f(4)(x0, x-30), 由 f(x) 在 (0, +) 上为增函数得 : |x(x-3)|4. 再进一步求得解集 .