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1、第三章 稳恒磁场、 填空题1、已知半径为“圆柱形空间的磁矢势Z（柱坐标,该区域的磁感应强度为（ ）.答案：2、 稳恒磁场的能量可用矢势表示为（）答案：-3、分析稳恒磁场时,能够中引如磁标势的条件是（ ） . 在经典物理中 甲 A - dl矢势的环流一表示（）答案：或求解区是无电流的单连通区域4、 无界空间充满均匀介质，该区域分布有电流，密度为,空间矢势-!的解析表达式（）5、磁偶极子的矢势等于（）；标势. 等于（）他屈兴用m RA= _串=一;6、 在量子物理中，矢势具有更加明确的地位，其中 是能够完全恰当地描述磁场物理量的（ ）.答案：相因子，7、 磁偶极子在外磁场中受的力为（ ）， 受的力
2、矩（ ）.8、电流体系的磁矩等于（）答案： J9、无界空间充满磁导率为均匀介质，该区域分布有电流，密度为:,空间矢势!的解析表达式（）二、 选择题1、线性介质中磁场的能量密度为A.B. C. “ hD. J，答案： A2、 稳恒磁场的泊松方程 成立的条件是A.介质分区均匀B任意介质C各向同性线性介质D介质分区均匀且3、引入磁场的矢势的依据是A. i 口 ：； B. 门 ; C. ”; D. 廿：答案：D4、电流处于电流产生的外磁场中，外磁场的矢势为，则它们的相互作用能为Ac- JdvAc - Jdv. - Jcdv A- JdvD.答案：A5、对于一个稳恒磁场二，矢势有多种选择性是因为A. !
3、的旋度的散度始终为零;B.在定义 1时只确定了其旋度而没有定义 散度;C. !的散度始终为零；答案： B6、磁偶极子的矢势-I和标势分别等于A =R.处冬;恥斤 肌冠斤A.斗护声厂心尺b 4；护，s丄収厂-卅或币乂丘帀斤A=-心=少只_C.厂用 卩_滋丈D. 斗齐尺厂4叭用7、用磁标势解决静磁场问题的前提是A.该区域没有自由电流分布B.该区域是没有自由电流分布的单连通区域C.该区域每一点满足D.该区域每一点满足 人；答案：B三、 问答题1、在稳恒电流情况下，导电介质中电荷的分布有什么特点？答：稳恒电流请况下，因稳恒电流是闭合的，则有，由电荷守恒定律：，知：，即：宀：所以导电介质中电荷的分布不随
4、时间改变，为一守恒量，至于厂处p值 幷 7 - dS = 0r 聊 E - dS = 0大小由介质形状、大小等决定。若是均匀导电介质，由得，根据高斯定理,导体内处处无净余电荷分布,电荷分布于表面及不均匀处.2、判定下述说法的正确性，并说明理由：（1）不同的矢势，描述不同的磁场；（2）不同的矢势，可以描述同一磁场；（3）打二的区域，“也为零。答：（1）（3）不正确，（2）的说法是正确的，理由如下：因为任意 函数申的梯度的旋度恒为零，贝y：， - 说明：不同的矢势，可以描述同一磁场。B=0的区域，若“可以表为某一函数的梯度，即T十A ，则亦满足A=Q，所以矢势可以不为零。3、在空间充满介质与无介质
5、两种情况下，若电流分布相同，它们的磁场强度是否 相同？答：对于各向同性的均匀非铁磁介质，有：八*“即又牯巴严二占八乂二鬥岁姑所以。即：若电流分布相同，它们的磁场强度也相同。但若不满足以上条件，即非均匀介质或非静磁场，即则门一般不同。4、 由RH，有人认为静磁场的能量密度是-，-A J有人认为是-，你怎么认为，为什么？丄4方丄入了答:能量密度是而不是，因为仅对电流分布区域积分,磁场能量是分布于整个磁场中，而不是仅在电流分布区域内。5、试比较静电场和静磁场。答: 静电场和静磁场的比较静电场：无旋场I静磁场：无源场微分方程-微分方程1边值关系：,能量6、描述磁场B的、满足 1 的矢势，是什么性质的矢
6、量场？它是否是唯一的？理由是什么？答：依题意有：V X ?1= Z?V J4= 0知“为一个有旋无源的场，既为横场，但不是唯一的，还需“在边界上的法向分 量。7、我们知道，在J=0的区域，磁场强度满足- -“，如果我们把它表示成，此方程仍能成立。试述这样引入.所存在的问题。答：若对静磁场，时,:，在此引入门-只考虑了即没有自由电流分布，但只有在没有自由电流分布的单连通区域内的环量才为零,pHdf = 0只有对任意回路，都有时门一定成立,才可以引入磁标势。8、磁标势微分方程是否说明存在真正的磁荷?答:磁标势微分方程2屮=-p m 2 0。不是，这是一种假设,把电流圈看成磁偶极 子，它即磁场是由磁
7、偶极子产生的。而磁偶极子可看成极性不同的两个“磁荷”形 成，因而“磁荷”是磁偶极子的等效的假设。9、对于直长导线的磁场，在什么样的区域可以引入磁标势？答：可以在除去以直长导线为边线的半平面以外的区域引入磁标势。10、试用磁荷观点与分子电流观点求一个磁化矢量为川的永磁体在空间激 发的磁场，并证明所得结果是一致的。答：依磁荷观点：整个空间中 1 “1由、门引入，即门可表为-二养一叫可十黑而，其中可心亦=o依分子电流观点：广，而依照题意有:=.W- V 如比较知，所得结果是一致的。11、试说明：分布于有限区域的电流系，在时，其矢势感应强度解：因有限区域的电流系可以分成许多闭合流管，撵时，其失势场主要
8、由闭 合流管的磁偶极势和场决定即：气 tn： R=4” 炉12、我们知道，对于闭合电流圈，在场点离其很远的情况下，其矢势和场由其 磁偶极势和场所决定。因此，在上述条件下，人们常说小闭合电流圈与一磁偶 极子等效。试问，当场点离电流圈不是很远时，闭合电流能否与某种分布的磁 偶极子等效？dm= idSI在介质中门|； : :k，所以，介质界面上的磁化电流密度为：仪=Af m/如 一 I 妞 * 6 =（人2 卅）（戸气 - 1此JM J/- J（和2府厂启吧_儿卅址_1） 总的感应电流：，电流在 z0 区域内，沿 z 轴流向介质分界面。4、设x0空间为真 空，今有线电漩沿Z轴流动，求磁感应强度和磁化
9、电流分布。解：假设本题中的磁场分布仍呈轴对称，则可写作它满足边界条件：八界八:及 1!-。由此可得介质中：H2 = 8/fi = 3如 g由；，： - 得：在x0的介质中If所以则：町:曲+ 0广即=农一吋再由可得川 八:;1:,b=牛抄M3_从府，打=（卫+附）（沿z轴）5、某空间区域内有轴对称磁场。在柱坐标原点附近已知，其中为常量。试求该处的。提示：用并验证所得结果满足八。解：由于具有对称性，设，其中打-；,，即：卩比、-czp +常数）。当时，为有限，所以;1）B - czpep + 场-c(/ - p1 巳因为丿=0, D=0，所以B = 0,即它B“辰-6叩即、轨=0直接验证可知，（
10、）式能使（2）式成立，所以卩=呦,（c为常数6、两个半径为a的同轴圆形线圈，位予二十匸面上。每个线 圈上载有同方向的电漩。（1）求轴线上的磁感应强度。（2）求在中心区域产生最接近于均匀常常时的和a的关系。提示：用条件八 1解：1）由毕一萨定律，L处线圈在轴线上z处产生的磁感应强度为同理，-L处线圈在轴线上z处产生的磁感应强度为:所以，轴线上的磁感应强度：8-1)2）因为- -:，所以| 厲- *|：；又因为 宀； ，所以1 o代入（1）式并化简得：5（L- zf（ L- z2 十 a ?/I -|（- z1 十 a: |5/2 十 5（十亦|十 z）1 十 a 7 2 -（ 忑 q / = 0
11、将 z=0 带入上式得：、1； ，-7、半径为a的无限长圆柱导体上有恒定电流均匀分布于截面上，试解矢势的微分方程。设导体的磁导率为，导体外的磁导率为。解：矢势所满足的方程为：*认卜=0 n自然边界条件：；，时，有限。边值关系：；选取柱坐标系，该问题具有轴对称性，且解与 z 无关。令代入微分方程得：； . ，9解得：由自然边界条件得，一可 X 血._= 州 Ir-j C = - 7J - 由，-得：并令其为零，得:解：8、假设存在磁单极子，其磁荷为,它的磁场强度为八 。给出它的矢势的一个可能的表示式，并讨论它的奇异性。可 K A= D= /f,il = 2J由得:(1令(2显然满足（1式，所以磁
12、单极子产生的矢势讨论：当时，-V ;当 T兀门时，貝T巳Qm心丹；时，当r 时，故的表达式在具有奇异性，此时不合理。m。9、将一磁导率为，半径为 的球体，放入均匀磁场内，求总磁 感应強度和诱导磁矩解：根据题意，以球心为原点建立球坐标，取H0的方向为。，此球体被外加磁场磁化后，产生一个附加磁场，并与外加均匀场相互作用，最后达到 平衡，呈现轴对称。本题所满足的微分方程为：二 0 （/? = 一心心当心仇时，论，所以终。即空腔中无磁场，类似于静电场中的静电屏蔽。11、设理想铁磁体的磁化规律为： ,，其中 是恒定的与：无关的量。今将一个理想铁磁体做成的均匀磁化球（ 为常值）浸入磁导率为 的无限介质中，
13、求磁感应强度和磁化电流分布。解：根据题意，取球心为原点，建立球坐标系，以M0的方向为，本题具有轴对 称的磁场分布，磁标势的微分方程为：自然边界条件：9由轴对称性及两个自然边界条件，可写出拉普拉斯方程通解的形式为：%二Z心尺乜品 = Z休尺9ja-Off-0代入衔接条件，比较各项的系数，得:兀=此=0 （打H I 丨.和=Nil/（讯）；h_ =拦何*R： 2/十月）7，- 5 =如岖 耘储白/门屮十戸），恥 禺）卩曲=叫叫尺曲*幷龙沙小炉,（尺 尺由此归=.如丿人+=却r片陆/（2“）心，（其中弋-1）将B的表达式代入，得:12、将上题的永磁球置入均匀外磁场中，结果如何?解：根据题意假设均匀外
14、场的方向与M0的方向相同，定为坐标z轴方向。磁 标势的微分方程为：自然边界条件：冊II为有限;9解得满足自然边界条件的解是：卩 mi = % Rg& &( J?b)代入衔接条件，得：八 八：-乩十“同十Ml =解得： =如忧十（戸- S）Q|尺;2十巾訂- % = 0(陆-3旳码)j?ws 3 心 + 2叭)(R 尺J卩曲=-叫尺曲日1如A/厂（P -如）叽闵01鮎3十2如）宜訂，（尺a此）占I = -v J = -如(Mq -十 2心呂=津码十气见=3冲乜比心十2牛）十2血呵.2十2牛），R R*)13、有一个均匀带电的薄导体壳其半径为，总电荷为L,今使球壳绕自身某 一直径以角速度宀转动，求
15、球内外的磁场人：。提示：本题通过解 或.的方程都可以解决，也可以比较本题与5例2的电 流分布得到结果。解：根据题意，取球体自转轴为 z 轴，建立球坐标系。磁标势的微分方程为：11 1 K 用：； .:11 1 R9自然边界条件：衔接条件：Rf其中;:11 ;是球壳表面自由面电流密度。解得满足自然边界条件的解是：仏I = %恥曲& 恥尺J%】=也直2朋目，代入衔接条件，得：9占|十%町=0解得：爭皿=-QmR如丹血出,(尺 Ri)比=审也=QE石兀竝6 =乩月| =仏QESRq ( R KJH、= -V m = （曲町尺/炉-曲/用訂/Mjt其中B-、=尹屮、=/jciS(tti - R、Ri
16、R - m / 7? / 4?14、电荷按体均匀分布的刚性小球，其总电荷为J,半径为，它以角速度 绕自身某一直径转动，求（1）它的磁矩；（2）它的磁矩与自转角动量之比 （设质量 M 0 是均匀分布的）。解：1）磁矩-1/(aWV又-. i-.L=3Q： 汕汕町Ji4 sin J WdR = 馭de时 R & sin 日(-)sin BdRd3無 4凤.-.m/L= Q/2M,15、有一块磁矩为m的小永磁体，位于一块磁导率非常大的实物的平坦界面 附近的真空中，求作用在小永磁体上的力,。解：根据题意，因为无穷大平面的很大，则在平面上所有的H均和平面垂直， 类比于静电场，构造磁矩m关于平面的镜像，则外场为：耳=-戶浮叫而rm 2 com 日 sin &尹 m.、比=W一严而（观址+ 心m 受力为：F =（m- V）Z?. r-2j&=a加2叽
电动力学复习总结第三章稳恒磁场2012答案解读
