真空中的高斯定理电势和电势差

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1、大 学 物 理 第十三章 电偶极子 周围场强 : 3 0 r4 p2E 延线 3 0 r4 PE 中线 r r q 4 1E 02 0 点电荷 周围的场强 延长线上： 中垂线上： 中垂线上： 均匀 带电 圆盘 轴线上 1 2 220 xR xE 2322 0 )( 4 Rx qxE 均匀带电 圆环 轴线上 均匀 带电 直线 延长 线上： )c o s( c o s 21 0 x a4E ala l4E 0 特例： 无限长 带电直线周围： 无限大 带电平面 周围： 02 EaE 02 复习： 大 学 物 理 第十三章 例 ：求电偶极子在均匀电场 中所受的作用。 解 : EqFF 电偶极子在均匀外

2、电场中所受的合外力 F F l q +q 0F 故有力矩的作用。不在同一直线上由于 , FF ElqFlM EPM 点电荷 q在 外电场中 所受的静电力为 : EqF E 五、带电粒子在外电场中所受的作用 P10 s i nlFM 大小： 方向： 顺时针 写成矢量式： , 时 0 0M 大 学 物 理 第十三章 电偶极子在均匀外电 场中所受的合外力 0F 的方向El EPM 点电荷 q在 外电场 中 所受的静电力为 : EqF F F l q +q E s inq lEM 大小： 方向： 电偶极子在均匀外电 场中所受的力矩 E 大 学 物 理 第十三章 13.4 真空中的高斯定理 二、电通量

3、三、高斯定律 一、电场线 四、高斯定律的应用 大 学 物 理 第十三章 13.4 真空中的高斯定理 描述电场 解析法 图示法 EdEEE i 或 电力线 方向切线方向表 E ds dE：疏密程度表大小 注 意 ： 电力线是假想的线； 电力线代表合电场分布； 电力线性质： 始于正电荷 ,止于负电荷 (或 来自无穷远 ,去向无穷远 )； 二电力线不会相交。 EdS 不形成闭合线； 一、电场线 （电力线） 大 学 物 理 第十三章 点电荷的电场线 正 点 电 荷 + 负 点 电 荷 大 学 物 理 第十三章 一对 等量异号点电荷 的电场线 + 大 学 物 理 第十三章 一对 等量正点电荷 的电场线

4、+ + 大 学 物 理 第十三章 一对 不等量异号点电荷 的电场线 qq2 大 学 物 理 第十三章 带电平行板电容器的电场线 + + + + + + + + + + + + 大 学 物 理 第十三章 通过某一曲面的电力线条数 通过面元 dS和 dS 电力线条数相等吗 ? n dS dS E 二、电通量 所以 ， 通过 dS的电力线条数或 电通量为： = EdScos edE ds 根 据 得 均匀电场 ，通过平面 dS的 电通量 用 表示 e ?ed ed E d s E d sd e 先求通过面元 dS 电力线条数 : 相等 E 设 与平面法线 夹角为 n 大 学 物 理 第十三章 c o

5、 sE d se d ,20 ,2 对任意曲面 S See SE dd S dS E n 引入矢量面元 nSS dd SdE 则 对封闭曲面 )1(d se sE 非均匀电场 ，通过面元 dS的 电通量 ? ed 习惯上 规定： 面元方向 - 由闭合面 内 指向面 外 简称 外 法线方向 sE d 0 sE d 电力线穿出 S E Sd Sd （ 1）式几何含义： 通过闭合曲面的电力线的净条数 大 学 物 理 第十三章 s s 1 封闭 曲面包围一个点电荷 q q 求通过球面 S的电通量多少？ se sE d 三、高斯定律 s2 0 sd r4 q 0c osd 4 20s sr q 0 q

6、22 0 r4 r4 q 问题：通过闭合面 的电通量多少？ S 0 q ee 显然 , 通过任意 包围 点电荷 q 的闭合面 的 电通量都等于 q /0 . c o sd s sE 大 学 物 理 第十三章 2 封闭 曲面不包围点电荷 q 通过曲面 s 的电通量 =？ 0SESe d S q s s q 1 封闭 曲面包围一个点电荷 q S SE d 0 q 大 学 物 理 第十三章 先考虑 曲面 s上 任意一点的电场 是多少？ k i i EE 1 q1 q2 q n qn+1 qk S 3 封闭 曲面 s内包围 n个点电荷 ， 通过 s 的电通量是多少？ Se SE d 点电荷 在封闭曲面

7、内： 点电荷 在封闭曲面外： 通过曲面 s 的电通量： d i i 0 Se q 1 SE 通过封闭曲面的电通量为： 在封闭曲面 内 所有电荷电量 的代数和 . i i q S 1 SdE S n SdE S 1n SdE S k SdE 0 i i q 0j nEE 1 kn EE 1 大 学 物 理 第十三章 高斯定律 : 在真空中的静电场内 , 通过 任意封闭曲面的电通量等于该 封闭曲面所包围的电荷的电量 代数和的 1/0 倍 . 注意： d i i 0 Se q 1 SE . ,E 的合场强内外所有电荷共同产生 它是由曲面是曲面上的场强 qi 仅仅是 曲面内的电荷 高斯定律 反映了 静

8、电场是 有源场 . 大 学 物 理 第十三章 思考 1. 静电场中任一闭合曲面 S , ,0d S SE 若有 ?0E 是否意味着曲面上处处 d i Se qSE 内 0 1 2. 若闭合曲面 S 上各点 , 则 S 面 内一定不包围电荷吗 ? 0E 不一定 ! 不一定 ! S q E E E E + s s +q -q 3. 要从上式中解出 E, 其电场分布应 具有什么特点？ 大 学 物 理 第十三章 当电荷分布具有某种对称性时 , 四、高斯定律的应用 利用高斯定理求解 E 较方便 常见的 电荷 分布的对称性： 球对称 柱对称 面对称 均 匀 带 电 的 球体 球面 (点电荷 ) 无限长 柱

9、体 柱面 带电线 无限大 平板 平面 对称性的分析 取合适的高斯面 列方程求解 E 解题步骤： 大 学 物 理 第十三章 2 0 4 R QE 作什么高斯面？ + + + + + + + + + + + + O R 例 13-8 均匀带电球壳的电场强度 1 dS SE 0 内E 2 dS SE r 1S 2 0 4 r QE 外 0 2 4 QEr r 2s 一半径为 , 均匀带电 的薄球壳 . 求球壳内外任意点的电场强 度 . R Q 解（ 1） Rr 0 Rr （ 2） r R o E 2r 1E E-r 图线 0 0 Q 1 c osdS SE 0 22 d0c osd SS SESE

10、大 学 物 理 第十三章 R o r S内 若为一均匀带电球体 2 04 1 r qE 外 (r R) 03 0 4 1 r R qrE 内 (r R) r R o E 0c os4d 2rESE S 外外外 0 q 0c s4d 2rESE S 内内内 0 3 3 3 4 34 r R q ?E 外 ?E 内 解得 ： E-r 图线 r 外s q 02 0 4 1 r r qE 外 2 0 4 R qE 2r 1E 大 学 物 理 第十三章 例 求无限长均匀带电圆柱面的电场分布 (R, ). 解 : se sE d 侧 sdE =0 E r l 下底上底侧 sdEsdEsdE 0 lrlE

11、2 E = r 02 (r R) 0 (r R) 0 (r R) llR lr1 2 2 0 (r R) 2 0 R2 r ( r R) 2 0 R2 r ( r R) 0 (r R) 03 0 4 1 rRqrE 内 (r R) (r R) 0 (r R) 2 0 R2 r ( r R) 03 0 4 1 rRqrE 内 (r R) (r R) 0 (r R) 2 0 R2 r ( r 0, Vp 0, 离电荷越远 , 电势越低 ; 若 q 0, Vp 0, 离电荷越远 , 电势越高 . q P E r ld )( 2 0 d4 P lrrq r q 04 四 电势与 电势 差的计算 大 学

12、 物 理 第十三章 电场叠加原理 n i iEE 1 )( a lEV d 电势叠加原理 . 如果电荷是连续分布在有限空间 , 则电场中 某点的电势 dVV n 1i i V 电势叠加原理 一 电势叠加原理 n i a i lE 1 )( d )( 1 d a n i i lE n i i i r q 1 04 0 1d 4rV q 0 1 2 0 4 i n i i i r r q 大 学 物 理 第十三章 利用点电荷电势公式 1.叠加法 二、电势的计算方法 两种方法： v 0 q 4 qV r d 或 n 1i i0 i r4 qV 2. 定义法 参考点0 Pp lEV )( d 能够用高

13、斯定理方便 地求出时，用该法求 V E当 大 学 物 理 第十三章 例 2 求均匀带电细圆环轴线上任意一点 p 的 电势 . (已知 R, q) 解 : r4 qV 0 dd L 0 r4 qV d L qr d4 1 0 22 00 44 xR q r q R4 qV0 x 0 则若 , p o x x 22 Rxr R dq 大 学 物 理 第十三章 R o 更方便求 用 参考点 V lEV aa d 例 3 求均匀 带电球面 电场中电势的分布 . (R, q) 解 : 已知 E = 0 (r R) ,沿径向E 问题： 能否用叠加法求 V? E )( daa lEV )( da rE 0c

14、 osEd r r q ，则并设无穷远处电势为零 为积分路径选取沿半径方向的直线 , 大 学 物 理 第十三章 当 r R 时 , r q 04 当 r R 时 , Rr rd0 R o E )( aa lEV d a rEd r 2 0 a rr q 4 1V d lEV rb d R q 04 1 R rrq d4 1 2 0 r R o V V-r 图线 a b r 1V 带电球壳是等势面 , 球壳内部是等势空间 . 大 学 物 理 第十三章 P 例 4 电量 q 均匀分布在长为 2L的直线上 , 求延长线上一点 p 的电势 解 : ，则设电荷线密度为 lq dd r4 qV 0 dd L L x o l dl a L+a-l LL laL ld4 0 LaL LaL 4 0 ln L VV d 选叠加法求解， 先求 dV 先求 E,再用定义 法求 V则较麻烦 a aL2 4 0 ln L q 2 laL l d 4 0 a aL L q 2ln 8 0 大 学 物 理 第十三章 小结： 1、求电势两种方法 叠加法 定义法 2、 环路定理 0ldEL 反映静电场是保守场 S 0 i iq sdE 反映静电场是有源场 高斯定理 v 0 q 4 qV r d 或 n 1i i0 i r4 qV 参考点0 Pp lEV )( d