4.2.4 线化代数方程组的迭代解法【教资优择】

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1、4.2.4 线化代数方程组的迭代解法胡 茂 彬http:/ 程 图（非稳态情况）解域离散、方程离散初边条件离散给出节点初始温度值计算系数，固定，线化代数方程求解离散的线化的代数方程组进入下一时层求解解收敛否？YesNo以新温度值替代老温度值外迭代3基础课件建立控制方程、确定初始与边界条件流 程 图解域离散、方程离散初边条件离散给出节点初始温度值计算系数，固定，线化代数方程求解离散的线化的代数方程组进入下一时层求解解收敛否？YesNo以新温度值替代老温度值线化方程的 迭代解法 (内迭代)外迭代4基础课件1迭代求解的基本思想迭代求解的基本思想方程组的矩阵形式：构造向量(即求解函数T的序列)试探解真

2、实解迭代收敛过程5基础课件构造向量的方法也称为“迭代方式”从 n-1 迭代层，经过一次迭代(与A,b相关)，演进到 n 迭代层6基础课件收 敛 条 件或者：7基础课件“迭代”是求解线化了的代数方程组的方法在算法地位上与TDMA方法类似8基础课件迭代推进一层与时间演进一步的区别迭代是求解方程的方法，迭代推进一层并非时间演进一步迭代收敛之后才表示该方程组已经求解，此时表示该次的内迭代求解过程结束只有在方程为线性的情况下，迭代收敛才意味着时间演进了一步9基础课件2常用的迭代求解方法常用的迭代求解方法三类迭代方法：点迭代(显式迭代)、块迭代(隐式迭代)和交替方向线迭代三种实施方式：简单(Jacob)迭

3、代、Gauss-Seidel迭代和逐次松弛迭代10基础课件以直角坐标下二维非稳态导热离散方程为例(全隐式)11基础课件特别注意虽然差分离散格式方程为全隐式，但其迭代求解方法可以是显式迭代(点迭代)，隐式迭代(块迭代/线迭代)，或者交替方向隐式迭代(交替方向线迭代)。差分离散方程为时间层演进，上标为n,n+1迭代格式代表迭代层演进，上标(k),(k+1)12基础课件1)点迭代法点迭代法(显式迭代显式迭代)i 简单迭代：简单迭代：又称Jacobi迭代优点：构造简单缺点：收敛很慢13基础课件1)点迭代法点迭代法(显式迭代显式迭代)ii Gause-Seidel(G-S)迭代迭代:立即立即启用新值启用

4、新值收敛速度明显加快。收敛速度还与扫描方向有关。越是能把边界条件的影响尽快引入迭代的方向，越有利于加快收敛。14基础课件1)点迭代法点迭代法(显式迭代显式迭代)iii 逐次松弛迭代逐次松弛迭代(SOR/SUR):将将简单迭代或者G-S迭代之值，与上一轮迭代值加权平均基于简单迭代：或基于G-S：(从左往右，从下往上)15基础课件松弛因子 逐次超松弛(SOR)逐次欠松弛(SUR)16基础课件一般形式相邻两轮的迭代值之差恒为正或负时，采用超松弛能加速收敛。当相邻两轮的迭代值之差的符号无规变化时，采用亚松弛，可以避免迭代发散GS或简单迭代结果17基础课件2)块迭代法(隐式迭代)将解域分成为由一条网格线

5、或数条网格线组成的若干个块，每个块内节点值以隐式方法相互关联，用 TDMA 得到其解，格块之间则按迭代方式推进 按列扫描 按行扫描18基础课件特别注意虽然差分离散格式方程为全隐式，但其迭代求解方法可以是显式迭代，隐式迭代，或者交替方向隐式迭代。差分离散方程为时间层演进，上标为n,n+1迭代格式代表迭代层演进，上标(n),(n+1)19基础课件2)块迭代法(隐式迭代)i 简单线迭代简单线迭代逐列扫描逐列扫描：20基础课件2)块迭代法(隐式迭代)i 简单线迭代简单线迭代逐行扫描逐行扫描：21基础课件实施引入边界条件后，均可用TDMA直接求解。整个解域逐线扫描一遍后，完成一轮迭代 22基础课件2)块

6、迭代法(隐式迭代)ii Gauss-Seidel线迭代线迭代:立即启用新值从左往右逐列扫描：从左往右逐列扫描：23基础课件2)块迭代法(隐式迭代)ii Gauss-Seidel线迭代线迭代:立即启用新值从下往上逐行扫描：从下往上逐行扫描：24基础课件2)块迭代法(隐式迭代)iii 逐次松弛线迭代逐次松弛线迭代(SOR/SUR)在完成简单或G-S线迭代计算过程后，将其所算之值与上一轮迭代之值作加权平均，所得值才算新一轮迭代的新值25基础课件直接写成一步计算26基础课件3)交替方向隐式迭代(ADI)此法扫描方向可以变化，且有多种组合。27基础课件3 判断迭代格式收敛的几个常用条件28基础课件正定矩阵对任意具有n个分量的非零矢量函数x29基础课件不可约矩阵矩阵A不能通过行的次序调换和其相应列的次序调换而成为：30基础课件对角优矩阵A对角线上的元素满足31基础课件迭代收敛判断定理1 若方程组的系数矩阵A不可约，且对角优，则简单迭代和Gauss-Seidel迭代必收敛2 若方程组的系数矩阵A正定，则Gauss-Seidel迭代必收敛3 松弛迭代收敛的必要条件是松弛因子满足32基础课件4 若方程组的系数数矩阵A不可约，且对角优，松弛因子 ，则松弛迭代法收敛。5 若方程组的系数矩阵A正定，松弛因子 满足 ，则松弛迭代收敛。33基础课件34基础课件