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1、O x y a 2.3.2平面向量的坐标运算 复习 平面向量基本定理 : 如果 是同一平面内的两个不共线的向量，那 么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一 对实数 1 , 2 使得 不共线的两向量 叫做这一平面内所有 向量的一组基底 . 什么叫平面的一组基底 ? 平面的基底有多少组 ? 无数组 21,ee a .2211 eea 21,ee 引入 : 1.平面内建立了直角坐标系 ,点 A可以用什么来 表示 ? 2.平面向量是否也有类似的表示呢 ? O x y A (a,b) a b a 其中 x叫做 在 x轴上的坐标， y叫做 在 y轴上的坐标 . (1)取基底 : 与 x轴方向 ,y轴方向
2、相同的两个单 位向量 作为基底 . x y o i j 上式叫做向量的坐标表示 . 注：每个向量都有唯一的坐标 . （一）平面向量的坐标表示 (2) 任作一个向量 ， 由平面向量基本定理，有且只有一对 实数 x、 y，使得 .我们 把 (x,y)叫做向量 的坐标， 记作 得到实数对 : 在直角坐标系内，我们分别 a a ji, a yxa , jyixa a a a y j i O 图 1 x xi yj （ 1， 0） （ 0， 1） （ 0， 0） i= j= 0= 其中 i， j为向量 i， j O x y 例 1.如图，已知 O是坐标原点，点 A在第一象限， .OA,60,34 的坐标
3、求向量 x O AOA A O x y i j a A(x, y) a 1以原点 O为起点作 点 A的位置由谁确定 ? aOA 由 唯一确定 2点 A的坐标与向量 的坐标的关系？ 两者相同 向量 坐标（ x ， y） 一 一 对 应 概念理解 3两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？ 2121 yyxxba a a a （二）平面向量的坐标运算 例 2.用基底 分别表示向量 并求出它们的坐标 . -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 A B 1 2 -2 -1 O x y 4 5 3 ji, , dcba b a c d jid 32 ,32 jic ,32 jia jib 32 i j
4、 两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差 1.已知 求 . 1 1 2 2, , , ,a x y b x y ,a b a b 1 1 2 2a b x i y j x i y j 1 2 1 2x x i y y j 1 2 1 2,a b x x y y 即 1 2 1 2,a b x x y y 同理可得 解： （二）平面向量的坐标运算 2已知 求 ),(),( 2211 yxByxA ， AB ),( 11 yxA ),( 22 yxB x y O 解： OAOBAB ),(),( 2211 yxyx ),( 1212 yyxx 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的
5、终点的坐 标减去始点的坐标 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标 ,a x y （二）平面向量的坐标运算 思考： 若向量 a=(x， y)，则 |a|如何计 算？若点 A(x1,y1)， B(x2， y2)，则 如何计算？ AB 22 2 1 2 1A B ( x x ) ( y y ) A a x y O 22xya 例 2已知 =（ 2， 1）， =（ -3， 4）， 求 ， ， 的坐标 解： =（ 2， 1） +（ -3， 4） =（ -1， 5）； =（ 2， 1） -（ -3， 4） =（ 5， -3）； =3（ 2， 1） +4（ -3， 4） =（ 6， 3）
6、 +（ -12， 16） =（ -6， 19） a b ba ba ba 43 ba ba 43 ba （二）平面向量的坐标运算 例 3 已知 平行四边形 ABCD的三个顶点 A、 B、 C 的坐标分别为（ 2， 1）、（ 1， 3）、（ 3， 4）， 求顶点 D的坐标 解：设顶点 D的坐标为（ x， y） )4,3( yxDC ，得由 DCAB )4,3()2,1( yx y x 42 31 2 2 y x ），的坐标为（顶点 22D 1 , 21-,32-1-AB （二）平面向量的坐标运算 例 4.已知平面上三点的坐标分别为 A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)， 求点 D的
7、坐标使这四点构成的四边形为平行四边形 . O y x A B C 解：当平行四边形为 ADCB时， 由 得 D1=(2, 2) DCAB 当平行四边形为 ACDB时， 得 D2=(4, 6) D1 D2 当平行四边形为 DACB时， 得 D3=(6, 0) D3 （二）平面向量的坐标运算 例 5.已知三个力 1F (3, 4), 2F (2, 5), 3F (x, y)的合力 1F + 2F + 3F = 0 ,求 3F 的坐标。 解：由题设 1F + 2F + 3F = 0 得： (3, 4)+ (2, 5)+(x, y)=(0, 0) 即： 054 023 y x 1 5 y x 3F (
8、5,1) 例 6.在直角坐标系 xOy中，已知点 A(x1,y1), B( x2, y2), 求线段 AB中点的坐标。 解：设 M(x,y)是线段 AB的中点，则 1 () 2O M O A O B 1 1 2 2 1( , ) ( , ) ( , ) 2x y x y x y 1 2 1 2, 22 x x y yxy 例 6得到的公式， 叫做线段中点的 坐标公式，简称 中点公式。 课堂总结 : 1.向量的坐标的概念 : 2.对向量坐标表示的理解 : 3.平面向量的坐标运算 : (1)任一平面向量都有唯一的坐标 ; (2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系 ； (3)相等的向量有相等的坐标 . yxjyixa , ., , , 12122221 212121 21212211 yyxxABxxBxxA xxayyxxba yyxxbayxbyxa 课堂练习及作业 一、课堂练习 P79练习； 二、作业：课本 P81.习题 2.3第 1、 2
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