牛顿定律应用中的临界和极值问题

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1、请欣赏 牛顿定律运用中的临界和极值问题 一、临界问题： 1 、临界状态：物体的运动状态即将发生突变而还 没有变化的状态 .可理解为“恰好现象”或“恰恰不出现”的状 态。 平衡物体（一 =0 ）的平衡状态即将被打破而还没有被打破的 瞬间；动态物体（ 0 ）的状态即将发生突变而还没有变化的瞬 间 .临界状态也可归纳为加速度即将发生突变的状态。 2 、临界条件：加速度发生突变的本质原因是物体的外力发生了 突变，物体处于临界状态，必然隐含着某些力（如弹力、摩擦力 等）的突变 .抓住这些力突变的条件，是我们解题的关键。 3 、处理办法（ 1 ）做好受力分析、状态分析和运动过程的分析 建立运动的情景，抓住

2、运动过程中的“转折点” .（ 2 ）寻找临 界状态所隐含的条件。 二、极值问题 （ 1 ）运用矢量法则讨论某变力的最小值。 （ 2 ）利用三角函数知识讨论最大值或最小值。 牛顿定律运用中的临界和极值问题 例题分析 : 1,小车在水平路面上加速向右运动，一质量为 m 的小球用一 条水平线和一条斜线（与竖直方向成 30 度角）把小球系于 车上，求下列情况下，两绳的拉力： (1) 加速度 a1=g/3(2) 加速度 a2=2g/3 B A O 分析（ 1 ）平衡态（一 =0 ）受力分析。 T1 T2 图 1 mg (2 ）由 0 逐渐增大的过程中，开始阶段，因 m 在竖直方向的加 速度为 0 ， 角

3、不变， T1 不变，那么，加速度增大（即合外力增 大）， OA 绳承受的拉力 T2 必减小 .当 T2=0 时， m 存在一个加 速度 a0 ，如图 2 所示，物体所受的合外力是 T1 的水平分力 .当 一 a0 时，增大， T2=0 （ OA 绳处于松弛状态）， T1 在竖直方 向的分量不变，而其水平方向的分量必增加（因合外力增大）， 角一定增大，设为 .受力分析如图 3 所示。 T1 mg 图 3 当 T2=0 时，如图 2所示， F0=tgmg ma0=tgmg a0=tgg 当一个 a0时， T2=0，（松弛状态） T1sin=ma(1) T1cos =毫克 (2) tg =一 /g

4、（如图 3) T1 F0 毫 克 图 2 要点：（ 1 ）通过受力分析和运动过程分析找到弹力发生突变的临界 状态以及此状态所隐含的具体条件 .（ 2 ）弹力是被动力，其大小和 方向应由物体的状态和物体所受的其他力来确定。 牛顿定律运用中的临界和极值问题 例题分析： 2,质量 m=1kg的物体，放在 =370 的斜面上， 物体与斜面的动摩擦因数 =0.3 ，要是物体与斜面体一 起沿水平方向向左加速运动，则其加速度多大？ 分析：讨论涉及静摩擦力的临界问题的一般方法是： 1, 抓住静摩擦力方向的 可能性 .2,物体即将由相对静止的状态即将变为相对滑动状态的条件是 f=N （最大静摩擦力） .本题有两

5、个临界状态，当物体具有斜向上的运动趋势时， 物体受到的摩擦力为最大静摩擦力；当物体具有斜向下的运动趋势时，物体 受到的摩擦力为最大静摩擦力。 300 图 1 x y f1 N 1 mg 图 2 当物体具有斜向下的运动趋势时，受力分析如图 2 所示， sin300 N1- f1 cos300=ma0 (1)f1 sin300+N1 cos300= 毫克 (2) f 1= N1(3)01= ？ 要点： (1) 最大静摩擦力是物体即将由相对静止变为相对滑动的临界条件 .（ 2 ） 注意静摩擦力方向的可能性 .（ 3 ）重视题设条件 tg 和 tg 的限制 当物体具有斜向上的运动趋势时，受力分析如图

6、3 所示， N2sin300+f2 cos300= ma0 (1)N2 cos300= 毫克 + f2 sin300(2) f 2= N2 (3)02= ？ （求出加速度的取值范围） 图 3 牛顿定律运用中的临界和极值问题 例题分析： 3,如图所示，传送带与地面的倾角为 =370 ，从一到 B 的长 度 16m,传送带以 10m/s 的速率逆时针方向转动，在传送带上端无初速 地放一个质量为 m=0.5kg的物体，它与传送带之间的动摩擦因数为 0.5 ，求物体从一到 B 所需的时间是多少？（ sin370=0.6 cos370=0.8 g=10m/s2 ） A B 图 1 分析： tg ，物体的

7、初速为零，开始阶段，物体速度 小于传送带的速度，物体相对于传送带斜向上运动，其受 到的滑动摩擦力斜向下，下滑力和摩擦力的合力使物体产 生加速度，物体做初速度为零的匀加速运动 .如图 2 所 示。 f1 mgsin 图 2 当物体与传送带速度相等的瞬时，物体与带之间的摩擦力为 零，但物体在下滑力的作用下仍要加速，物体的速度将大于 传送带的速度，物体相对于传送带向斜向下的方向运动，在 这一时刻摩擦力方向将发生突变，摩擦力方向由斜向下变为 斜向上 .物体的下滑力和所受的摩擦力的合力使物体产生了 斜向下的加速度，由于下滑力大于摩擦力，物体仍做匀加速 运动，如图 3 所示。 要点（ 1 ）从运动过程的分

8、析中找临界状态（ 2 ）滑动摩擦 力方向的突变是本题的关键 (3) tg 和 tg 的区别。 f2 mgsin 图 3 思考：若 tg ,物体将怎样运动呢？ 例题 3 全解 解：因 tg ，物体的初速为零 .开始阶段，物体相对于传送带斜 向上运动，其受到的滑动摩擦力斜向下，下滑力和摩擦力的合 力使物体产生加速度，物体做初速度为零的匀加速运动 .如图 2. A B 图 1 f1 mgsin 图 2 f2 mgsin 图 3 根据牛顿第二定律， mgsin + mgcos = ma1 a1=g(犯 + cos )=10 (0.6+0.5 0.8) m/s2=10m/s2 物体的速度与传送带速度相等

9、需要的时间为 t1=v/a1=10/10 年代 =1 年代 由于 tg ，物体在重力的作用下继续加速，当物体的速度大 于传送带的速度时，传送带给物体一斜向上的滑动摩擦力，此 时受力情况如图 3 所示 .根据牛顿第二定律，得 Mgsin-mgcos=ma2 a2=mgsin - mgcos =10 (0.6-0.8 0.5) m/s2=2m/s2 设后一阶段物体滑至底端所用的时间为 t2 ，由运动学公式得： L-S=vt2+1/2 a2t22 解得： t2=1s (t2=-11 s 舍去 ) 所以，物体由一到 B 所用时间为 t1+t2=2 年代 牛顿定律运用中的临界和极值问题 例题分析： 4,

10、如图所示，两木块质量分别是 m1 和 m2 ，用劲度系数为 k 的 轻弹簧连在一起，放在水平面上，将木块 1 下压一段距离后释放，它在做 简谐运动，在运动过程中，木块 2 始终没有离开水平面，且对水平面的最 小压力为零，则木块 1 的最大加速度的大小是多大？木块 2 对水平面的最 大压力是多大？ 1 2 图 1 分析：以物块 1 为研究对象，弹簧对木块 1 的弹力和物块 1 的重 力合力是物块 1 做简谐运动的恢复力弹簧弹起的初阶段，弹簧处 于被压缩状态，向上的弹力大于重力，物块 1 向上做变加速运 动，加速度逐渐减小，其方向竖直向上当弹力等于重力时，物块 1 的加速度为零，而速度最大（平衡位

11、置）。然后，弹簧处于伸 长状态，物块 1 受到的弹力向下，弹力逐渐增大，加速度逐渐增 大，达到最高点时，加速度最大，方向竖直向下。当物块 1 下落 至最低点时，物块 1 的加速度也达到最大值，但方向竖直向 上。 以物块 2 为研究对象，根据题设条件可知，当物块 1 达到最高 点时，物块 1 受到的向下弹力最大，此时，物块 2 受到的向上 弹力也最大，使地面对物块 2 的支持力为零当物块 1 落至最低 点时，其加速度与最高点的加速度等值反向，弹簧对物块 1 的 弹力（方向向上）此时，弹簧对物块 2 的弹力也最大，方向竖 直向下，因此，木块 2 对地面的压力达到最大值。 要点（ 1 ）弹 力的突变

12、是本 题的临界条 件。 （ 2 ）简谐振 动的过程分析 是本题的疑难 点。 例 4 全解 解：（ 1 ）研究物块 1 上升的过程 .以物块 1 为研究对象， 其受力分析和运动过程分析如图 1 所示 .物块 1 在最高点 一处，加速度最大，且方向竖直向下， F1+m1g= mam F1 最大 .以物块 2 为研究对象，其受力分析如图 2 所 示 .F1最大时， N=0 ，即 F1=m2g 因 F1=F1 所以， m1g+ m2g=m1am (2 ）研究物块 1 下落的过程，物块 1 落至最低点 B 处，其 受到向上的弹力最大，加速度达到最大值，但方向竖直 向上（简谐振动的对称性） .如图 1所示

13、， F2-m1g=m1am F2=m1g+ m1am.对物块 2 受力分析，如图 3 所示， N=m2g+ F2=2(m1+m2) g ，根据牛顿第三定律，物块 2 对地面的压力大小为 2(m1+m2) g 。 am am a=0 F2 F1 图 1 A B O m2 F1 N 图 2 m2 N F2 图 3 1 21 m gmgmma 例题分析： 5,如图所示，在水平面上放一质量为 m 的物体，与 水平面间的动摩擦因数为 ，现用力 F 拉物体，（ 1 ）如果要 是物体做匀速运动，求拉力 F 的最小值（ 2 ）如果要是物体 以加速度做匀加速运动，求拉力 F 的最小值 F 图 1 分析：（ 1

14、）物理方法：物体受力分析如图所示（图 2 ）。 F f mg 图 2 N 如果 F 变化， N 随之改变， f 也随之改变但是， f,N 合力 T 的 方向不变，因 f/N=，如图 3 所示毫克的大小方向均不变， T 的 方向不变，当 F 与 T 垂直时， F 的值最小。如图 4 所示， F 的 最小值为 mgsin ，而 tg =f/N=.四力平衡转化为三力平 衡。 T 图 3 图 4 数学方法：如图 2 ，正交分解 .Fcos -f=0 N+Fsin=毫克 f= ( 毫克 + Fsin ) ，联立。 s i nc o s mgF 用两角和公式求极值（方法略） （ 2） Fcos-f=ma

15、N+Fsin=毫 克 f= (毫克 +Fsin ) ，联立。 方法同上，但不能用图解法。 求极值的方法（ 1 ）图 解法（ 2 ）函数法 课堂练习 1,如图 1 所示，物体一放在物体 B 上，物体 B 放在光滑的水平面上，已知 mA=6 公斤 mB=2 公斤， A,B 之间的动摩擦因数 =0.2 ，一物体受到一个水平向右的拉力 F 的作用，为保证 A,B 相对静止，求力 F 的 取值范围（ F0). 2,如图 2 所示，长为 L ，质量为 M 的木板一 静止在光滑的水平桌面上，有一质量 m 的 小木块 B 以水平速度 V0 恰好落在木板一 的左端，木块 B 与木板一间的摩擦系数为 ，木块 B

16、可视为质点，求：如果最后 B 恰好到达一的右端不落下来，则 V0 的值应 是多大？ A B F 图 1 A B 图 2 V0 )1(22 481 MmgLNF 0v、答案： 小结 一、 临界状态：某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态叫 临界状态 .在物体的运动过程中指物体的运动状态即将发生突变而 还没有变化的瞬间，或弹力、摩擦力等因素发生突变的时刻临界 状态也可理解为“恰好现象”或“恰恰不出现”的状态。 二、处理办法： 1 、找临界状态（ 1 ）做好受力分析、运动过程分析和状态分析，抓 运动过程中的“转折点” .（ 2 ）利用假设法讨论，假设某命题成 立，推理或判断物体的状态是否会发生突

17、变 . 2 、分析隐含条件（ 1 ）弹力的突变（ 2 ）摩擦力的突变。 三、极值问题： 1 、物理方法：对于动态平衡的物体可以运用平行四边形法则或三角 形法则进行定性分析 .对于变速运动的物体，不能运用此方法 . 2 、数学方法：利用正交分解法，列出解析式，借助数学工具求极值 的方法求解，这是一种定量分析的方法。 牛顿定律运用中的临界和极值问题 一、临界问题： 1 、临界状态：物体的运动状态即将发生突变而还 没有变化的状态 .可理解为“恰好现象”或“恰恰不出现”的状 态。 平衡物体（ =0 ）的平衡状态即将被打破而还没有被打破的瞬 间；动态物体（ 0 ）的状态即将发生突变而还没有变化的瞬间 .

18、 临界状态也可归纳为加速度即将发生突变的状态。 2 、临界条件：加速度发生突变的本质原因是物体的外力发生了 突变，物体处于临界状态，必然隐含着某些力（如弹力、摩擦力 等）的突变 .抓住这些力突变的条件，是我们解题的关键。 3 、处理办法 （ 1 ）做好受力分析、状态分析和运动过程的分析建立运动的 情景，抓住运动过程中的“转折点” （ 2 ）寻找临界状态所隐含的条件。 二、极值问题（ 1 ）运用矢量法则讨论某变力的最小值 .（ 2 ）利数 学方法讨论最大值或最小值。 例题分析： 1.如图所示，在水平面上放一质量为 m 的物体，与 水平面间的动摩擦因数为 ，现用力 F 拉物体，（ 1 ）如果要 是

19、物体做匀速运动，求拉力 F 的最小值（ 2 ）如果要是物体 以加速度做匀加速运动，求拉力 F 的最小值 F 图 1 分析：（ 1 ）图解法：物体受力分析如图所示（图 2 ）。 F f mg 图 2 N 如果 F 变化， N 随之改变， f 也随之改变 .但是， f ,N 合力 T 的方 向不变，因 f/N=，如图 3 所示 .毫克的大小方向均不变， T 的方 向不变，当 F 与 T 垂直时， F 的值最小 .如图 4 所示， F 的最小 值为 mgsin ，而 tg =f/N=.四力平衡转化为三力平衡。 T 图 3 图 4 函数法：如图 2 ，正交分解 Fcos-f=0. N+Fsin=mg

20、f= (毫克 + Fsin ) ，联立 . s i nc o s mgF 用两角和公式求极值（方法略） （ 2） Fcos-f=ma N+Fsin =毫克 f= (毫克 +Fsin ) ，联立 . 方法同上，但不能用图解法 . 求极值的方法：（ 1 ）图解法（ 2 ）函数法 课堂练习 1,如图 1 所示，物体一放在物体 B 上，物体 B 放在光滑的水平面上，已知 mA=6 公斤 mB=2 公斤， A,B 之间的动摩擦因数 =0.2 ，一物体受到一个水平向右的拉力 F 的作用，为保证 A,B 相对静止，求力 F 的取值范围（ F0). 2,如图 2 所示，长为 L ，质量为 M 的木板一 静止在

21、光滑的水平桌面上，有一质量 m 的小木块 B 以水平速度 V0 恰好落在木板 一的左端，木块 B 与木板一间的摩擦系数 为 ，木块 B 可视为质点，求：如果最后 B 恰好到达一的右端不落下来，则 V0 的 值应是多大？ A B F 图 1 A B 图 2 V0 )1(22 481 0 MmgLvNF 、答案： 小结 一、临界状态：某种物理现象转化为另一种物理现象的转折 状态叫临界状态 . 在物体的运动过程中指物体的运动状态即 将发生突变而还没有变化的瞬间，或弹力、摩擦力等因素 发生突变的时刻 . 临界状态也可理解为“恰好现象”或“恰 恰不出现”的状态。 二、处理办法： 1 、找临界状态（ 1 ）做好受力分析、运动过程分析和状态分 析，抓运动过程中的“转折点” .（ 2 ）利用假设法讨论， 假设某命题成立，推理或判断物体的状态是否会发生突 变。 2 、分析隐含条件（ 1 ）弹力的突变（ 2 ）摩擦力的突变。 三、极值问题： 1 、物理方法：对于动态平衡的物体可以运用平行四边形法则 或三角形法则进行定性分析 .对于变速运动的物体，不能运 用此方法 . 2 、数学方法：利用正交分解法，列出解析式，借助数学工具 求极值的方法求解，这是一种定量分析的方法。 谢 谢 合 作