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1、正态分布 1、回顾样本的频率分布与总体分布的关系： 由于总体分布通常不易知道，我们往 往是用样本的频率分布（即频率分布直方 图）去估计总体分布。 一般样本容量越大 ,这种估计就越精确。 2、从上一节得出的 100个产品尺寸的频率分 布直方图可以看出，当样本容量无限大，分 组的组距无限缩小时，这个频率直方图就会 无限接近于一条光滑曲线 -总体密度曲线。 一、复习 3、观察上节总体密度曲线的形状，有什么特 征？ 而具有这种特征的总体密度曲线，一 般可用一个我们不很熟悉的 函数 来表示或 近似表示其解析式。 二、正态分布 （ 1）正态函数的定义 产品尺寸的总体密度曲线具有“中间高，两 头低”的特征，
2、像这种类型的总体密度曲线，一 般就是或近似地是以下一个特殊函数的图象： xexf x , 2 1 2 2 2 式中的实数 是参数， 0、 分别表 示总体的 平均数 与 标准差 。 总体标准差是衡量总体波动大小的特征数，常用样本标准差去估计 ;, 2 DE （ 2）正态分布与正态曲线 若总体密度曲线就是或近似地是函数： , 2 1 2 2 2 xexf x 的图象 则其分布叫 正态分布 ， 常记作： 。2,N xf 的图象称为 正态曲线 。 画出三条正态曲线： ;5.0,1)1( ;1,0)2( ;2,1)3( 正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。 当 时，正态总体称为 标准正态总体
3、 ， 相应的函数表达式是： 相应的曲线称为 标准正态曲线 。 1,0 Rxexf x , 2 1 2 2 在实际遇到的许多随机现象都服从或近 似服从正态分布： 在生产中 ， 在正常生产条件下各种产品的质量指标； 在测量中 ， 测量结果； 在生物学中 ， 同一群体的某一特征； ； 在气象中 ， 某地每年七月份的平均气温、平均湿度 以及降雨量等，水文中的水位； 总之，正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。 （ 3）正态曲线的性质 观察： 性质： 轴不相交；轴的上方，与曲线在 xx 向它无限靠近。 轴为渐进线，无限延伸时，以且当曲线向左、右两边
4、 时，曲线下降。并时，曲线上升；当当 x xx 时位于最高点；对称，且在曲线关于直线 xx 性质： 轴不相交；轴的上方，与曲线在 xx 向它无限靠近。 轴为渐进线，无限延伸时，以且当曲线向左、右两边 时，曲线下降。并时，曲线上升；当当 x xx 时位于最高点；对称，且在曲线关于直线 xx 确定。一定时，曲线的形状由当 散；，表示总体的分布越分越大，曲线越“矮胖” 总体的分布越集中；曲线越“瘦高”，表示越小 , （ 4）服从正态分布的总体特征 产品尺寸这一典型总体，它服从正态分布 。 它的特征： 生产条件正常稳定，即工艺、设 备、技术、操作、原料、环境等可以控制的 条件都相对稳定，而且不存在产生
5、系统误差 的明显因素。 一般地 ，当一随机变量是大量微小的独 立随机因素共同作用的结果，而每一种因素 都不能起到压倒其他因素的作用时， 这个随 机变量就被认为服从正态分布 。 （ 5）标准正态分布表 由于标准正态总体 在正态总体的 研究中有非常重要的地位，已专门制作了 “ 标准正态分布表 ” 见 p58。 1,0N 看表： 表中，相应于 的值 是指总体 取值小于 的概率，即： 0 x 0 x )( 0 x ,00 xxPx 如图中，左边阴影部分： 由于标准正态曲线关于 轴对称，表中 仅给出了对应与非负值 的值 。 y 0 x 0 x 如果 ，那么由下图中两个阴影部 分面积相等知： 00 x .
6、1 00 xx 利用这个表，可求出标准正态总体在任 一区间 内取值的概率。 21 , xx 12 xxp 即，可用如图的 蓝色 阴影部分表示。 公式： 例 1：求标准正态总体在 内取值的概率。 2,1 解： ,12 xxp 利用等式 有： 12 p 112 112 18 4 1 3.09 7 7 2.0 .8185.0 对于一般的正态总体 ，在任一区 间 内的取值概率如何进行计算呢？可否 通过查正态分布表来求出它呢？ 2,N ba, （ 6）正态总体 ，在任一区间取值概率。 2,N 一般的正态总体 ，均可以化为标 准正态总体 来研究。 2,N 1,0N 对任一正态总体 来说， 取值小 于 的概
7、率： 2,N x . xxF 例 2：已知正态总体 , 求取值小于 3的 概率 . )4,1(N 解 : .8413.01 2 133 F 例 3:分别求正态总体 在区间 : 内取值的概率 . 2,N 、 , 、 2,2 、 3,3 1 F 1 F 所以，正态总体 在区间 : 内取值的概率是： 2,N 、 , 11211 FF ;6 8 3.018 4 1 3.02 解： 例 3:分别求正态总体 在区间 : 内取值的概率 . 2,N 、 , 、 2,2 、 3,3 954.02222 FF 解： 同理，正态总体 在区间 : 内取值的概率是： 2,N 、 2,2 正态总体 在区间 : 内取值的概
8、率是： 2,N 、 3,3 .997.03333 FF 上述计算结果可用下表和图来表示： 区间 取值概率 , 2,2 3,3 oo3.68 oo4.95 oo7.99 （ 7）假设检验方法的基本思想； 小概率事件的含义： 我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有 4.6，在 以外取值的概率只有 0.3 。 2,2 3,3 由于这些概率值很小（一般不超过 5 ）， 通常称这些情况发生为 小概率事件 。 即事件在一次试验中几乎不可能发生。 例 4： 某厂生产的圆柱形零件的外直径 服从 正态分布 ，质检人员从该厂生产的 1000件零件中随机抽查一件， 测得它的外直 径为 5.7cm，试问该厂生产的这批零件是否合 格？ 25.0,4N 解： 25.04 ，服从正态分布由于 N 由正态分布的性质知， 概率只有 之外取值的 在 ， 正态分布 003， . 0 5 . 0 3 4 , 5 . 0 3 4 25 . 04 N 5.5,5.27.5 而 这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发 生的小概率事件 . 据此可认为该批零件是不合格的。 再 见
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