随机变量的均值

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1、离散型随机变量的均值【学习目标1通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均 值.2 理解离散型随机变量均值的性质.3 掌握两点分布、二项分布的均值4会利用离散型随机 变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题 知识点一 离散型随机变量的均值或数学期望设有12个西瓜，其中4个重5 kg,3个重6 kg,5个重7 kg.思考1任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？答案 X= 5,6,7.思考 2 X 取上述值时，对应的概率分别是多少？“4435合案 P(X=5)=J2，P(X=6)=J2，p(x=7)=j2思考 3 每个西瓜的平均重量

2、如何求？答案5X4+6X3+7X51i435= 5X+6X+7X.1. 离散型随机变量的均值或数学期望若离散型随机变量X的分布列为Xx1X2 x.i xnPP1P2 Pi Pn则称E(X)=&召+x2P2化为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. 均值的性质：若Y=aX+b，其中a，b为常数，X是随机变量， Y也是随机变量； E(aX+ b)=aE(X)+b.知识点二 两点分布、二项分布的均值1两点分布：若X服从两点分布，则E(X)=p.2二项分布：若XB(n p),则 E(X)=np.题型探究車点难点个个击碳类型一离散型随机变量的均值公式与性质的简单应用例1已

3、知某一随机变量E的概率分布列如下，且E(3)个大小相同的球，其中有3个红球和(n3)个白球已知从口袋中3随机取出一个球是红球的概率是5不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数d 的期望E(d).解p5 , | = 5 , :,n = 5 , A5个球中有2个白球.方法一 白球的个数 d 可取 0,1,2.Pg)吃哈 pEXCCHE = 10X0+|xi +劭2 二|.方法二 取到白球个数d服从参数为N二5 , M二2 ,n = 3的超几何分布，则E二晋二晋二 6一5反思与感悟1.超几何分布模型一般地在含有M件次品的N件产品中任取n件其中含有X件次品则P(X=k) = CMCN-M ,

4、CnNk二 0,1,2，m ,其中 m 二 minM, n,且 nWN , MWN , n , M, NN *.2.超几何分布均值的计算公式若一个随机变量X的分布列服从超几何分布，即XH(n,M,N),则E(X) = nM.跟踪训练 3 设在 15 个同类型的零件中有 2 个次品，每次任取 1 个，共取 3 次，并且每次取出后不再放回，若以 X 表示取出次品的个数，求均值 E(X).解 方法P(X=0) =P(X= 1)二p(X=2)二罟誉(X)= 0x|+lX1| + 2X3*5 = |.方法二 由题意可知，X服从N二15 , M二2 , n二3的超几何分布.Mn 2X3 2 二丁 二|1若

5、随机变量X服从二项分布B(4,则E(X)的值为()A-38138B.3 C.D.9答案 A14解析 E(X)二 np 二 4X3 = 3.2某射手射击所得环数d的分布列如下表:d78910px0.10.3y已知 E(d) = 8.9，则 y=.答案 0.4x + 0.1 + 0.3 +y 二 1 解析由题意知7x + 8X0.1 + 9X0.3 + 10y 二 8.9解得：y 二 0.4 , x 二 0.2.3随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数d的均值为,答案 3.|解析 抛掷骰子所得点数d的分布列为d123456p111111666666所以，E(d)二 1X1+ 2X1+ 3X1+ 4X1+

6、 5X-1+ 6X-1= (1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6)X1 = 3.5.6 6 6 6 6 6 64袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n=1,2,3,4)现从 袋中任取一球，d表示所取球的标号.(1)求d的分布列、均值；若 n=ad+4, E(n)=l,求 a 的值.解(1忙的分布列为d01234p111_3_122010205l l l 3 l 3 E 的均值：e 二 0逅+ 1x20 + 2Xiij + 3X20 + 4X5-2.(2)E(n)二 aE + 4 二 1 ,又 E 二 2,贝0 aX# + 4 二 1 , .a二-2.21.

7、求离散型随机变量均值的步骤：(1) 确定离散型随机变量X的取值；(2) 写出分布列，并检查分布列的正确与否；(3) 根据公式写出均值.2若X、Y是两个随机变量，且Y=aX+b,则E(Y)=aE(X)+b；如果一个随机变量服从两点 分布或二项分布,可直接利用公式计算均值.一、选择题1若随机变量dB(n,0.6)，且E() = 3,则P(Q1)的值是()A.2X 0.44B.2X 0.45C.3X 0.44D.3X 0.64答案 C解析 因为dB(n,06)，所以E(勺二nX0.6 ,故有0.6n二3，解得n二5 ,P(d 二 1)二 C5 x 0.6 X 0.44 二 3 X 0.44.2. 设

8、d的分布列为d12341111PP6633又设n=2$+5，则E(n)等于()B7- 6 A-CD答案 D解析 ()= ix1 + 2x6 + 3x1 + 4x1=17 ,32亍17E(n)二E(2d+ 5)二 2E + 5 二 2X石 + 53 .同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数 为 X ，则 X 的均值是()A.20 B.25 C.30 D.40答案 B解析 抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为C2二秸所以X(80 ,韵, 故 E(X) = 80X5 二 25.164. 今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分

9、别为0.9和 0.85，设发现目标的雷达台数为X 则E(X)等于()A.0.765B.1.75C.1.765D.0.22答案 B解析 F(X=0)二(1 - 0.9)X(1 - 0.85)二0.1X0.15 二 0.015 ；F(X=1)二0.9X(1 - 0.85) + 0.85X(1 - 0.9)二0.22 ；F(X= 2)二 0.9X0.85 二 0.765.E(X)二 0X0.015 + 1X0.22 + 2X0.765 二 1.75.5. 某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验 3次均失败，则放弃试验若此人每次试验成功的概率为2则此人试验次数$的

10、均值是()A.4. 3B.d.C.5答案 B解析 试验次数E的可能取值为1,2,3 ,则 p(“i)二3,d123p23191 2_2陀=2)=3乂3 = 9，11 (2 丄 1 _ 1p(d=3)=3x3x(3 + 3丿=9所以d的分布列为(E=1 - 9X6. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125 个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X,则X的均值等于（）A-126B-fD-7168 -125答案 B解析 1 25个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，从中随机取一个正方体涂漆面数X的均值E（X） = 12

11、75 X 0+i55xi+：35x2 + X3=1 二 6_5-二、填空题7. 某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分.小王选对 每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为答案 48解析 设小王选对的个数为X,得分为y二5X, 则 X B(12,0.8) , E(X)二 np 二 12 X 0.8 二 9.6 ,E(Y)二E(5X)二 5E(X) = 5X9.6 = 48- 8马老师从课本上抄录一个随机变量d的概率分布列如下表:123P(=x)?请小牛同学计算d的数学期望尽管“！ ”处完全无法看清，且两个“？ ”处字迹模糊，但能 断定这两个“？”处的数值相同

12、据此，小牛给出了正确答案E(沪答案 2解析 令“？”为-“！”为则2a + b=l,:,E = a + 2b + 3a = 2(2a + b) = 2.9袋中有3个红球，7个白球，这些球除颜色不同外完全相同，从中无放回地任取5 个,取出 几个红球就得几分，则平均分.答案1.5解析 用X表示所得分数贝U X也是取得红球数/服从超几何分布于是E(X) = n-M二5弋 二 1.5.10某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到2甲公司面试的概率为3，得到乙、丙两公司面试的概率均为”，且三个公司是否让其面试是相 互独立的记x为该毕业生得到面试的公司个数，若p(x=

13、o)=i12,贝9随机变量x的数学期望 E(X)=答案3解析 TP(X=0)二吉之1 -JP)2x|，二随机变量X的可能值为0,1,2,3因此P(X = 0) = ， p(x=1)=|x(|) + fx(|)2=j,p(x=2) = 3x(1)2x2 + |x(|)2 = i|,p(x=3) = fx(|)2 = 6, 因此 E(X) = 1x| + 2x5 + 3x二5.3126 3三、解答题11. 盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池现有无放回地每次取一节电池检验, 直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值.解X可取的值为1,2,3 ,则 P(X= 1) = 3, P(X

14、= 2) = 1x3 = 130,/ 、 2 1 1尸&=3)=尹4乂1二和.抽取次数X的分布列为123P331510103 3 1(x) = 1x5 + 2XT0 + 3XTo = 1-5-12. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4 个选项，其中仅有一个选项正确.每题 选对得5分，不选或选错不得分，满分100分，学生甲选对任意一题的概率为0.9,学生乙则 在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个，分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩 的均值.解 设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是禺和坞，则占0(20,0.9) ,X2B(20,0.25)，所以 E(XJ 二 20X

15、0.9 二 18 , E(X2)二 20X0.25 二 5.由于每题选对得 5 分，所以学生 甲和学生乙在这项测验中的成绩分别是5X1和5X2这样他们在测验中的成绩的期望分别是： E(5XJ 二 5E(X1) = 5X18 = 90 ,E(5X2) = 5E(X2) = 5X5 = 25.13. 一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编 号分别为 2,3,4.从盒子中任取4 张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1) 求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；C2C5 + C2C5 = 6 C77.(2) 在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)=所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=1) = C3=55，P(X=2)=ij = 345, p(X=3) = C3 = 7,p(X=4)=C3=7.所以随机变量X的分布列是X1234P1423535717一5=4 - 7X4+2 - 7X3X135-E望期的