第七章博弈论建模

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1、第四部分 博弈论第六章 完全信息静态博弈博弈论英文为Game Theory，其中Game的基本意义是游戏，直译应该是“游戏理论” 研究理性的决策主体之间发生冲突时的决策问题及均衡问题，也就是研究理性的决策者之间 冲突及合作的理论，博弈论试图把这些错综复杂的关系理性化、抽象化，以便更精确地刻画 事物变化发展的规律，为实际应用提供决策指导。博弈论中的个人决策与传统微观经济学中论及的个人决策相比，都是在给定约束的条 件下追求效用或收益最大化，但其约束条件却不尽相同。通常，传统微观经济学中论及的个 人决策，是在给定价格参数和个人收入的条件下，使效用最大化；个人效用函数只依赖于自 己的选择而不依赖于他人

2、的选择；个人的最优选择只是价格和收入的函数而不是其他人选择 的函数，因此，既不考虑自己的决策对他人决策的影响也不考虑他人决策对自己决策的作用。 与此相对照，在博弈论里，个人效用函数不仅依赖于自己的选择，而且依赖于他人的选择； 个人的最优选择是他人选择的函数，因而该理论注意到了事物之间的普遍联系，考虑了人们 决策的相互影响，并把他人的决策置于内生变量之中进行分析，拓宽了传统经济学的分析思 路，更接近现实世界。最早的博弈论思想产生于中国早在2500多年前的春秋时期，孙子兵法中论述的十三 篇军事思想和治国战略，便闪烁着博弈论的光辉。100 年后孙武的后代孙膑，演绎孙子兵法， 用于田忌赛马，可以说是最

3、早的博弈论案例。然而直到本世纪初，博弈论才被系统地引入经 济学研究中来。1944年美国科学家冯诺依曼(Von Neumann)和经济学家摩根斯特 (Morgentern)合作出版了博弈论与经济行为(The Theory of Games and Economic Behaviour) 一书，成为现代经济博弈论研究的开端.此后，在国际学术界博弈论受到了更多的关注。从 1950年至1954年，美国数学家、经济学家纳什(John Nash)发表了一系列论文，提出了著名 的“纳什均衡”的概念，奠定了现代博弈论的基石。严格意义上说，博弈论并不是经济学的一个分支，它是一种方法，应用领域很广，不仅 经济学，

4、政治学、军事、外交、国际关系、公共选择、体育等都和博弈论有关。实际上，博 弈论应该看成是数学的一个分支。几十年来，许多经济学者花费了巨大的精力，研究博弈的理论，并探讨了其实际应用的 价值。博弈论在经济学中的应用模型迅速发展，博弈论的许多成果也正是借助于经济学现象 发展起来的。由于这一理论重视不同利益主体之间行为特征和规律的分析，特别是关于人们 行为的相互作用、人们之间的利益冲突与一致，以及竞争与合作等方面的研究，这种重视理 性选择的相互依赖性的深刻思想，不仅构成了现代微观经济学的重要理论，而且为宏观经济 分析提供了重要的微观基础。 20世纪90年代以来，博弈论已经成为主流经济学中一个重要 的组

5、成部分。6.1 博弈论的基本概念6.1.1 博弈的基本要素博弈论的基本概念包括参与人、行动、信息、战略、得益(效用)、结果和均衡，其中， 参与人、战略和得益是描述一个博弈需要的最少的三要素，而行动和信息是其“积木”。参 与人、行动和结果统称为“博弈规则”(the rules of the game)。博弈分析的目的是使用博 弈规则预测均衡。我们现在给出这些概念的准确定义。1. 参与人(players)：参与人指的是一个博弈中的决策主体。他的目的是通过选择行 动(或战略)以最大化自己的得益(效用)水平。参与人可能是自然人，也可能是团体。如企业、 国家。甚至若干个国家组成的集团(如OPEC、欧盟、

6、北约等)。重要的是每个参与人必须有 可供选择的行动和一个很好定义的偏好函数。那些不作决策的被动主体只当作环境参数来处 理。除一般意义上的参与人之外，为了分析的方便，在博弈论中，“自然” (nature)作为“虚 拟参与人” (pseudoplayer)来处理。这里，“自然”是指决定外生的随机变量的概率分布的 机制。与一般参与人不同的是，自然作为虚拟的参与人没有自己的得益和目标函数(即所有 结果对它都是无差异的)。一般用i = 1,n代表参与人。2 行动(actions or moves)：行动是参与人在博弈奕的某个时点的决策变量。一般地， 我们用a表示第i个参与人的一个特定行动。a二匕表示可供

7、i选择的所有行动的集合iii(action set)。参与人的行动可能是离散的，也可能是连续的。在n人博弈中，n个参与人的 行动的有序集a - (a，,a )称为“行动组合” (action Profile)。其中的第i个元素a是第i1 ni个参与人的行动。与行动相关的一个重要问题是行动的顺序(the order of play)。行动顺序对 于博弈的结果是非常重要的。有关静态博弈与动态博弈的区分就是基于行动的顺序作出的。 我们将看到，同样的参与人，同样的行动集合，行动的顺序不同，每个参与人的最优选择就 不同，博弈的结果就不同(事实上，不同的行动顺序意味着不同的博弈)。特别是在不完全信 息博弈

8、中，后行动者可以通过观察先行动者的行动来获得信息。从而使得博弈分析成为预测 人的行为的一个强有力的工具。在博弈论中，一般假定参与人的行动空间和行动顺序是所有 参与人的共同知识(common knowledge) 0 (共同知识指的是“所有参与人知道，所有参与人 知道所有参与人知道，等等”，是与信息有关的一个重要概念。)3信息(information)：信息是参与人有关博弈的知识，特别是有关“自然”的选择、 其他参与人的特征和行动的知识。信息集(information set)是博弈论中描述参与人信息特征 的一个基本概念。4. 战略(strategies):战略是参与人在给定信息集的情况下的行动

9、规则，它规定参与人在什么时候选择什么行动。因为信息集包含了一个参与人有关其他参与人之前行动的知识， 战略告诉该参与人如何对其他参与人的行动作出反应，因而战略是参与人的“相机行动方案” (contingent action plan)。一般我们用s表示第i个参与人的一个特定战略，Sh弋表第iiii个参与人的所有可选择的战略的集合(strategy set)。如果n个参与人每人选择一个战略,n 维向量s - (s，,s ,s )称为一个战略组合(strategy profile)，其中s是第i个参与人选1 i ni择的战略。5. 得益(payoff)：在博弈论中，得益是指在一个持定的战略组合下参与

10、人得到的确定 效用水平，或者是指参与人得到的期望效用水平。令u为第i个参与人的得益(效用水平)i以u二(u ,u ,u )为n个参与人的得益组合。博弈的一个基本特征是一个参与人的得1 i n 益不仅取决于自己的战略选择，而且取决于所有其他参与人的战略选择， u 是所有参与人i的战略选择的函数：u二(s，,s，,s )i 1 i n6. 结果(out come)和均衡(equilibrium):结果是博弈分析有所感兴趣的所有内容，如均 衡战略组合，均衡行动组合，均衡支付组合等。均衡是所有参与人的最优战略的组合。记为s* 二(s*,s*,s*)1 i n其中，s*是第i个参与人在均衡情况下的最优战

11、略。它是i的所有可能的战略中使u或Eu最大化的战略。用S二（S，,S , S ，,S ）表示由除i之外的所有参与人的战略组 i-i1i-1 i+1n成的向量。s*是第i个参与人在均衡情况下的最优战略意味着iu （s*, S ） u （S, S ） V S丰 Ssi i - ii i -ii i均衡意味着，对所有的i = 1,2,n,上式同时成立。6.1.2 博弈的表述形式在博弈论中，博弈有不同的表述形式，这里介绍扩展形式和战略形式。从理论上讲，这 两种表述形式几乎是完全等价的。但从分析的方便性角度看，战略形式表述更适合于静态博 弈，而扩展式表述更适合于讨论动态博弈。1.扩展形式扩展形式是对博弈

12、的最明确描述。它记录了博弈中所有参与人在不同阶段的行动次序、 所有可能的信息状态和选择。在扩展形式博弈中以某一个参与人的行动开始，第一个参与人 行动后，轮到其他参与人行动（允许参与人观察对手的行动）直到博弈结束。结果，参与 人各自得到其得益。通常用博弈树来描述扩展形式的博弈。下面举例说明扩展形式博弈及其博弈树表示。设有两人玩掷硬币游戏：每人在桌面上扔 一枚硬币，但彼此隐蔽（结果不被对方发现）。参与人1 先掷，然后参与人2掷。最后同时在 桌面上显示朝上的一面。如果两枚硬币朝上的一面相同，则参与人者l向参与人2支付5 元；如果朝上的一面不相同，则参与人2向参与人1支付5元。记H= “正面”，T=

13、“反面”, 则用博弈树表示如图 7-1 所示。图中参与人做决策的点、称为“决策结点”，简称结点；“1”表示参与人1 行动，“2”表示参与人2行动；实心圆点“”称为“终结点”表明博弈结束；终结点下 面一行括号中的一对数字分别为参与人l和2的得益。图 7-1图中用虚线连接的结点殳，称为“信息集”意味着参与人2在行动之前并不确 切地知道自己处在和中哪个结点。一个信息集可能包含多个（决策）结点，也可能只包含 一个（决策）结点。博弈树代表了行动的次序，因此常用来描述动态博弈、扩展形式博弈，也 可以用来表述同时行动的（静态）博弈。尽管博弈树描述了在时间顺序上一个人在另一个人之 前行动，但结点和处于同一信息

14、集的事实意味着，不存在某人先行的信息传给另一个人。 从博弈时间上看，后行与先行是同时进行的。上图中左右两个博弈树是对称的（背靠背地）， 每个先行者都没有显示信息给对方。2. 战略形式 战略形式表述又称为标准式表述。所有参与人同时选择各自的战略，所有参与人选择的 战略一起决定每个参与人的支付。这里，参与人“同时选择”的是战略，而不是行动。因 为战略是参与人行动的全面计划，战略式表述也可以用以描述动态博弈。更为准确地讲，战略式表述给出：（1）博弈的参与人集合：iGr,r =（1,2,n）；（2）每个参与人的战略空间：S , i二1,2,n ；i（3）每个参与人的得益函数：u = （s，,s，,s

15、） i = 1,2,ni 1 i n我们用G = iS，,S ;u，,u 2表示战略式表述博弈。1 n 1 n 一个博弈被认为有限博弈，如果第一，参与人的个数是有限的，第二，每个参与人可选择的战略是有限的。两人有限博弈的战略式表述可以用矩阵表来直观地给出。6.1.3博弈的分类博弈涉及的范围十分广泛，从不同的角度有不同的分类。按参与人之间能否达成一个有约束力的协议，博弈可分为合作型博弈与非合作型博弈。 如果在一个博弈过程中。参与人之间的协议、承诺或威胁具有完全的约束力。并且能够强制 执行，则称之为合作博弈；否则，如果协议、承诺或威胁不可强制执行，即使参与人之间在 博弈之前可以互相交往。也称之为非

16、合作博弈。按照参与人决策时是否存在时间的先后次序，博弈可分为静态博弈与动态博弈。如果参 与人同时进行决策选择，或者虽非同时但后行动者并不知道先行动者采取了什么具体行动， 则称之为静态博弈；当考虑时间因素，博弈需要多阶段或重复地进行下去时，就成为动态博 弈问题。在动态博弈中，参与人的决策有先后次序，后行动者能够观察到先行动者所选择的 战略。静态分析方法是博弈研究的重要基础，而动态研究则有助于人们从根本上认识和把握 利益主体的行为特征、诱变因素和变化规律。按照参与人事先是否拥有其他参与人决策方面的信息，博弈可分为完全信息博弈与不完 全信息博弈。在完全信息博弈中，每一位参与人都拥有所有其他参与人的特

17、征、战略集合及 得益函数方面准确的信息；在不完全信息博弈中，参与人只能了解上述信息中的一部分。此外，按照参与人之间冲突的性质，博弈还可以分为对抗性博弈与非对抗性博弈。在对 抗性博弈中，参与人的收益或效用完全对立，一方所得必是另一方所失，一方利益的增加必 然导致另一方利益的减少。在对抗性博弈中，如果参与人各方不管采取何种战略，各自收益 之和恒为零，则称之为零和博弈；如果各自的收益之和为常数，则称之为常和博弈。大多数 的体育比赛从结果看属于对抗性零和博弈。在非对抗性博弈过程中，参与人有各自不同的收 益值，其和不再等于零或常数，参与人之间的收益或效用既冲突又一致，具备了达成某种均 衡的可能。经济活动

18、中的很多博弈问题都属于非对抗性博弈，而非对抗性博弈也就构成了经 济博弈论研究的重点。6.2 纳什均衡在这里集中讨论完全信息静态博弈，“完全信息”指的是每个参与人对所有其他参与人的特征（包括战略空间、得益函数等）有完全的了解，“静态”指的是所有参与人同时选择行 动且只选择一次。应该指出的是，“同时行动”在这里是一个信息概念而非日历上的时间概 念：只要每个参与人在选择自己的行动时不知道其他参与人的选择，我们就说他们在同时行 动。日历概念上的同时行动是信息概念上的同时行动的一种特殊情况，尽管从数量上讲它可 能是多数情况。完全信息静态博弈是一种最简单的博弈，在这种博弈中，由于每个人是在不知其他人行 动

19、的情况下选择自己的行动，战略和行动实际上是一回事。博弈分析的目的是预测博弈的均 衡结果，即给定每个参与人都是理性的，每个参与人都知道每个参与人都是理性的，为了回 答什么是每个参与人的最优战略，什么是所有参与人的最优战略组合的问题，我们介绍完全 信息静态博弈解的一般概念-纳什均衡，纳什均衡也是所有其他类型博弈解的基本要求。我 们采用从特殊到一般的方法，先讨论纳什均衡的特殊情况，然后讨论纳什均衡的般概念6.2.1占优战略均衡由于每个参与人的效用(得益)是博弈中所有参与人的战略的函数，因此每个参与人的最 优战略选择依赖于所有其他参与人的战略选择，但在一些特殊的博弈中，一个参与人的最优 战略可能并不依

20、赖于其他参与人的战略选择，就是说，不论其他参与人选择什么战略，他的 最优战略是唯一的，这样的最优战略被称为“占优战略”，也称为“上战均衡”。例 1 囚徒困境 “囚徒困境”的故事讲的是，两个嫌疑犯作案后被警察擦抓住，被 分别关在不同的房间里审讯。警察知道两人有罪，但缺乏足够的证据定罪，除非两人当个至 少有一个人坦白。他们也完全清楚可能的结局：(1) 如果两人均坦白供认，则双方各判刑8年；(2) 如果两人均抵赖，则双方各判别1 年(或许因证据不足)；(3) 如果其中一人坦白，另一人抵赖，则坦白者释放，抵赖者加重判刑10年。用战略型表述的这个博弈模型，是由博弈的三个基本要素组成。图 7-2图 7-2

21、 用得益矩阵表示囚徒困境的问题。在这个博弈中，每个囚徒都有两种可选择的战 略：坦白或抵赖。因为这两个囚徒被隔离开，因此其中任何一人在选择战略时都不可能知道 另一人的选择，我们就可以把他们的决策看作是同时的；矩阵中的每个元素都是由两个数字 组成的数组，表示所处行列代表的两参与人所选战略的组合下双方各自的得益，其中第一个 数字为囚徒A的得益，第二个数字为囚徒B的得益。这是一个两个参与人同有两种相同的可 选战略，战略和得益都对称的博弈。对该博弈中的两个囚徒来讲，各自都有两种可选择的战略，但各自的得益不仅取决于自 己的战略选择，也取决于另一方的对应选择，该博弈共有四种可能的结果，在这些结果中 每个囚徒

22、可能取得的最好得益是0，最坏得益是-10。两人的唯一目标就是要实现自身的最 大得益。那么他们该怎样选择战略?其结果又如何呢?每个参与人选择自己的战略时，虽然无法知道另一方的实际选择，但他却不能忽视另一 方的选择对他自己的利益的影响,因此他应该考虑到另一方有两种可能的选择，并分别考虑 自己相应的最佳战略。对囚徒1 来说，囚徒 2 有坦白和抵赖两种可能的选择，假设囚徒2选择的是抵赖，则对囚徒 1 来说，抵赖得益为-1，坦白得益为 0，他应该选择坦白(注意： 囚徒 l 是根据自身利益最大的原则行事，不会去关心一旦自己坦白，另一方抵赖，另一方会 被宣判 10 年徒刑的事实)；假设囚徒2 选择的是坦白，

23、则囚徒抵赖得益为-10，坦白得益为 -8,他还是该选择坦白。因此，在本博弈中，无论囚徳采取何种战略，囚徒l的选择只有 一种，即坦白，因为在另一方的两种可能选择的情况下，坦白给自己带来的得益都是较大的。 同样的道理，囚徒2的唯一的选择也是坦白。该博弈的最终结果是两囚犯同选择坦白战略， 同获得益-8，即都被判8年徒刑。每个囚徒的最优战略是“坦白”。一般地，s*称为参与人i的(严格)占优战略，如果对应所有的s , s*是i的严格最优选ii i择，即：u (s*,s )u (s,s ) Vs , Vs丰 s*i i ii i i ii i相应地，所有的s丰s*被称为“劣战略”ii定义7.1在博弈的战略

24、式表述中，如果对于所有的i，s*是i占优战略，那么，战略 i组合s*二(s*,s*)称为占优战略均衡。1n在一个博弈里，如果所有参与人都有占优战略存在，则占优战略均衡是可以预测到的 唯一的均衡，因为没有一个理性的参与人会选择劣战略。在囚徒困境博弈里， (坦白，坦白) 是占优战略均衡。在这个博弈中，无论是对这两个囚徒总体来讲，还是对他们个人来讲，最 佳的结果都不是同时“坦白”各得到-8，因为都“抵赖”的结果比都“坦白”要好得多。该 博弈揭示了个体理性与团体理性的之间的矛盾一一以自己的最大利益为目标,结果是无法实 现团体最大利益，同时也揭示了个体理性本身的内在矛盾一一从个体利益出发的行为最终也 不

25、一定真正实现个体的最大利益。这个博弈在经济学上有着广泛的应用，在市场竞争的各个 领域和方面，军备竞争，在资源利用和环境保护等，普遍存在类似于囚徒困境的问题。6.2.2重复剔除的占优均衡在每个参与人都有占优战略的情况下，占优战略均衡是一个非常合理的预测，但在绝大 多数博弈中，占优战略均衡是不存在的。由于占优战略均衡在博弈分析中的局限性，需要发 展更有效的博弈分析方法。重复剔除的占优均衡就是一种更有效的方法，有些学者也称之为， 严格下战反复消去法。例2 智猪博弈 我们以“智猪博弈”为例来阐述这种方法的思想。这个例子讲的是， 猪圈里有两头猪，头大猪，一头小猪，猪圈的一头有个猪食槽，另一头安装着一个按

26、钮、 控制着猪食的供应。按下按钮， 8个单位的猪食进槽，但需要付出2个单位的成本。若大 猪先到，大猪吃到7个单位，小猪只能吃到1个单位；若小猪先到，大猪和小猪各吃到4 个单位；若两猪同时到，大猪吃到5个单位，小猪吃到3个单位。这里每头猪都有两种战略： 按或等待。图7-3列出对应不同战略组合下的支付矩阵。如第一格表示两头猪同时按按钮， 因而同时走到猪食槽，大猪吃到5 个单位，小猪吃到3个单位，扣除2个单位的成本，支付 水平分别为3个单位和1个单位。大猪按等待3,12,47.-10,0小猪按等待这个博弈没有占优战略均衡，因为尽管“等待”是小猪的占优战略，大猪没有占优战略。 大猪的最优战略依赖于小猪

27、的战略：如果小猪选择“等待”，大猪的最优战略是“按”；反之， 如果小猪选择“按”，大猪的最优战略是“等待”。因此，我们不能应用占优战略找出均衡。怎样寻找这个博弈的均衡解呢？假定小猪是理性的，小猪肯定不会选择“按”的战略， 因为不论大猪选择什么战略，对小猪来说，“等待”严格优于“按”，因而理性的小猪会选择 “等待”。再假定大猪知道小猪是理性的，那么，大猪会正确地预测到小猪会选择“等待”； 给定这个预测，大猪的最优选择只能是“按”。这样，(按，等侍)是这个博弈唯一的均衡， 即大指选择“按”，小猪选择“等待”，支付水平分别为2和4 个单位。这是一个“多劳不多 得，少劳不少得”的均衡。在找出上述智猪博

28、弈的均衡解时，我们实际上是应用了“重复剔除严格劣战略”的思路， 这个思路是这样的：首先找出某个参与人的劣战略(假定存在)，把这个劣战略剔除掉，重新 构造一个不包含已剔除战略纳新的博弈；然后再剔除这个新的博弈中的某个参与人的劣战 略；继续这个过程，一直到只剩下一个唯一的战略组合为止。这个唯一剩下的战略组合就是 这个博弈的均衡解，称为“重复剔除的占优均衡”。在上例中，我们首先剔除掉小猪的劣战 略“按”，在剔除掉这个战略后的新的博弈中，小猪只有一个战略“等待”，大猪有两个战略， 但此时，“等待”已成为大猪的劣战略，剔除这个战略，剩下的唯一战略组合是(按，等待)。 “重复剔除的占优均衡”概念中的“占优

29、战略”和“劣战略”与前面的定义有所不同。前面 的占优战略是指一个参与人所有可选择的战略中严格优于所有其他战略的那个战略，在应用 重复剔除方法寻找均衡时，一个战略是占优战略或劣战略可能只是相对于另一个特定的战略 而言的。定义7.2令s和s是参与人i可选择的两个战略(即s , s w S )。如果对于任意的i ii i i其他参与人的战略组合s，参与人i从选择s得到的得益严格小于从选择s得到的得益，-Iii即：u (s, s ) u (s, s ) V si i -ii i -i-i称战略s严格劣于战略s,也称s为相对s的劣战略；相应地，也称s为相对于s占优iiiiii战略。“弱占优”、“弱劣”的

30、概念在博弈分析中也经常使用。定义7.3如果对于所有的s ，u (s, s ) u (s ,s* ), Vs e S , Vii i -ii i -ii i用另一种表述方式，s*是下述最大化问题的解：s* eargriiaxu = (s*,s* ,s ,s*，s*), i = l,2，nii 1i-1 i i +1n战略组合s = (s，-,s，,s)不是G的一个纳什均衡等价于说至少对于某些i而言，1 i ns不是i的最优战略(给定s),至少存在一个se S，使得i- ii iu (s, s ) u (s, s)i i -ii i -i就是说，如果我们预测s = (s，,s，,s)是博弈的一个结

31、果，但这个结果不是一个纳1 i n什均衡，那么，至少存在某些参与人有积极性偏离这个结果。一致(consistent )预测性是纳什均衡的本质属性，是指这样的一种性质：如果所有的参与 人都预测到一个特定的纳什均衡将会出现，那么，没有人有兴趣作不同的选择，偏离这个预 测结果，因此这个预测结果最终会成为博弈的结果。只有纳什均衡具有这样的特征：参与人 预测到均衡，参与人预测到其他参与人预测到均衡，等等。对比之下，预测一个非纳什均衡 的战略组合将意味着至少有一个参与人会犯错误(有关对手的选择的预测是错误的，或自己 的选择是错误的)，尽管这样的错误确实可能出现。纳什均衡与占优战略均衡及重复剔除的占优均衡都

32、是博弈分析的方法，它们之间的相 互关系如何呢？首先，每个占优战略均衡、重复剔除的占优均衡一定是纳什均衡，但并非 每一个纳什均衡都是占优战略均衡或重复剔除的占优均衡。这是因为，一个参与人的占优战 略是对于所有其他参与人的任何战略组合的最优选择，它也定是对于所有其他人的某个特 定战略的最优选择，然而，一个战略构成纳什均衡战略的唯一条件是它是参与人对于其他参 与人均衡战略的最优选择。在重复剔除过程中，如果最后剩下来的战略组合是唯一的，它 定是个纳什均衡。其次，纳什均衡一定是在重复剔除严格劣战略的过程中没有被剔除的战 略组合，并且是唯一的。6.3 纳什均衡应用纳什均衡在经济学上的应用非常广泛，这里介绍

33、几个典型的应用例子。631古诺(Cournot)寡头竞争模型古诺(1838)早在一个多世纪之前就已提出了纳什所定义的均衡(但只是在特定的双寡头 垄断模型中)。古诺的研究现在已理所当然地成为博弈论的经典文献之一，同时也是产业组 织理论的重要里程碑。古诺模型可以说是纳什均衡最早的版本，比纳什的定义早100 年。这里，我们只讨论古诺模型的一种非常简单的情况，我们将通过模型说明：(a)如何把对 一个问题的非正式描述转化为一个博弈的标准式表述；(b)如何通过计算解出博弈的纳什均 衡。令q , q分别表述企业1,企业2生产的同质产品的产量，市场中该产品的总供给12Q = qi + q2，令p(Q)二a-Q

34、表示市场出清时的价格(更为精确一些的表述为： Q a时，P(Q) = 0)。设企业 i 生产 q 的总成本 C (q )二 cq ii ii即企业不存在固定成本，巳生产每单位产品的边际成本为常数C,这里我们假定c 0。iii也许有的读者提出特别大的产量也是不可能的，因而不应包括在战略空间之中，不过，由于Q a时，P(Q) = 0，任一企业都不会有q a的产出。i要全面表述这一博弈并求其均衡解，还需把企业i的收益表示为它自己和另一企业所选 择战略的函数。我们假定企业的收益就是其利润额，这样在般的两个参与人标准式博弈中， 参与人i的收益u (s ,s )就可写为：i i j兀(q , q )二 q

35、 p(q + q ) - c二 q a - (q + q ) - ci i jii jii j在一个标准的两人博弈中，一对战略(s*, s*)如是纳什均衡，则对每个参与者i，s*应12i该满足u (s*,s*) u (s ,s*)i i ji i j上式对s中每一个可选战略s都成立，这一条件等价于：对每个参与者i，s*必须是下iii面最优化问题的解：maxu (s , s*)s.詛 i i jii在古诺的双头垄断模型中，上面的条件可具体表述为：一对产出组合(q*,q*)若为纳什12均衡，对每一个企业i，q*应为下面最大化问题的解：imax 兀(q ,q*) = max q a - (q + q

36、*) - c0 q. w i i j 0 q. w j设q: 0,即只限于企业i的产品为企业j产品的替代品的情况(这个需求函数在现实中并 不存在，因为只要企业j的产品价格足够高，无论企业i要多高的价格，对其产品的需求都 是正的。后面将会讲到，只有在bV2时问题才有意义二。和前面讨论过的古诺模型相似， 我们假定企业生产没有固定成本，并且边际成本为常数c, cVa,两个企业是同时行动(选择 各自的价格)的。要寻找纳什均衡首先需要把对问题的叙述化为博弈的标准式。参与者仍为两个，不过 这里每个企业可以选择的战略是不同的价格，而不再是其产品产量。我们假定小于0的价格 是没有意义的，但企业可选择任意非负价

37、格。这样，每个企业的战略空间又可以表示为所有 非负实数S = 0, +Q，其中企业i的一个典型战略s.是所选择的价格p 0。iii我们仍假定每个企业的收益函数等于其利润额，当企业i选择价格P，其竞争对手选i择价格P j时，企业i的利润为：Pj) pi bpjpi c 那么，价格组合(P*,P*)若是纳什均衡，对每个企业i，P*应是以下最优化问题的解：12imax Ki (Pi, p ) = max a pi + bp* A c 1 对企业i求此最优化问题的解为Pi = y(a + bp； + c).由上可知，如果价格组合(P*,P*)为纳什均衡，企业选择的价格应满足12P；二寺(Q + bp2

38、 + c)和 p2 =寺(a + bpi + c)解这一对方程式得：a + c仞 p2 2-6 -633公共资源问题社会经济活动的不断发展，我们越来越无法回避公共资源利用、公共设施提供和公共环境保护等方面的问题。在这些问题中，包含了众多的博弈关系。经济学中的公共资源是指具有(1)没有哪个个人、企业或组织拥有所有权；(2)大家都可以自由利用，这样两个特 征的自然资源和人类生产的供大众免费使用的设施和财物。最晚是从休漠(David Hume) 1739 开始，政治经济学家已经认识到如果公民只关注个人福利，公共物品就会出现短缺， 并且公共资源也会过度使用。在此，我们用下面公共草地的放牧问题为例来进行

39、分析。考虑一个有n个村民的村庄，每年夏天，所有村民都在村庄公共的草地上放牧。用g表i示村民i放养羊的头数，则村庄里羊的总头数G二g +g + g。购买和照看一只羊的12n成本为c, c不随一户村民拥有羊的数目多少而变化。当草地上羊的总头数为G时，一个村民养一只羊的价值为v(G)。由于一只羊要生存，至少需要一定数量的青草，草地可以放牧羊的总数有一个上限G :当G 0；但G G 时，v(G)=O。还有，由maxmaxmax于最初的一些羊有充足的空间放牧，再加一只不会对已经放养的羊产生太大影响，但当草地 上放养羊的总数已多到恰好只能维生的时候(即G = G 时)，再增加一只就会对其他已经放max养的

40、羊带来极大损害，每只羊的价值会急剧下降。用公式表述为：G G ，v(G) 0，maxv(G) G*，公共资源被过度使 用了，因为每个村民只考虑他们自己的利益，并不管其行为对其他村民带来的后果。这就是 公共资源的悲剧！6.4 混合战略和混合战略纳什均衡前面介绍的纳什均衡分析方法可以解决许多博弈问题，但是如果博弈中不存在纳什均 衡或者纳什均衡不唯一，那么纳什均衡分析方法就不能给参与人的选择和博弈结果作明确的 预测。实践的发展，需要理论发展，不断完善。对于不存在纳什均衡和存在多个纳什均衡的 博弈怎样进行分析呢？这里引进两个重要概念：混合战略和混合战略纳什均衡。6.4.1 混合战略我们考虑下面的博弈，

41、猜硬币。这个故事讲的是，两个儿童手里各拿着一枚硬币，决 定要显示正面向上还是反面向上。如果两枚硬币同时正面向上或同时反面向上，儿童 B 赢 走儿童A的硬币；如果两枚硬币只有一枚正面向上，儿童A赢走儿童B的硬币。表1. 13 给出这个博弈的支付矩阵。参与人2背面参与人1正面图 7-6在此博弈中，每一参与者的战略空间都是（正面，背面）。为理解矩阵表中所列参与者各 自的收益，设想每一参与人拿有一枚硬币，并必须选择是出正面向上还是背面向上。若两枚 硬币是一致的（即全部正面向上或全部背面向上），则参与人2赢走参与人1 的硬币；如果两 枚硬币不一致（一正一反），参与人1 赢得参与人2的硬币。在此博弈中，没

42、有一组战略能够 满足纳什均衡的条件，因为如果参与者的战略是一致的（正面，正面）或（背面，背面） 那么参与人1 就希望能改变战略，如果参与者的战略不一致（正面，背面）或（背面，正 面）则参与人2将希望能改变战略。猜硬币博弈一个显著的特点是每个参与人都想先猜中对方的战略。这一类博弈在扑克、 棒球、战争等其他环境中也经常会出现。在用扑克牌赌博的博弈中，类似的问题是如何决定 使诈的次数：如果大家都知道参与者i是从来不使诈的，那么任何时候当i下很高的赌注时 他的对手就会认输，但这又使得i偶然使诈会有利可图；另一方面，使诈次数过多亦非上战。 在棒球比赛中，假设投球手既可以掷出快球，又可掷出曲线球，那么击球

43、手能够击中任何一类投球的前提是，他能正确估计到投球手将掷出哪一类球。与之相似，在战争中，假设进攻 方可能在两个攻击点（或两条进攻路线，比如“陆路或水路”）中选择其一，防御方可以抵御 来自任一方向的攻击，但也只在它正确预测到进攻路线的前提下。在博弈中，一旦每个参与者都竭力猜测其他参与者的战略选择，就不存在纳什均衡， 因为这时参与者的最优行为是不确定的，而博弈的结果必然要包含这种不确定性。现在引入 混合战略的概念，我们可以将其解释为一个参与者对其他参与者行为的不确定性。我们将把 纳什均衡的定义扩展到包含混合战略，从而可以分析诸如猜硬币、扑克、棒球及战争等博弈 的解出现的不确定性。规范地表述，参与者

44、 i 的一个混合战略是在其战略空间 S 中（一些或全部）战略的概率分i布，此后我们称s中的战略为i的纯战略（pure strategies）。若分析完全信息同时行动博弈，i 一个参与者的纯战略就是他可以选择的不同行动，例如在猜硬币博弈中， s 内含有两个纯 战略，分别为正面和背面，这时参与者i的一个混合战略为概率分布（q,l- q），其中q为出 正面向上的概率，1-q为出背面向上的概率，且0 q 1。混合战略（0,1）表示参与者的 一个纯战略，即只出背面向上，类似地，混合战略（1，0）表示只出正面向上的纯战略。作为混合战略的第二个例子，请看图 7-7 所示博弈：参与人2左 中 右参与人11,0

45、1,20,10,30,12,0图 7-7参与者2有三个纯战略：左、中、右，这时他的一个混合战略为概率分布（q, r,1 - q - r）， 其中q表示出左的概率，r表示出中的概率，1-q - r表示出右的概率，和前面相同，且 0 q 1，这里还应满足0 r 1及0 q + r 1。在此博弈中，混合战略（1/3, 1/3, 1/3） 表示参与者出左、中、右的概率相同，而（1/2， l/2， 0）表示出左、中的概率相同，但绝不可 能选择出右。和在所有情况下一样，参与者的一个纯战略只是混合战略的一种特例，例如参 与者2只出左的纯战略可表示为混合战略（1， 0， 0）。更为一般地，假设参与者i有K个纯

46、战略：s = s，,s ，则参与者i的一个混合 ii 1iK战略是一个概率分布（P，,P ），其中P表示对所有k=1,，K,参与者i选择战略si1iKikik的概率，由于P是一个概率，对所有k=1,，K,有0 p 1且p + p二1。ikiki1iK我们用P表示基于S的任意一个混合战略，其中包含了选择每一个纯战略的概率，正如我 ii们用s表示S内任意一个纯战略。定义7.6对标准式博弈G = &，,s ;u，,u I,假设S. s.,s. 。那么，参1n 1nii1iK与者i的一个混合战略为概率分布P （P，,P ），其中对所有k = 1，K，有 ii 1iK0 p 1 且 p HF p 1。i

47、ki1iK相对于这种以一定概率分布在一些战略中随机选择的混合战略，确定性的具体的战略我 们称为“纯战略”，而我们原来意义上的纳什均衡，即任何参与人都不愿单独改变战略的纯 战略组成的战略组合现在可称为“纯战略纳什均衡”。当然，纯战略也可以看作混合战略的 特例。纯战略可以看作，选择相应纯战略的概率为1，选择其余纯战略的概率为0的混合战 略。混合战略可以看作纯战略的扩展。引进了混合战略的概念以后，我们可将纳什均衡的概念扩大到包括混合战略的情况。对 各参与人的一个战略组合，不管它是纯战略组成的还是混合战略组成的，只要满足各参与人 都不会想要单独偏离它，我们就称之为一个纳什均衡。如果确实是一个严格意义上

48、的混合战 略组合构成的纳什均衡，称为“混合战略纳什均衡”。我们以猜硬币博弈为例，假定参与者 1推断参与者2会以q的概率出正面，以1 - q的概率出背面，亦即参与者1推断参与者2 将使用混合战略(q,1 -q)。据此推断，参与者1出正面可得的期望收益为 q - (-1) + (1 - q) -1 二 1 - 2q，出背面的期望收益为 q -1 + (1 - q) - (-1)二 2q -1。由于当且 仅当q 2q -1，则q 1/2 时为出背面；当q二1/2时，参与者1出哪一面都是无差异的。同样，参与者2也必须以1 / 2的概率出正面和背面，才能使对方无机可乘！猜硬币博弈中两个参与人都以(1/2

49、, 1/2) 的概率分布随机选择正面和反面的混合战略组合，就是一个混合战略纳什均衡。期望得益：(1 r 1)1 +r 1 r 1) (-1) +r 1 r 1) 1 +r 1 r 1) 1/3时，妻子最优反应为歌剧(即R=1)； q 2/3时，丈夫的最优反应是歌剧(即q二1 )； r 2/3时，丈夫的最优反应是拳击(即q二0), r二2/3时，任何可行的q值都是最优反应。如图 L 3. 7所示，最优反应对应的交点之一，即丈夫的混合战略(q,l-q)二(1/3, 2/3)与妻子 的混合战略(r,1 - r)二(2/3,1/3)就是原博弈的一个纳什均衡。图 7.9这是混合战略的反应函数图，图中虚线

50、为最优反应函数r*(q)和q*(r)有三个交点：(q二0, r二0)、(q二1, r二1)及(q二1/3, r二2/3)。另外两个交点分别代表两个纯战略纳什均衡(拳击、拳击)和(歌剧，歌剧)。尽管混合战略不像纯战略那样直观，但它确实是一些博弈中参与人的合理行为方式。扑克比赛、垒球比赛、划拳，我国著名的齐威王和田忌赛马故事，就是这样的例子，在这类博博中，参赛者总是随机行动以使自己的行为不被对手所 预测。经济学上的监督博弈也是这样的例子。监督博弈是猜谜博弈的变种，它概括了诸如税 收检查、质量检查、惩治犯罪、雇主监督雇员等这样一些情况。这类博弈的特点是不存在纯 策略纳什均衡。在经济活动中有许多与性别

51、战博弈相似的博弈问题，制式问题是其中典型的例子。电器和电子设备往往油布同的原理或相关技术标准，称之为不同的制式。如果生产相 关电器或电子设备的厂商采用相同的制式，产品之间就能够相互匹配，零配件也可能相互通 用。如若同一种产品有两种不同的制式，两个厂商之间就有一个选择制式的博弈问题。这类 博弈的特点是存在多个纯策略纳什均衡。6.4.3纳什均衡的存在性我们介绍了占优战略均衡(DSE)、重复剔除的占优均衡(IEDE)、纯战略纳什均衡(PNE) 和混合战略纳什均衡(MNE)四个均衡概念。博弈理论的发展，是随着社会实践的发展不断拓 展和完善的。每个均衡概念依次是前一个均衡概念的扩展，或者说，前一个均衡概念是后一 个均衡概念的特例：纯战略纳什均衡是混合战略纳什均衡的特例，重复剔除的占优均