《二元函数的极值PPT课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二元函数的极值PPT课件（16页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院第6章：多元函数微分学 内容提要 二元函数的极值 无条件极值 条件极值第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院 无条件极值 极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.定义6.7 设二元函数z=f(x,y)在(x0,y0)点的某个 邻域 内有定义,如果对于任意 当 时恒有 成立,则称 为函数 的极小值,点 称为极小值点;如果对于任意 当 时恒有 成立,则称 为函数 的极大值,点 称为极大值点.1.极值的概念第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院 无条件极值1.极值的概念例如:函数z=x2+y2在点
2、(0,0)取到了极小值,(0,0)点为该函数的极小值点.分析：该方程所表示的图形？首先用平面z=c 来截该图形,可将z=c 代入方程中得截口为x2+y2=c。当c0时，它是半径为 的圆，且平面往上平移时圆愈来愈大;当c=0时,有x2+y2=0 即:x=0,y=0,可见这时截口仅是一个点,即原点;而当c0 时,由于方程x2+y20时，f(x0,y0)不是极值；当B2-AC0时，且A0时，f(x0,y0)是极大值；当B2-AC0时，f(x0,y0)是极小值；当B2-AC=0时，不能判定 f(x0,y0)是否为极值，需其他方法判定。第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院 无条件极值4
3、.求二元函数极值的一般步骤(1)求二元函数的偏导数,令两个偏导数为零,求出驻点;(2)求出二阶偏导数,计算B2-AC;(3)将驻点分别代入 B2-AC 求出值,根据定理判断是否为极值点,然后再根据A在极值点处值的符号确定是极大值点还是极小值点;(4)求出极值点的函数值即为函数的极值.第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院再将 点代入得 ,所以 点是极值点,又由于 ,所以 点是极小值点.将 点代入得 ,所以 不是该函数的极值点.无条件极值例1：求二元函数 f(x,y)=x3+y3-3xy 的极值.解:令 得方程组 解之得:于是得其驻点为求二阶偏导数得因此 其极小值第6章 多元函数
4、微分学四川教育学院 土木与交通工程学院 无条件极值例2：设某企业生产两种产品A和B,已知其总成本C(万元)与A、B两种产品的产量x(百件)与y(百件)之间具有如下关系:试问A、B两种产品的产量分别为多少时可以使得总成本最低?故:当A、B两种产品的产量分别为100件和200件时,可使总成本最低.最低成本为5万元.解:令 得方程组而 所以因此(1,2)为极小值点,又由于仅有唯一一个极值点,因而它也是最小值点。此时C(1,2)=5(万元)解得驻点为（1,2）第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院6.4.2 条件极值1.条件极值的概念 在求函数 z=f(x,y)的极值时,有时其自变量
5、x,y 会受到另一个方程 g(x,y)=0 的制约,我们称这样的函数极值为条件极值,其中称方程 g(x,y)=0 为约束条件.以上条件极值问题是针对二元函数定义的。类似的也可以定义三元、四元及更多元的条件极值,且它们的约束条件可以不止一个,但要注意约束条件的个数须小于自变量的个数.第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院6.4.2 条件极值2.条件极值的解法 条件极值一般有两种解法:(1)化为无条件极值法 在条件极值中,可以从约束条件g(x,y)=0中解出变量y(或变量 x),代入目标函数中,则可将条件极值问题转化为无条件极值问题,这种方法称之为化无条件极值法;但条件极值往往很难
6、化为无条件极值.(2)拉格朗日乘数法直接求条件极值问题的方法 第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院(2)拉格朗日乘数法解题步骤 构造拉格朗日函数分别求L(x,y,z)对x、y、的偏导数,令其为零建立方程组(3)判断(x0,y0)是否为极值点(一般可以根据实际问题的背景判断即可).6.4.2 条件极值2.条件极值的解法 并解该方程组得(x0,y0)第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院6.4.2 条件极值例3:某化妆品公司计划通过报纸和电视台做化妆品的促销广告.根据统计资料,销售收入R与报纸广告费用x(百万元)和电视广告费用 y(百万元)之间有如下关系:(1)若
7、不限制广告费的支出,求最佳广告策略;(2)若可供使用的广告费为150万元,求相应的最佳广告策略.解:(1)纯销售收入=销售收入-广告费支出因此该公司的纯销售收入为原问题转化为求使得该函数达到最大值时的自变量的取值.第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院6.4.2 条件极值求上式的无条件极值，令解之得驻点为又 所以 又所以 是极大值点 又因为极值点仅有唯一一个,所以它也必然是最大值点,即报纸广告费投入75万元,电视广告费投入125万元为最佳广告策略.此时该公司纯销售收入最高.第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院 故根据该问题的实际意义知,此时将广告费全部用于电视广告,可使得该公司获得最大的纯销售收入.6.4.2 条件极值(2)如果限定广告费支出为150万元.则问题转化为求函数 在条件 限制下的条件极值问题.用拉格朗日乘数法求解如下:求偏导数,建立方程组得解之得
二元函数的极值PPT课件
